07 衡水中学高一数学预习知识点——对数及对数函数

衡水中学高一数学预习知识点——对数及对数函数

一、 知识点讲解

（一）对数及对数运算

1．对数的概念

如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b．其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

2．对数具有下列性质：

（1）0和负数没有对数，即；

（2）1的对数为0，即；

（3）底的对数等于1，即．

3．两种特殊的对数

（1）通常将以10为底的对数叫做常用对数，；

（2）以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， 。

4．对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．

5.对数的运算法则：已知

（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；

（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

（二）对数公式

1．对数恒等式：

2．换底公式;同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底:

（1）

令 logaM=b,则有ab=M,（ab）n=Mn，即即，即:．

（2）

令logaM=b， 则有ab=M， 则有

即， 即，即

（三）对数函数及其性质

1．对数函数的概念

函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为．

2.对数函数的图象与性质

3.底数对对数函数图象的影响

（1）底数制约着图象的升降，如图

2．底数变化与图象变化的规律

在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图)

二、 经典例题

1.若logx-1(3-x)有意义,则x的取值范围是　　　　. 

【解析】由已知得

解得1<x<3且x≠2.即x的取值范围是(1,2)∪(2,3).

【答案】(1,2)∪(2,3)

2.计算下列各式：

(1)0.008 +()2+(-16-0.75;

(2)(lg 5)2+lg 2·lg 50+.

解:(1)原式=(0.34++-24×(-0.75)=0.3+2-3+2-2-2-3=0.55.

(2)原式=(lg 5)2+lg 2·lg(2×52)+2·

=(lg 5)2+lg 2·(lg 2+2lg 5)+2

=(lg 5+lg 2)2+2=1+2.

3. 若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为　　　　. 

【解析】函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1)，所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.

【答案】0

4. 函数y=log2|x|的图象大致是(　　)

【解析】因为函数y=log2|x|是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,结合图象可知A正确.

【答案】A