【中考一轮复习】2023年中考数学复习训练——第24讲 圆的概念与证明（含解析）

这是一份【中考一轮复习】2023年中考数学复习训练——第24讲 圆的概念与证明（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为 （ ）
A．B．C．D．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是 （ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
3．如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为 （ ）
A．B．C．D．
4．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是 （ ）
A．28°B．30°C．36°D．56°
5．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是 （ ）
A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心
D．I到A，B，C三点的距离相等
二、填空题
6．如图，是的外接圆的直径，若，则_____°．
7．如图，在中，半径垂直弦于点，若，，则______．
8．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．
9．的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为______．
10．如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．
三、解答题
11．如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
12．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
13．如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
14．如图，是的外接圆，与相切于点D，分别交，的延长线于点E和F，连接交于点N，的平分线交于点M．
(1)求证：平分；
(2)若，，求线段的长．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．
(1)求证：BC是⊙O的切线．
(2)若CF＝2，sinC＝，求AE的长．
16．如图，已知是等边三角形，P是内部的一点，连接BP，CP．
（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在上时，连接AP，在BC边的下方作，，连接DP，求的度数；
（2）如图2，E是BC边上一点，且，当时，连接EP并延长，交AC于点F．若，求证：；
（3）如图3，M是AC边上一点，当时，连接MP．若，，，的面积为，的面积为，求的值（用含a的代数式表示）．
参考答案：
1．B
【分析】利用圆锥侧面积计算公式计算即可：；
【解析】 ，
故选B．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可．
2．B
【分析】直接根据直径所对的圆周角是直角进行判断即可．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，
∴∠C=90°
故选：B
【点睛】此题主要考查了：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，灵活掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
3．D
【分析】由圆内接四边形的性质得度数为，再由为的外角求解．
【解析】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵为的外角，
∴，只有D满足题意．
故选：D．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．
4．A
【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小．
【解析】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠AOB＝86°−30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°．
故选A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．D
【分析】根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可．
【解析】解：A.由作图可知，AE是∠BAC的平分线，
∴I到AB，AC边的距离相等，故选项正确，不符合题意；
B.∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点，
∴CI平分∠ACB，故选项正确，不符合题意；
C.由上可知，I是△ABC的内心，故选项正确，不符合题意，
D.∵I是△ABC的内心，
∴I到AB，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质．
6．50
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
【解析】∵是的外接圆的直径，
∴点，，，在上，
∵，
∴，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．##0.8
【分析】由垂径定理可知，然后在中根据余弦的概念计算的值即可．
【解析】解：∵半径垂直弦于点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和余弦的知识，熟练掌握余弦的概念是解题的关键．
8．
【分析】连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．
【解析】解：连接AC，
∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．
9．或
【分析】分①点在线段上，②点在线段上两种情况，连接，先利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求解即可得．
【解析】解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在线段上时，连接，
的直径，
，
，
，
，
，
；
②如图，当点在线段上时，连接，
同理可得：，
，
；
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键．
10．1
【分析】连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可．
【解析】解：连接、，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)AC＝
【分析】（1）连接，，根据“同圆中，等弧所对的圆周角相等”及等腰三角形的性质得到，进而得到，根据圆周角定理结合题意推出，即可判定AD是⊙O的切线；
