第24讲 圆（强化训练）（教师版含解析）中考数学一轮复习讲义+训练

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2023年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练(全国通用)
第二十四讲 圆
考点一 圆相关角计算 2
考点二 垂径定理与切线长定理 6
考点三 弧长与扇形面积 6
考点四 圆综合计算 13















考点一 圆相关角计算

1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝150°，则∠BCD的度数是(　　)

A．30° B．60° C．105° D．120°
【解答】解：∵弧BCD对的圆周角是∠A，圆心角是∠BOD，∠BOD＝150°，
∴∠A＝∠BOD＝75°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝105°，
故选：C．
2．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝120°，则∠BDC的度数是(　　)

A．20° B．30° C．40° D．45°
【解答】解：∵∠AOC＝120°，
∴∠ADC＝∠AOC＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝30°．
故选：B．
3．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？(　　)

A．97° B．104° C．116° D．142°
【解答】解：∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD＝90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵直线ED为圆O的切线，
∴∠ADE＝∠ABD＝19°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．
故选：C．
4．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝58°，则∠APB等于(　　)

A．54° B．58° C．64° D．68°
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
由圆周角定理：∠AOB＝2∠ACB＝2×58°＝116°，
∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣116°＝64°，
故选：C．

5．如图，AB是圆O的直径，C、D在圆上，连接AD、CD、AC、BC．若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为(　　)

A．35° B．45° C．55° D．65°
【解答】解：∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝35°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝55°，
∴∠ADC＝∠B＝55°，
故选：C．
6．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于(　　)

A．55° B．70° C．110° D．125°
【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．
故选：B．

7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是(　　)

A．125° B．130° C．135° D．140°
【解答】解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．

故选：B．

考点二 垂径定理与切线长定理

8．如图，⊙O的半径为6，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是(　　)

A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．

由题意AB垂直平分线段OK，
∴AO＝AK，
∵OA＝OK，
∴OA＝OK＝AK，
∴∠OAK＝∠AOK＝60°．
∴AH＝OA•sin60°＝6×＝3，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∴AB＝2AH＝6，
∵OC+OH≥CT，
∴CT≤6+3＝9，
∴CT的最大值为9，
∴△ABC的面积的最大值为＝27，
故选：C．
9．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是(　　)

A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB于点C，OB＝5，OC＝3，
∴BC＝＝4，
∴AB＝2×4＝8，
∵AO≤AP≤AB，
∴5≤AP≤8，
∴AP的长度不可能是：9(答案不唯一)．
故选：D．
10．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为(　　)

A．5 B．7 C．8 D．10
【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10，
故选：D．
11．如图，在等腰三角形ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于(　　)

A． B． C． D．1
【解答】解：连OM，ON，如图，
∵MD，MF与⊙O相切，
∴∠1＝∠2，
同理得∠3＝∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C＝360°，AB＝AC
∴∠2+∠3+∠B＝180°；
而∠1+∠MOB+∠B＝180°，
∴∠3＝∠MOB，即有∠4＝∠MOB，
∴△OMB∽△NOC，
∴＝，
∴BM•CN＝BC2，
∴＝．
故选：B．

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(6，0)、B(0，6)，⊙O的半径为2(O为坐标原点)，点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为(　　)

A． B．3 C．3 D．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A(﹣6，0)、B(0，6)，
∴OA＝OB＝6，
∴AB＝6
∴OP＝AB＝3，
∵OQ＝2，
∴PQ＝＝，
故选：D．

考点三 弧长与扇形面积

13．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AO＝1．分别以点A、B为圆心，AO、BO长为半径画弧，与相交，则图中阴影部分的周长为 　π+2　．

【解答】解：如图，连接AC，OC，
则AC＝OA＝OC，
∴∠OAC＝∠AOC＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠COB＝30°，
∴图中阴影部分的周长为2(++OA)＝2×(+1)＝π+2，
故答案为：π+2．

14．如图，已知半圆O的直径AB＝6，将半圆O绕点A逆时针旋转，使点B落在点B′处，AB′与半圆O交于点C，若弧BC的长为，则图中阴影部分的面积是 　π　．

【解答】解：连接OC，如图，设∠BOC＝n°，
∵弧BC的长为，
∴＝π，
解得n＝90°，
∴∠BAC＝BOC＝45°，
∵S阴影部分+S半圆AB＝S半圆+S扇形BAB′，
∴S阴影部分＝S扇形BAB′＝＝π．
故答案为：π．

15．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为 　　．

【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，
∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝，
故答案为：；

16．如图，等边△ABC的边长为1，以A为圆心，AC为半径画弧，交BA的延长线于D，再以B为圆心，BD为半径画弧，交CB的延长线于E，再以C为圆心，CE为半径画弧，交AC的延长线于F，则由弧CD，弧DE，优弧EF及线段CF围成的图形(CDEFC)的周长为 　6π+3　．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝1，∠CAB＝∠BCA＝∠ABC＝60°．
∴AD＝1，∠CAD＝120°，∠DBE＝120°，∠FCE＝120°．
∴BD＝AB+AD＝2，CE＝CF＝CB+BE＝1+2＝3，
∴的长＝＝π，
的长＝＝π，
优弧EF的长＝＝4π，
∴弧CD，弧DE，优弧EF及线段CF围成的图形(CDEFC)的周长为π+π+4π+3＝6π+3．
故答案为：6π+3．


