江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2022-2023学年高一下学期第二次质量调研数学试卷及答案

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2022~2023学年泗阳县实验高级中学高一第二学期第二次质量调研
高一数学试题
注意事项：
1． 考试时间120分钟，试卷满分150分．
2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3． 请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 在锐角三角形中，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是(　　)
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n B. 若m∥α，nα，则m∥n
C. 若m∥α，n⊥α，则m∥n D. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n
4. 已知，，，，则（    ）
A． B． C． D．
5. 已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A B. C. D.
6.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，若＝，则·等于(　　)
A. 　 B. －　 C. 　 D. －
7. 若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是( )
A. l至少与a，b中一条相交 B l至多与a，b中一条相交
C. l至少与a，b中一条平行 D. l必与a，b中一条相交，与另一条平行
8.直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（    ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列各式中值为的是（    ）．
A． B．
C． D．
10. 在等腰直角三角形中，斜边，向量，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
11. 下列表述中错误的是（    ）
A．若直线平面，直线，则
B．若直线平面，直线，且，则
C．若直线平行于平面内的两条平行直线，则
D．若直线垂直于平面内的两条相交直线，则
12. 在正方体中，点是线段上一动点，则下列各选项正确的是（    ）

A． B．平面
C．直线与平面所成角随长度变化先变小再变大
D．存在点使得过有条直线分别与和所成角大小为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知是锐角，，则的值是_________．
14. 已知复数满足，的虚部为－2，所对应的点在第二象限，则_________．
15. 已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题：
（1）若，，则
（2）若a，b在平面α内，且，，则
（3）若α，β分别经过两异面直线a，b，且，则c必与a或b相交
（4）若a，b，c是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与a，b，c都相交
其中正确的命题是________．（请写上正确命题的序号）
16. 如图，在圆锥SO中，AB为底面圆的直径，SO＝AO＝3，P为SB上的点，，D为底面圆周上的点，，则异面直线SA与PD所成角的余弦值为_________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，满足，，．求：
（1）；
（2）与的夹角．
18.已知，．
(1)求的值；
(2)若且，求的值．
19．如图，长方体中，，，点为的中点.

(1)求证：直线平面PAC；
(2)求异面直线与AP所成角的大小.
20．如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且PA＝AD．

(1)求证：AF//平面PEC；
(2)求证：AF⊥平面PCD．
21. 在中，，，是边上一点，且．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在？若存在，求的长；若不存在，说明理由．

22. 如图，在正方体中：

（注：如需添加辅助线，请将第（1）（2）问的辅助线分别作在答题卡中的图1与图2上）
（1）证明：平面；
（2）若，点是棱上一点（不包含端点），平面过点，且，求平面截正方体所得截面的面积的最大值
2022~2023学年泗阳县实验高级中学高一第二学期第二次质量调研
高一数学试题
注意事项：
1． 考试时间120分钟，试卷满分150分．
2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3． 请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的乘法运算和除法运算可得答案.
【详解】.
故选：C.
2. 在锐角三角形中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理即可求解.
【详解】解：在锐角三角形中，，由正弦定理得，
又，所以，且，故.
故选：A.
3. 对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是(　　)
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n B. 若m∥α，nα，则m∥n
C. 若m∥α，n⊥α，则m∥n D. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n
【答案】 D
【解析】 对于A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对于B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对于C，m与n垂直，故C错误；对于D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．
4. 已知，，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对两个等式平方相加，根据同角的三角函数关系式、两角差的余弦公式进行求解即可.
【详解】因为，，
所以，
，
，
因为，，所以，
因为，而，，
所以，因此，故，
故选：C
5. 已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的求法求得正确答案.
【详解】在上的投影向量是：
.
故选：A
6.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，若＝，则·等于(　　)
A. 　 B. －　 C. 　 D. －
【答案】 A
【解析】 ·＝(＋)·＝·＝·(－)＝(2＋)·(－)＝(22－2－·)＝×(18－4－3)＝.故选A.
7. 若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是( )
A. l至少与a，b中一条相交
B l至多与a，b中一条相交
C. l至少与a，b中一条平行
D. l必与a，b中一条相交，与另一条平行
【答案】A
【解析】
【分析】此种类型的题可以通过举反例判断正误.
【详解】因为a，b为两条异面直线且，，，所以a与l共面，b与l共面.
若l与a、b都不相交，则a∥l，b∥l，a∥b，与a、b异面矛盾，故A对；
当a、b为如图所示的位置时，可知l与a、b都相交，故B、C、D错.