（2）根据平行线的性质得到∠BFE=∠GDB，∠A=∠ECB，解直角三角形求出OC，OA的长，根据线段的和差求解即可．
（1）
证明：如图，连接OD，BE，
∵点D为的中点，
∴，
∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴ODBE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∵ADCE，OD⊥CE，
∴AD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）
解：∵DGCE，
∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，
∵tan∠GDB＝2，
∴tan∠BFE＝2，
在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝，
∴BE＝6，
∵EF＝3，CF＝5，
∴CE＝EF+CF＝8，
∴BC＝，
∴OD＝OC＝5，
在Rt△BCE中，sin∠ECB＝，
∴sinA＝sin∠ECB＝，
在Rt△AOD中，sinA＝，OD＝5，
∴OA＝，
∴AC＝OA﹣OC＝．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行线的性质、切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定、圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明ODAC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；
（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；
（3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．
【解析】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴ODAC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明：线段是的直径，
，
∴∠ADM＝180°－∠ADB＝，
∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
13．(1)过程见解析
(2)3
【分析】（1）连接OE，先根据圆周角定理及已知条件得出∠ABC=∠BOE，进而得出，再由，根据平行线的性质得出∠FEO=∠ACB，然后根据直径所对的是直角，即可得出答案；
（2）先说明，再设的半径为r，并表示，，，然后根据对应边成比例得出，根据比例式求出半径即可．
【解析】（1）证明：连接OE．
∵，，
∴∠ABC=∠BOE，
∴，
∴∠OED=∠BCD．
∵，
∴∠FEC=∠ACE，
∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，
即∠FEO=∠ACB．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠FEO=90°，
∴．
∵EO是的半径，
∴EF是的切线．
（2）∵，
∴．
∵BF=2，．
设的半径为r，
∴，，．
∵，
∴，
解得，
∴的半径是3．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得⊥EF，由 得OD⊥BC，由垂径定理得，进而即可得出结论；
（2）由平行线分线段定理得，再证明，可得BD=2 ，最后证明,进而即可求解．
（1）
证明：连接交于点H.
∵与相切于点D
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ 即平分；
（2）
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴ ，
∴（负值舍去），
∴
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OE，方法一：根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠OEC＝90°即可；
方法二：根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠OEC＝90°即可；
（2）连接EF，根据三角函数求出AB和半径的长度，再利用三角函数求出AE的长即可．
【解析】（1）连接OE，
方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠BAC＝2∠OAE，
∵∠FOE＝2∠OAE，
∴∠FOE＝∠BAC，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
方法二：∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠OAE＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠BAE＝∠OEA，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接EF，
∵CF＝2，sinC＝，
∴，
∵OE＝OF，
∴OE＝OF＝3，
∵OA＝OF＝3，
∴AC＝OA+OF+CF＝8，
∴AB＝AC•sinC＝8×＝，
∵∠OAE＝∠BAE，
∴cs∠OAE＝cs∠BAE，
即，
∴，
解得AE＝（舍去负数），
∴AE的长为．
【点睛】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解题的关键．
16．（1）30°；（2）见解析；（3）
【分析】（1）连接BD，易证，则由全等三角形的性质可得△DBP是等边三角形，则可得∠BPD=60゜，再由BC边是直径即可求得结果；
（2）连接AP并延长交BC于点G，则由垂直平分线的性质可得AG⊥BC，且BG=CG，设，则CE、EG、BC、AB、BP均可用x的代数式表示，这样在由勾股定理可求得PG的长，在中，由正切的三角函数可求得∠GEP=60゜，从而可得，根据相似三角形的性质即可得结论；
（3）延长MP交AB于点H，连接AP，过点P作，垂足为N，则由已知易得∠MHA=90゜，由直角三角形的性质及勾股定理可得AH、MH的长，从而可求得△PAB的面积，在Rt△MNP中，由直角三角形的性质可得PN的长，从而可求得△PAC的面积，而，从而可求得结果．
【解析】（1）如图，连接BD
是等边三角形，
，．
，，
，
，．
，
，
，
是等边三角形，
．
BC为半圆O的直径，
，
．
（2）如图，连接AP并延长交BC于点G
，，
，．
设，则，
．
，
．
，
．
，
．
在中，由勾股定理得：，
．
在中，，
，
．
，
，
，
．
（3）如图，延长MP交AB于点H，连接AP，过点P作，垂足为N
，，
．
，
．
，
．
在中，，，
，
．
，
．
，
在中，，，
．
．
．
【点睛】本题是一个几何综合题，考查了圆的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，30゜角的直角三角形的性质，勾股定理，图形面积的计算，锐角三角函数等知识，题目不算太难，但涉及的知识点多，关键是要灵活运用这些知识．