2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学高二上学期第一次调研测试数学试题含答案

2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学高二上学期第一次调研测试数学试题

一、单选题

1．经过两点的直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系，即可求得答案.

【详解】经过两点的直线的斜率为，

因为直线的倾斜角大于等于小于，

故经过两点的直线的倾斜角是，

故选：D

2．圆与圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．内切 C．外切 D．外离

【答案】B

【分析】计算两圆的圆心距，和半径差比较，即可得答案.

【详解】由题意得圆的圆心为，半径为6，

圆的圆心为，半径为1，

则，

故两圆内切，

故选：B

3．若点在直线上，O是原点，则OP的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】C

【分析】根据题意，由点到直线的距离公式即可得到结果.

【详解】由题意可知，OP的最小值即为原点到直线的距离，

则.

故选：C

4．已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】考虑截距是否为0，分两种情况求解，求出直线斜率，即可求得答案.

【详解】由题意设直线与x轴交点为，则与y轴交点为，

当时，直线过原点，斜率为，故方程为；

当时，直线的斜率，

故直线方程为，即，

故选：D

5．圆关于点对称的圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程.

【详解】由题意可得圆的标准方程为，

所以圆心为，半径为，

因为点关于点的对称点为，

所以所求对称圆的标准方程为，

故选：D

6．已知直线和直线，若，则的值为（    ）

A．2 B． C．0或2 D．1或

【答案】C

【分析】由两直线垂直的充要条件建立方程求解即可.

【详解】由，得，

解得，或.

故选：C.

7．已知圆：与轴正半轴交于点A，点为圆上动点，点为弦中点，则到直线的距离为的点的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】C

【分析】求出点C的轨迹方程，结合原点到直线的距离以及直线和轨迹方程相交的位置关系，即可求得答案.

【详解】由题意知，设，则，

由于点为圆上动点，故，

即得点C的轨迹方程为，

原点到直线的距离为，

而直线和平行，它们之间的距离为；

又因为到直线的距离为，

即直线和相交，

故圆上有2个点到直线的距离为，

即符合题意的点的个数为2，

故选：C

8．已知点为圆上一点，点在圆外，若满足的点有且只有4个，则正数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意得到，再求出为圆的切线时，从而得到正数的取值范围.

【详解】由题意得，解得，

如图所示，此时且，，

此时满足的点有2个，

此时，故，解得，

故要想满足的点有且只有4个，则要，

综上：正数的取值范围是.

故选：A

二、多选题

9．下列说法中错误的是（    ）

A．不过原点的直线都可以用方程表示

B．若直线，则两直线的斜率相等

C．过两点，的直线都可用方程表示

D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直

【答案】ABD

【分析】A和C选项根据直线的截距式方程和两点式方程的定义解决，选项B需要考虑斜率不存在的情况，选项D根据斜率考虑直线的倾斜角，得到两直线的位置关系.

【详解】A.直线的截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A错误；

B.和的斜率有可能不存在，故B错误；

C.选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果，直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，但化为整式后就没有缺陷了，可以表示任意直线，故C正确；

D.直线斜率不存在，则直线垂直于轴，直线斜率存在，但不一定斜率为0，所以两直线不一定垂直，故D错误.

故选：ABD

10．过直线l：上的点作圆C：的切线，若在直线l上存在一点M，使得过点M的圆C的切线MP，（为切点），满足，则a的取值可能是（    ）

A．-4 B．-3 C．2 D．5

【答案】BC

【解析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为到直线的距离小于或等于，再由点到直线的距离公式得到关于的不等式求解.

【详解】圆C：，圆心为，半径为1，

因为在直线上存在一点，

使得过点M的圆C的切线MP，（为切点），满足，

所以在直线上存在一点，使得到的距离等于，

所以只需到直线l：的距离小于或等于，

所以，解得，

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关直线与圆的位置关系的问题，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于是解决问题的关键.

