2023届高考数学二轮复习微专题29以二元变量为载体的应用学案

这是一份2023届高考数学二轮复习微专题29以二元变量为载体的应用学案，共10页。

例题：某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w＝4－eq \f(3,x＋1)，且投入的肥料费用不超过5百元，此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求，记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)．
(1)求利润函数L(x)的函数关系式，并写出定义域；
(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
变式1某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝eq \f(4x＋1,x＋1)(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完，若每件销售价定为“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和．
(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
变式2某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关，若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p＝eq \f(k,3x＋5)(0≤x≤8)，若距离为1 km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设函数f(x)为建造宿舍与修路费用之和．
(1)求f(x)的解析式；
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求出最小值．
串讲1某市近郊有一块400 m×400 m正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建造一个总面积为3 000 m2的矩形场地(如图所示)．图中，阴影部分是宽度为2m的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小矩形场地形状、大小相同)，塑胶运动场地总面积为S m2.
(1)求S关于x的函数关系式，并给出定义域；
(2)当x为何值时S取得最大值，并求最大值．
串讲2如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪．
(1)当∠EFP＝eq \f(π,4)时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；
(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．
(2018·苏大预测)如图，某工厂两幢平行厂房间距为50 m，沿前后墙边均有5 m的绿化带，现在绿化带之间空地上建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m，水池一组池壁与厂房平行．如果池底总造价为c元，平行厂房的池壁每1 m2的造价为a元，垂直厂房的池壁每1 m2的造价为b元，设该贮水池的底面平行于厂房的一边的长为x(m)．
(1)求建造该长方体贮水池总造价y的函数关系，并写出函数的定义域；
(2)试问怎样设计该贮水池能使总造价最低？并求出最低总造价．
(2018·南京调研)某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f(x)＝t1＋t2.
(1)求f(x)的解析式，并写出其定义域；
(2)当x等于多少时，f(x)取得最小值？
答案：(1)f(x)＝eq \f(9 000,x)＋eq \f(1 000,100－x)，{x|1≤x≤99，x∈N*}；(2)75.
解析：因为t1＝eq \f(9 000,x)，t2＝eq \f(3 000,3（100－x）)＝eq \f(1 000,100－x)，2分
所以f(x)＝t1＋t2＝eq \f(9 000,x)＋eq \f(1 000,100－x)，5分
定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}.6分
(2)f(x)＝1 000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,x)＋\f(1,100－x)))＝10[x＋(100－x)]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,x)＋\f(1,100－x)))
＝10eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10＋\f(9（100－x）,x)＋\f(x,100－x))).10分
因为1≤x≤99，x∈N*，所以eq \f(9（100－x）,x)＞0，eq \f(x,100－x)＞0，所以eq \f(9（100－x）,x)＋eq \f(x,100－x)≥
2eq \r(\f(9（100－x）,x)·\f(x,100－x))＝6，12分
当且仅当eq \f(9（100－x）,x)＝eq \f(x,100－x)，即当x＝75时取等号.13分
答：当x＝75时，f(x)取得最小值.14分
微专题29
例题
答案：(1)L(x)＝64－eq \f(48,x＋1)－3x(0＜x≤5)．
(2)当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4 300元．
解析：(1)L(x)＝16eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(3,x＋1)))－x－2x＝64－eq \f(48,x＋1)－3x(0＜x≤5)．
(2)解法1：L(x)＝67－eq \f(48,x＋1)－3x＝67－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(48,x＋1)＋3（x＋1）))≤67－2eq \r(\f(48,x＋1)·3（x＋1）)＝43.当且仅当eq \f(48,x＋1)＝3(x＋1)时，即x＝3时取等号．故L(x)max＝43.
答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4 300元．
解法2：L′(x)＝eq \f(48,（x＋1）2)－3，由L′(x)＝0得，x＝3.故当x∈(0，3)时，L′(x)＞0，L(x)在(0，3)上单调递增；当x∈(3，10)时，L′(x)＜0，L(x)在(3，5)上单调递减；故L(x)max＝43.
答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4 300元．
变式联想
变式1
答案：(1)W＝16·eq \f(4x＋1,x＋1)＋eq \f(9,4)－eq \f(3,4)x，(x≥0)；
(2)当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元．
解析：(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q＋4.5)万元，每件销售价为eq \f(32Q＋4.5,Q)×150%＋eq \f(x,Q)×25%.∴年销售收入为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(32Q＋4.5,Q)×150%＋\f(x,Q)×25%))·Q＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(32Q＋\f(9,2)))＋eq \f(1,4)x.
∴年利润W＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(32Q＋\f(9,2)))＋eq \f(1,4)x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(32Q＋\f(9,2)))－x＝
eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(32Q＋\f(9,2)))－eq \f(3,4)x＝16Q＋eq \f(9,4)－eq \f(3,4)x＝16·eq \f(4x＋1,x＋1)＋eq \f(9,4)－eq \f(3,4)x，(x≥0)．
(2)令x＋1＝t(t≥1)，则W＝16·eq \f(4t－3,t)＋eq \f(9,4)－eq \f(3,4)(t－1)＝64－eq \f(48,t)＋3－eq \f(3,4)t＝67－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,t)＋\f(t,4))).∵t≥1，∴eq \f(16,t)＋eq \f(t,4)≥2eq \r(\f(16,t)·\f(t,4))＝4，即W≤55，当且仅当eq \f(16,t)＝eq \f(t,4)，即t＝8时，W有最大值55，此时x＝7.
答：当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元．
变式2
答案：(1)f(x)＝eq \f(800,3x＋5)＋5＋6x，(0≤x≤8)．
(2)宿舍应建在离工厂5km处，可使总费用f(x)最小为75万元．
解析：(1)根据题意得100＝eq \f(k,3×1＋5)，所以k＝800.故f(x)＝eq \f(800,3x＋5)＋5＋6x，0≤x≤8.
