2023届高考数学二轮复习微专题34含有绝对值函数的取值范围问题学案

这是一份2023届高考数学二轮复习微专题34含有绝对值函数的取值范围问题学案，共7页。

例题：已知函数f(x)＝x|x－4|，x∈[0，m]，其中m>0.
(1)当m＝2时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的值域为[0，4]，求实数m的取值范围．
变式1已知函数f(x)＝x|x－a|在[0，2]上的值域为[0，4]，求实数a的取值范围．
变式2设函数f(x)＝x|x－a|，若对于任意的x1，x2∈[2 ，＋∞)，x1≠x2，不等式eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0恒成立，求实数a的取值范围．
串讲1若函数f(x)＝x2|x－a|在区间[0，2]上是增函数，求实数a的取值范围．
串讲2若不等式|x－2a|≥eq \f(1,2)x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________________．
(2018·南京二模)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax－1， x≤0，,x3－ax＋|x－2|，x＞0))的图象恰好经过三个象限，则实数a的取值范围是________________．
已知函数f(x)＝ex|x2－a|(a≥0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调减区间；
(2)若方程f(x)＝m恰好有一正根和一负根，求实数m的最大值．
答案：(1)f(x)的单调减区间为[－1＋eq \r(2)，1]，[－1－eq \r(2)，－1]；(2)eq \f(4,e2).
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex（x2－1），|x|＞1，,ex（1－x2），|x|≤1.))当|x|＞1时，f′(x)＝ex(x2＋2x－1)，由
f′(x)≤0，解得－1－eq \r(2)≤x≤－1＋eq \r(2).所以f(x)的单调减区间为[－1－eq \r(2)，－1)，3分
当|x|≤1，f′(x)＝－ex(x2＋2x－1)，由f′(x)≤0，解得x≤－1－eq \r(2)或x≥－1＋eq \r(2)，
所以f(x)的单调减区间为[－1＋eq \r(2)，1]，4分
综上：f(x)的单调减区间为[－1＋eq \r(2)，1]，[－1－eq \r(2)，－1].6分
(2)当a＝0时，f(x)＝ex·x2，则f′(x)＝ex·x2＋2x·ex＝exx(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，
8分
所以f(x)有极大值f(－2)＝eq \f(4,e2)，极小值f(0)＝0，当a＞0时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex（x2－a），|x|＞\r(a)，,ex（a－x2），|x|≤\r(a).))
同(1)讨论得f(x)在(－∞，－eq \r(a＋1)－1)上单调递增，在(－eq \r(a＋1)－1，－eq \r(a))上单调递减，
在(－eq \r(a)，eq \r(a＋1)－1)上单调递增，在(eq \r(a＋1)－1，eq \r(a))上单调递减，在(eq \r(a)，＋∞)上单调递增．
且函数y＝f(x)有两个极大值点，9分
f(－eq \r(a＋1)－1)＝2e－eq \r(a＋1)－1(eq \r(a＋1)＋1)＝eq \f(2e－\r(a＋1)（\r(a＋1)＋1）,e).f(eq \r(a＋1)－1)
＝2eeq \r(a＋1)－1(eq \r(a＋1)－1)＝eq \f(2e\r(a＋1)（\r(a＋1)－1）,e).11分
且当x＝a＋1时，f(a＋1)＝ea＋1(a2＋a＋1)＞eeq \r(a＋1)(eq \r(a＋1)－1)＞eq \f(2e\r(a＋1)（\r(a＋1)－1）,e).
所以若方程f(x)＝m恰好有正根，则m＞f(eq \r(a＋1)－1)(否则至少有两个正根)．
又方程f(x)＝m恰好有一负根，则m＝f(－eq \r(a＋1)－1).13分
令g(x)＝e－x(x＋1)，x≥1，则g′(x)＝－xe－x＜0，所以g(x)＝e－x(x＋1)在[1，＋∞)
上单调递减，即g(x)≤g(1)＝eq \f(2,e).等号当且仅当x＝1时取到.14分
所以f(－eq \r(a＋1)－1)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,e)))eq \s\up12(2)，等号当且仅当a＝0时取到．且此时f(eq \r(a＋1)－1)＝
2eeq \r(a＋1)－1(eq \r(a＋1)－1)＝0，即f(－eq \r(a＋1)－1)＞f(eq \r(a＋1)－1)，所以要使方程
f(x)＝m恰好有一个正根和一个负根，m的最大值为eq \f(4,e2).16分
微专题34
例题
答案：(1)[0，4]；(2)[2，2＋2eq \r(2)]．
解析：(1)当m＝2时，f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x∈[0，2]时，f(x)单调递增，所以f(x)的值域为[0，4]．
(2)由函数f(x)＝x|x－4|图象可知，当x>4时，令x|x－4|＝4，即x2－4x－4＝0，解得x＝2＋2eq \r(2)，若函数f(x)的值域为[0，4]，所以实数m的取值范围是[2，2＋2eq \r(2)]．
变式联想
变式1
答案：a＝0或a＝4.
解析：(1)当a0时，①当0