11．已知点，且直线：与线段恒有交点，下列说法中正确的是（    ）

A．直线l的斜率为

B．直线l过定点

C．若直线与直线垂直，则

D．m的取值范围

【答案】BCD

【分析】利用直线方程确定直线定点及斜率，来判断A，B选项，在根据直线与的关系判断C，D选项.

【详解】解：对于直线：

当时，直线斜率存在，斜率为，故A选项错误；

又当时，总有，所以直线过定点，故B选项正确；

又，所以，若直线与直线垂直，则，所以，得，故C选项正确；

如图， 设直线恒过定点

若直线与线段恒有交点，则可得：

即，解得：，所以m的取值范围，故D选项正确.

故选：BCD.

12．已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ）

A．若点，则直线的方程为 B．四边形面积的最小值为

C．线段的最小值为 D．点始终在以线段为直径的圆上

【答案】ABC

【分析】求出以为直径的圆的方程，和相减，即可得直线的方程，判断A；求出边形面积的表达式，结合几何意义即可求得最小值，判断B；求出直线AB经过的定点，结合几何意义可求得线段的最小值，判断C；根据点和圆的位置关系的判断可判断D.

【详解】对于A，点，连接，则，

故在以为直径的圆上，而,

则以为直径的圆的方程为，

将方程和相减得，

即直线的方程为，A正确；

对于B，由题意知，则的面积为，

而的最小值即为原点O到直线的距离，

故的面积的最小值为，B正确；

对于C，设，则以为直径的圆的方程为，

和相减，即得直线的方程为，

又，故，即，

令，则，

即直线过定点，设为E，则，

当时，最小，最小值为，C正确；

对于D，在四边形中，不一定是直角，

故点不一定在以线段为直径的圆上，D错误，

故选：ABC

【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线AB所过的定点，然后利用几何意义即可求解答案.

三、填空题

13．平行直线与之间的距离为         ．

【答案】/0.3

【分析】根据平行线间的距离公式即可求得答案.

【详解】由题意得即

则平行直线与之间的距离为，

故答案为：

14．已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为        ．

【答案】

【分析】求出圆心和半径，即得答案.

【详解】由题意可得该圆的圆心为的中点，即，

半径为，

故该圆的方程为，

股答案为：

15．已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为          ．

【答案】

【分析】先求得直线与直线的交点，然后利用角平分线定理求得点坐标，进而求得直线的方程.

【详解】，直线的方程为，

由解得，设，

依题意，的平分线为直线，

由正弦定理得，

由于，由此整理得,

则，设，

则，

整理得，解得或（舍去），

则，，

直线的方程为.

故答案为：

16．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上的点均满足，则实数的取值范围是            ．

【答案】或

【分析】将条件坐标化，先转化为恒成立，即圆上所有动点到定点距离的最小值大于，再转化为与圆心距离的不等关系求解可得.

【详解】设，由点，

即点满足，即，

设点，即恒成立

则，圆上所有点到定点最小值大于，

又圆，半径为，

圆上所有点到定点最小值即为：.

.

即，化简得，

解得或.

故答案为：或.

四、解答题

17．已知的顶点，直线的方程为，边上的高 所在直线的方程为.

(1)求顶点和的坐标；

(2)求外接圆的一般方程.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）联立直线，的方程求出点的坐标，由求出直线的斜率及方程，的方程与直线方程联立求出的坐标；

（2）设圆的一般方程为，将，，三点坐标代入求出圆的一般方程求出的值即可求解.

【详解】（1）由可得，所以点的坐标为，

由可得，所以

由，可得，

因为，所以直线    的方程为：，即，

由可得，所以点的坐标为.

（2）设的外接圆方程为，

将，和三点的坐标分别代入圆的方程可得：

，解得：，

所以的外接圆的一般方程为.

18．已知圆与圆恰好有三条公切线，点，直线与圆交于点．

(1)求实数的值；

(2)证明：轴平分．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意判断两圆的位置关系，列式即可求得答案；

（2）联立直线和圆的方程，求得交点坐标，即可求得，即可证明结论.