故选：A.
8.直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将直三棱柱补全为正方体，根据正方体性质、线面垂直的判定可得面，由线面角的定义找到与平面所成角的平面角，进而求其大小.
【详解】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，为上底面对角线交点，

所以，而面，面，故，
又，面，故面，
则与平面所成角为，若，
所以，，则，故.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列各式中值为的是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】利用二倍角正弦公式即可判断选项A；利用二倍角余弦公式即可判断选项B；
利用两角和的余弦公式可判断选项C；利用两角差的正切公式可判断选项D；
【详解】对于选项A：由二倍角正弦公式可得，故选项A正确；
对于选项B：由二倍角余弦公式，故选项B不正确；
对于选项C：由两角和的余弦公式
；故选项C正确；
对于选项D：由两角差的正切公式可得：
故选项D正确.
故选：ACD
10. 在等腰直角三角形中，斜边，向量，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先由，结合等腰直角三角形，可求出对应的模及其夹角，即可判断A，由可判断B；由可判断C；由是否等于0可判断D
【详解】由题意，等腰直角三角形，，，，又
对A，，故A对；
对B，，故B错；
对C，，故C对；
对D，，故D对；
故选：ACD
11. 下列表述中错误的是（    ）
A．若直线平面，直线，则
B．若直线平面，直线，且，则
C．若直线平行于平面内的两条平行直线，则
D．若直线垂直于平面内的两条相交直线，则
【答案】ABC
【分析】根据已知条件判断各选项中线面的位置关系，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，若直线平面，直线，则或或、相交（不一定垂直），A错；
对于B选项，若直线平面，直线，且，则或、相交（不一定垂直），B错；
对于C选项，若直线平行于平面内的两条平行直线，则或，C错；
对于D选项，若直线垂直于平面内的两条相交直线，由线面垂直的判定定理可知，D对.
故选：ABC.
12. 在正方体中，点是线段上一动点，则下列各选项正确的是（    ）

A． B．平面
C．直线与平面所成角随长度变化先变小再变大
D．存在点使得过有条直线分别与和所成角大小为
【答案】AB
【分析】本题利用立体几何中线面垂直的判定、面面平行的判定对A,B选项进行判断，C,D选项需要结合线面角与异面直线成角的相关知识点，通过转化的思想去解决.
【详解】解：对于A：连接，

由正方体的性质可得：
，平面
平面，，故A正确；
对于B：连接
易证：
平面
平面
平面平面
平面，平面，故B正确；
对于C：连接，平面
即为直线与平面所成角，

当从移动至的过程中，增大，先变小再变大，即先变大再变小，故C错误；
对于：，
与成角的直线与也成，
当在或时，，
故过点的直线中，有条分别与和所成角大小为，即过有条直线分别与和所成角大小为，故D错误．
故选：AB.
【点睛】熟练利用线面垂直的性质定理，线面平行的判定定理将会对这类难题的较为简单的选项做一个清晰的判断，后面较难的有关线面角，线线角的动态变化要能够学会利用转化的思想去解决.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知是锐角，，则的值是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】结合同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案.
【详解】由于是锐角，，
所以，
所以.
故答案为：
14. 已知复数满足，的虚部为－2，所对应的点在第二象限，则_________．
【答案】##
【解析】
【分析】设复数，根据题干中的条件列方程组求解的值即可.
【详解】解：设复数，则，所以，
又，且的虚部为-2，则，
因为所对应的点在第二象限，即点在第二象限，所以，
故，解得，故.
故答案为：.
15. 已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题：
（1）若，，则
（2）若a，b在平面α内，且，，则
（3）若α，β分别经过两异面直线a，b，且，则c必与a或b相交
（4）若a，b，c是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与a，b，c都相交
其中正确的命题是________．（请写上正确命题的序号）
【答案】（3）（4）
【分析】简单的反例可以否定（1）（2），利用反证法，借助平行公理可以确认（3），通过较为复杂的构造与证明，可以确认（4）
【详解】（1）在保持与平面平行的条件下可以在一个与平行的平面内任意旋转，故a与定直线b所成的角是任意的，故（1）错误；
（2）当平行时，不能保证直线垂直于平面，直线甚至可以在平面内，故（2）错误；
（3）假若c既不与a相交，也不与b相交，由于a,c都在α内，故a,c平行，同理b,c平行，
根据平行公理得到a,b平行，与已知a,b为异面直线矛盾，故（3）正确；
（4）如图所示，a，b，c是异面直线，上下两个平面α，β是分别通过a,c中的一条而与另一条平行的平面，
直线b与这两个平面都相交，交点A,B都不在直线a,c上.
在直线b上任取一点不同于A,B的点P，由于a,b异面，∴P∉a，则直线a与点P确定一个平面，
可知这平面与直线c相交，设交点为Q,连接PQ的直线与直线a必然相交（否则，这条线必在平面β内)，
由于P点的任意性，可知这样可以做出无数条直线与a,b,c都相交，故（4）正确.