考点四 圆综合计算

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AC＝6，tanE＝，求AF的长．

【解答】证明：(1)如图，连接OD，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴AC∥OD，
∴∠DFC＝∠ODF，
∵DE⊥AC，
∴∠DFC＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
(2)∵AC＝6＝AB，
∴AO＝OB＝3＝OD，
∵OD⊥DE，tanE＝，
∴＝，
∴DE＝4，
∴OE＝＝＝5，
∴AE＝OE﹣OA＝2，
∵AC∥OD，
∴△AEF∽△OED，
∴，
∴，
∴AF＝．
18．如图1，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
(1)若AB＝20，AC＝12，求BD，DE的长；
(2)若F是OA的中点，FG⊥OA交直线DE于点G，如图2，若FG＝，tan∠BAD＝，求⊙O的半径．

【解答】解：(1)如图1，连接BC，OD交于点N，

∵DE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠DAE，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
∴∠NDE＝90°，
∵∠BCE＝∠E＝90°，
∴四边形DECN是矩形，
∴∠CND＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BN＝CN＝BC，DE＝NC，
Rt△ABC中，AB＝20，AC＝12，
∴BC＝＝＝16，
∴DE＝BN＝CN＝8，
∵O是AB的中点，
∴ON是△ABC的中位线，
∴ON＝AC＝6，
Rt△BDN中，且ON＝6，DN＝4，BN＝8，
∴BD＝＝＝4；
(2)如图2，设FG与AD交于点H，过点G作GM⊥HD，垂足为M，

tan∠BAD＝＝
设BD＝3x，AD＝4x，则AB＝5x，
∵F为OA的中点，
∴AF＝x，
∵GF⊥AB
∴∠AFH＝90°
∵tan∠BAD＝
∴FH＝AF•tan∠BAD＝＝x，
同理得：AH＝＝＝x，
HD＝AD﹣AH＝4x﹣x＝x，
由(1)知：∠HDG+∠ODA＝90°，
在Rt△HFA中，∠FAH+∠FHA＝90°，
∵∠OAD＝∠ODA，∠FHA＝∠DHG，
∴∠DHG＝∠HDG，
∴GH＝DG，MH＝MD，
∴HM＝HD＝＝x，
在Rt△HGM中，HG＝＝＝x，
∵FH+GH＝，即＝，
解得：x＝，
∴⊙O的半径为＝8．
19．如图已知⊙O经过A、B两点，AB＝6，C是的中点，联结OC交弦AB与点D，CD＝1．
(1)求圆⊙O的半径；
(2)过点B、点O分别作点AO、AB的平行线，交于点G，E是⊙O上一点，联结EG交⊙O于点F，当EF＝AB，求sin∠OGE的值．

【解答】解：(1)∵AB＝6，C是的中点，CD＝1，
∴OC⊥AB且OC平分AB，
∴AD＝3，∠ODA＝90°，
设OA＝r，则OD＝r﹣1，
∴r2＝32+(r﹣1)2，
解得，r＝5，
即圆⊙O的半径为5；
(2)作OH⊥EF于点H，
∵AB＝EF，OD＝r﹣1＝4，
∴OH＝OD＝4，∠OHG＝90°，
∵OA∥BG，OG∥AB，
∴四边形OABG是平行四边形，
∴OG＝AB，
∵AB＝6，
∴OG＝6，
∴sin∠OGH＝＝＝，
即sin∠OGE＝．

20．如图，直线PO交⊙O于点E、F，PB为⊙O的切线，B为切点，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF，PA．
(1)试探究线段OF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；
(2)若BC＝18，sin∠F＝，求线段PF的长．

【解答】(1)OF2＝OD×OP．
证明：连接OB，

∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO＝90°，
∵OA＝OB，BA⊥PO于D，
∴AD＝BD，∠POA＝∠POB，
在△PAO和△PBO中，，
∴△PAO≌△PBO(SAS)，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠PDA＝90°，
∴∠OAD+∠AOP＝90°，∠OPA+∠AOP＝90°，
∴∠OAD＝∠OPA，
∴△OAD∽△OPA，
∴，
即OA2＝OD×OP，
∵OF＝OA，
∴OF2＝OD•OP．
(2)∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝18，
∴OD＝BC＝9，
设AD＝x，
∵sin∠F＝，
∴tan∠F＝＝，
∴FD＝2x，OA＝OF＝2x﹣9，
在Rt△AOD中，由勾股定理，
得(2x﹣9)2＝x2+92，
解得x1＝12，x2＝0(不合题意，舍去)，
∴AD＝12，OA＝2x﹣9＝15，
∵OA2＝OD×OP，
∴9OP＝225，
∴OP＝25，
∴PF＝40．