(2)因为f(x)＝eq \f(800,3x＋5)＋2(3x＋5)－5≥
2eq \r(\f(800,3x＋5)·2（3x＋5）)－5＝75，当且仅当eq \f(800,3x＋5)＝2(3x＋5)，即x＝5时取等号．所以f(x)min＝75.答：宿舍应建在离工厂5km处，可使总费用f(x)最小，最小为75万元．
说明：许多应用问题可以通过构建分式函数的模型区解决，这类问题主要题型有确定分式函数并指出其定义域，常见模型为“f(x)＝ax＋eq \f(b,x)”或通过变形转化为这一模型，其最值的求法主要通过基本不等式、函数的单调性来确定，有时也可以运用导数的方法求解．
串讲激活
串讲1
答案：(1)S＝3 030－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15 000,x)＋6x))，x∈(7.5，400)；
(2)x＝50 m时，
Smax＝2 430 m2.
解析：(1)设矩形场地的另一条边的长为y m，则xy＝3 000即y＝eq \f(3 000,x)，且7.5＜x＜400.S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a.因为2a＋6＝y，所以a＝eq \f(y,2)－3＝eq \f(1 500,x)－3，
所以S＝(2x－10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1 500,x)－3))＝3 030－
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15 000,x)＋6x))，其定义域是
(7.5，400)．
(2)S＝3 030－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15 000,x)＋6x))≤3 030－2eq \r(6x·\f(15 000,x))＝3 030－2×300＝2 430.当且仅当eq \f(15 000,x)＝6x，即x＝50∈(7.5，400)时，上述不等式等号成立，此时x＝50，Smax＝2 430 (m2)．
答：当x＝50 m时，S取得最大值，其最大值为2 430 m2.
串讲2
答案：(1)2 m2；(2)当∠EFP＝eq \f(π,3)时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，为(6－2eq \r(3))m2.
解析：(1)当∠EFP＝eq \f(π,4)时，∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝eq \f(π,4)，所以∠FPE＝eq \f(π,2)，即FN⊥BC，所以四边形MNPE为矩形，所以四边形MNPE的面积为S＝PN·MN＝2m2.
(2)设∠EFD＝θ，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，由条件知∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝θ，PF＝eq \f(2,sin（π－2θ）)＝eq \f(2,sin2θ)，NP＝NF－PF＝3－eq \f(2,sin2θ)，ME＝3－eq \f(2,tanθ)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－\f(2,sin2θ)＞0，,3－\f(2,tanθ)＞0，0＜θ＜\f(π,2)，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin2θ＞\f(2,3)，,tanθ＞\f(2,3)，,0＜θ＜\f(π,2)，))所以
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2tanθ,1＋tan2θ)＞\f(2,3)，,tanθ＞\f(2,3)，,0＜θ＜\f(π,2)，))解得eq \f(2,3)＜tanθ＜eq \f(3＋\r(5),2)，所以四边形MNPE的面积为S＝eq \f(1,2)(PN＋ME)·MN＝eq \f(1,2)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(2,sin2θ)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(2,tanθ)))))×2＝6－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,tanθ)＋\f(2,sin2θ)))＝
6－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,tanθ)＋\f(1＋tan2θ,2tanθ)))＝
6－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tanθ＋\f(3,tanθ)))≤6－2eq \r(3)当且仅当tanθ＝eq \f(3,tanθ)，即tanθ＝eq \r(3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3＋\r(5),2)))，θ＝eq \f(π,3)时取“＝”．
答：当∠EFP＝eq \f(π,3)时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，为(6－2eq \r(3)) m2.
新题在线
答案：(1)y＝c＋6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a·x＋\f(1 600b,x)))，x∈(0，40]．
(2)当b≤a时，水池设计成装管道的边长40eq \r(\f(b,a))m，另一边长40eq \r(\f(a,b))m，最低造价为(c＋480eq \r(ab))元；当b＞a时，水池设计成底面边长为40 m的正方形时，最低造价为(c＋240a＋240b)元．
解析：(1)由题意，贮水池的底面一边的长为x m，则另一边长为eq \f(4 800,3x)m，即eq \f(1 600,x)m，所以总造价y＝c＋a×2×3x＋b×2×3×eq \f(1 600,x)，即y＝c＋6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a·x＋\f(1 600b,x)))，
x∈(0，40]．
(2)因为a＞0，b＞0，所以a·x＋eq \f(1 600b,x)≥2·eq \r(ax·\f(1 600b,x))＝80eq \r(ab).当且仅当a·x＝eq \f(1 600b,x)，即x＝40eq \r(\f(b,a))时取等号．若b≤a，则40eq \r(\f(b,a))∈(0，40]，当x＝40eq \r(\f(b,a))时，ymin＝c＋480eq \r(ab)；若b＞a，则当x∈(0，40]时，y′＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1 600b,x2)))＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ax2－1 600b,x2)))＜0，所以函数y在x∈(0，40]上单调递减，也即当x＝40时，ymin＝c＋240a＋240b.综上可知，当b≤a时，水池设计成装管道的边长40eq \r(\f(b,a))m，另一边长40eq \r(\f(a,b))m，最低造价为(c＋480eq \r(ab))元；当b＞a时，水池设计成底面边长为40 m的正方形时，最低造价为(c＋240a＋240b)元．
数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现．数学应用问题是江苏数学高考的突出亮点，常以中档题(17或18题)的形式呈现，具有良好的区分度，是高考的重点与热点．本专题集中介绍分式函数型的应用问题，常见的处理手段是结合实际问题，利用所给条件，建立分式函数模型，利用基本不等式、函数的单调性或导数的方法予以解决.