江苏省苏州市八校联盟2023届高三下学期5月适应性检测(三模)数学试题及答案

2023届高三年级苏州八校三模适应性检测

数学

2023.5

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.如图，阴影部分所表示的集合为（    ）

A.    B.

C.    D.

2.为得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A.向左平移个长度单位    B.向右平移个长度单位

C.向左平移个长度单位    D.向右平移个长度单位

3.设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为（    ）

A.-1    B.-2    C.-3    D.-4

4.技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至12000，则大约增加了（    ）（参考数据：）

A.    B.    C.    D.

5.已知为坐标原点，点，点在曲线上，则向量在向量方向上的投影向量的长度的最大值为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中的指数为整数的项的个数为（    ）

A.3    B.5    C.6    D.7

7.记方程①：，方程②：，方程③：，其中是正实数.若成等比数列，则“方程③无实根”的一个充分条件是（    ）

A.方程①有实根，且②有实根    B.方程①有实根，且②无实根

C.方程①无实根，且②有实根    D.方程①无实根，且②无实根

8.若圆锥的顶点和底面圆周都在半径为4的同一个球的球面上，两个圆锥的母线长分别为，则这两个圆锥重合部分的体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知变量的5对样本数据为，用最小二乘法得到经验回归方程，过点的直线方程为，则（    ）

A.变量和之间具有正相关关系

B.

C.样本数据的残差为-0.3

D.

10.若直线与曲线满足下列两个条件：

①直线在点处与曲线相切；

②曲线在附近位于直线的两侧，

则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的有（    ）

A.直线在点处“切过”曲线

B.直线在点处“切过”曲线

C.直线在点处“切过”曲线

D.直线在点处“切过”曲线

11.在平面直角坐标系中，设函数，则（    ）

A.曲线上存在两点，使得

B.曲线上任意一点处的切线都不可能经过原点

C.曲线上任意一点处的切线与直线及轴围成的三角形的面积是定值

D.过曲线上任意一点作直线及轴的垂线，垂足分别为，则是定值

12.若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”.则下列数列是“数列”的有（    ）

A.    B.

C.    D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.写出一个同时满足①②的复数__________.

①；②.

14.已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点，已知，若这样的直线有4条，则实数的取值范围是__________.

15.设是从集合中随机选取的数，直线，圆.则直线与圆有公共点的概率是__________；直线与圆的公共点个数的数学期望是__________.

16.设，函数，若恰有三个不同的零点，且是其中的一个零点，则实数的值为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

在中，，点在边上，且，.

（1）求；

（2）求的面积.

18.（12分）

已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前2023项和.

19.（12分）

如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，且，平面，垂足为平面，垂足为，连接并延长交于点.

（1）求二面角的余弦值；

（2）在平面内找一点，使得平面，说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积.

20.（12分）

在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子.

（1）计算主持人打开4号箱的概率；

（2）当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选1号或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）

21.（12分）

已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似，且焦点在同一条直线上，曲线经过点.过曲线上任一点作曲线的切线，切点分别为，这两条切线分别与曲线交于点（异于点），证明：.

22.（12分）

设函数.

（1）从下面两个条件中选择一个，求实数的取值范围；

①当时，；

②在上单调递增.

（2）当时，证明：函数有两个极值点，且随着的增大而增大.

2023届高三年级苏州八校三模适应性检测

数学试题评分参考

2023. 5

一､选择题

1.B    2.C    3.D    4.C

5.A    6.D    7.B    8.A

二､选择题

9.AD    10.ACD    11.BCD    12.AD

三､填空题

13.（或    14.

15.；（第一空2分，第二空3分）    16.

四､解答题

17.解：（1）由题意知，，

设，所以，在直角中，，

所以，从而；

（2）设，在直角中，，

在直角中，，进而可得，

在直角中，由，得，所以，

从而的面积为.

18.解：（1）设等差数列的公差为，由题意可知，

，所以；

（2）由（1）可知，，

对于任意，有，

所以，

故数列的前2023项和为

9.解：（1）由题意可知，，

所以平面，进而得，

所以就是二面角的平面角.

在中，因为，所以是的中点，连接，

又因为平面，所以是正三角形的中心，进而得在上，且.

由题设条件可知，正三棱锥的侧面都是直角三角形且，可得平面，

又平面，所以，因此.

可得，

在直角中，.

故二面角的余弦值为；

（2）在平面内，过点作的平行线交于点，

则平面.

理由如下：

由已知可得，又，

所以，因此平面.

在等腰直角三角形中，可得.

所以四面体的体积.

20.解：设分别表示1，2，3，4号箱子里有奖品，设

分别表示主持人打开号箱子，则，且两两互斥.

由题意可知，事件的概率都是，

（1）由全概率公式，得.

（2）在主持人打开4号箱的条件下，1号箱､2号箱､3号箱里有奖品的条件概率分别为

通过概率大小比较，甲应该改选1号或3号箱.

21.解：（1）由题意知，且，

根据椭圆的定义知，交点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，

所以，

故曲线的方程为.

（2）因为曲线与曲线相似，且它们的焦点在同一条直线上，曲线经过点，

所以可设曲线的方程为.

将点的坐标代入上式得，，

故曲线的方程为.

设.

①当切线的斜率不存在时，切线的方程为，代入得，

此时，与曲线相切，为的中点，为的中点，所以；

同理可求，当切线的斜率不存在时，有.

②当切线和的斜率都存在时，设切线的方程为，分别代入和，化简得①，②.

由题意知，方程①有两个相等的实数根；方程②有两个不相等的实数根，

所以，即，

所以，

此时，为的中点.

同理可证，为的中点，进而.

综上可知，.

22.解：（1）令，则，所以，

，

选①：当时，因为时，所以在上单调递增，

又，所以当时，，说明在上单调递增，

所以，符合题意；

当时，，当时，，所以在上单调递减，

又，所以当时，，说明在上单调递减，

所以当时，，此时不符合题意；

综上，实数的取值范围.

选②：在上单调递增，所以在上恒成立，

当时，，所以在上递增，又，所以当时，，所以在上单调递减，不符合题意；

当时，当时，，所以在上单调递减，

当时，，所以在上单调递增，从而有，由在上恒成立，得，

令，说明在单调递增，在单调递减，

所以，当且仅当时取得等号，所以成立的.

综上，实数的取值范围.

（2）当时，，当时，，所以在上单调递减，又，

所以当时，，说明在上单调递增，

当时，，说明在上单调递减，

所以为极大值点.

由（1）有，则，所以当时，有，

所以当时，，

所以使得.

当时，，当时，，

所以为极小值点.

综上，函数有两个极值点；

其中满足，所以，

设，则，

由（1）可知，所以单调递增，

所以随着的增大而增大，又，所以，

故随着的增大而增大.