【详解】（1）化圆为，

则圆心坐标为，半径为2．

由题意圆与圆恰好有三条公切线，

则两圆外切，则，解得；

（2）证明：联立，得，

解得或．不妨设，，

∴，

∴直线，的倾斜角互补，从而，

故轴平分．

19．如图所示，正方形的顶点.

（1）求边所在直线的方程；

（2）写出点C的坐标，并写出边所在直线的方程.

【答案】（1）；（2），.

【分析】（1）由求得边所在直线方程.

（2）由求得点的坐标，结合求得边所在直线方程.

【详解】（1）边所在直线的一个法向量为，

边所在直线的方程为：，即

（2）设，

由已知得，解得：，即，

因为边所在直线的一个方向向量为，

所以边所在直线的方程为.即.

20．已知圆.

(1)过点向圆引切线，求切线的方程；

(2)记圆与、轴的正半轴分别交于，两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.

【答案】(1)或.

(2)有两个公共点，

【分析】（1）切线斜率不存在，方程为符合题意，当斜率存在时，设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求得的值即可求解.

（2）求出，两点坐标，再由两点间距离公式可得点的轨迹方程，由圆心距与半径之和、半径之差的关系可判断两圆是否有两个公共点，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，由圆心到直线的距离以及半径，由几何法可得公共弦长.

【详解】（1）由圆可得圆心，半径为，

若切线斜率不存在，则方程为与圆相切，所以符合题意；   

若斜率存在，设方程为，即，

则圆心到切线的距离，解得：，

切线方程为即，

综上所述：切线方程为或.

（2）因为圆，所以，，

设，由可得：，

化简得：，即，

所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，    

所以圆心距，

因为，所以两圆有两个公共点，       

由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为，

圆心到直线的距离，

所以公共弦长为.

21．如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG=50m．在观测点正前方10m处（即PD=10m）有一个高位10m（即ED=10m）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧．

（1）若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为X轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；

（2）若在点P处观测该圆形标志的最大视角（即）的正切值为,求该圆形标志物的半径．

【答案】（1），（2）

【详解】试题分析：（1）求圆标准方程，只需确定圆心及半径，由题意知圆心为，半径为，因此，求直线PF的方程实质求过点P的圆的切线方程，利用点斜式即圆心到直线距离等于半径求解：设直线方程：，则解得；（2）本题实质为已知圆的切线方程，求圆的半径，同（1）先求出直线PF的斜率：因为，所以．再利用圆心到切线距离等于半径求半径：直线方程：，即，所以，

试题解析：解：（1）圆．

直线方程：．

设直线方程：，

因为直线与圆相切，所以，解得．

所以直线方程：，即．

设直线方程：，圆．

因为，所以．

所以直线方程：，即．

因为直线与圆相切，所以，

化简得，即．

故．

【解析】直线与圆相切

【名师点睛】过圆外一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法

（1）几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径求解．

（2）代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k（x－x0），即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．

22．已知圆的圆心在射线上，截直线所得的弦长为6，且与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）已知点，在直线上是否存在点（异于点），使得对圆上的任一点，都有为定值？若存在，请求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（2）存在,为,

【分析】（1）由题,设圆心为,由相切关系求得半径,再由弦长公式求出,进而得到圆的方程；

（2）假设存在满足条件的点和定值,设为,为,利用两点间距离公式得到,再根据在圆上,待定系数法求得系数的关系,进而求解即可

【详解】（1）圆的圆心在射线上,

设圆心为,圆心到直线的距离为,

又圆与直线相切,

,

圆截直线所得的弦长为6,

,则,即,

,解得或（舍）

,圆心为,

圆为

（2）存在,为,,

假设存在直线上点（异于点）,使得对圆上的任一点,都有为定值,

由题,设为,且,,

设为,则,,

则,

整理可得,

在圆上,,即,

,

,解得,此时为

【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查两点间距离公式的应用,考查运算能力,考查数形结合能力