【点睛】本题考查线面的平行相交，异面直线等关系，关键难点在于（4）的构造性证明.
16. 如图，在圆锥SO中，AB为底面圆的直径，SO＝AO＝3，P为SB上的点，，D为底面圆周上的点，，则异面直线SA与PD所成角的余弦值为_________．

【答案】
【分析】在BA上取点，使得，则即为直线SA与PD所成角，即可求出.
【详解】在BA上取点，使得，连接，此时，所以即为直线SA与PD所成角．
在中，，，，由余弦定理得，，
过P作，在△BHD中，，，，由余弦定理得，
在Rt△PHD中，，，所以．
在中，，，，
所以．
故答案为：.


四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，满足，，．求：
（1）；
（2）与的夹角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量模的坐标运算以及向量的基本运算可以直接求得；
（2）根据向量数量积的定义进行计算即可得到结果.
【小问1详解】
由，得，
故，代入，，得，
由，得
【小问2详解】
由
故与的夹角为.
18.已知，．
(1)求的值；
(2)若且，求的值．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）利用同角三角函数关系可求得，由两角和差正切公式可求得结果；
（2）利用，利用两角和差公式展开后，结合同角三角函数关系可求得结果.
(1)
，，，，
；
(2)
，
，，，，
由（1）知：，
．

19．如图，长方体中，，，点为的中点.

(1)求证：直线平面PAC；
(2)求异面直线与AP所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)30°

【分析】（1）设和交于点，可得，根据线面平行的判定定理即可得证．
（2）由，得即为异面直线与所成的角．求得各个边长，根据三角函数的定义，即可得答案.
【详解】（1）设和交于点，则为的中点，连接，
∵是的中点，
∴，
又∵平面，平面，
∴直线平面；

（2）由(1)知，，
∴即为异面直线与所成的角，
∵，，且，
∴．
又，
∴
故异面直线与所成角的大小为．
20．如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且PA＝AD．

(1)求证：AF//平面PEC；
(2)求证：AF⊥平面PCD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得平面.
（2）结合线面垂直的判定定理来证得平面.
（1）
设是的中点，由于是的中点，
所以，
由于是的中点，四边形是矩形，
所以，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）
由于PA⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为，，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为是的中点，
所以，
因为，、平面，
所以平面.

21. 在中，，，是边上一点，且．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在？若存在，求的长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求得，进而求得，从而求得三角形的面积.
（2）利用三角形的知识作出判断.
【小问1详解】
在中，，，
由余弦定理得，，
则

【小问2详解】
不存在，理由如下：
若，
则为锐角，
则为钝角，则，
所以，
这与已知矛盾，
所以不存在.
22. 如图，在正方体中：

（注：如需添加辅助线，请将第（1）（2）问的辅助线分别作在答题卡中的图1与图2上）
（1）证明：平面；
（2）若，点是棱上一点（不包含端点），平面过点，且，求平面截正方体所得截面的面积的最大值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，，根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理可得平面，则有，同理可证，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）过点P作，交AD于点Q，过点Q作，交于S，过点作，交于R，证明Q，S，P，R四点共面，再证明平面，即可得平面即为所求的平面，设平面平面，说明平面截正方体所得截面为平面六边形，设再根据截面六边形面积等于等腰梯形的面积加上等腰梯形的面积，从而可得出答案.
【小问1详解】
证明：连接，，
在正方体中，，
由平面，，得，
又因为，故平面，
又因为平面，
故，
同理，
又因，
所以⊥平面；
【小问2详解】
解：过点P作，交AD于点Q，
过点Q作，交于S，
过点作，交于R，
则，，故，
又，故，则Q，S，P，R四点共面，
由，，
由（1）可知，，
故，，，故平面，
平面即为所求的平面，
因为平面平面，平面平面，
设平面平面，则，
又因为，可得，
同理可得：，
故平面截正方体所得截面为平面六边形，
设
则，，，
等腰梯形的面积，等腰梯形的面积，
截面六边形面积，
当，，
故平面截正方体所得截面的截面面积的最大值为.