2023年四川省绵阳市三台县博强蜀东外国语学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年四川省绵阳市三台县博强蜀东外国语学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，其相反数最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列轴对称图形中，对称轴最少的图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  北京时间年月日时分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，代表着此次载人飞行任务取得圆满成功，神舟十三号飞船的飞行速度每小时约为米，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图形中可以折成正方体．(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在函数中，自变量的取值范围是(    )

A. 且 B.  C. 且 D. 且．

6.  我国古代数学著作九章算术记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为元，一头牛价钱为元，则符合题意的方程组是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是(    )
 

A.  B.
C.  D.

8.  从写有，，，的四张卡片中先随机抽出一张卡片，放回洗匀后，再随机抽出一张卡片，第一张卡片上的数字作为点的横坐标，第二张卡片上的数字作为点的纵坐标，则点在反比例函数的图象上的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，连接，若，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  某商店计划今年的春节购进、两种纪念品若干件若花费元购进的种纪念品的数量是花费元购进种纪念品的数量的，已知每件种纪念品比每件种纪念品多元，设购买一件种纪念品需元，则下列所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  某工厂的大门是抛物线型水泥建筑物，大门地面宽为，两侧距地面处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为，则大门的高约为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，已知，分别为正方形的边，的中点，与交于点则下列结论：，，，其中正确结论的有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  因式分解：______．

14.  在平面直角坐标系中，把抛物线向下平移个单位，那么所得抛物线的表达式是______．

15.  已知多项式是三次三项式，则的值为______ ．

16.  将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分个橘子，则剩下个橘子；如果每人分个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于个，由以上可推出，共有______个儿童，分______个橘子．

17.  关于的方程的解是非负数，则的取值范围是______．

18.  如图，是圆的直径，，，点是弦上的一个动点，那么的最小值为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
计算．
解方程．
化简求值：当时，求的值．

20.  本小题分
我国从年月日起执行“限塑令”，“限塑令”执行前，某校为了了解本校学生所在家庭使用塑料袋的数量情况，随机调查了名学生所在家庭月使用塑料袋的数量，结果如下单位：只：，，，，，，，，，计算这名学生所在家庭平均月使用塑料袋多少只？并求出名学生所在家庭平均月使用塑料袋的中位数与众数．

21.  本小题分
某商店购买件商品和件商品共用了元，购买件商品和件商品共用了元．
、两种商品的单价分别是多少元？
商店准备购买、两种商品共件其中购买种商品件，要求购买商品的数量不少于商品数量的，且总费用不超过元．
该商店有几种购买方案？
实际购买时种商品每件下降元，种商品每件上涨元，当购买这两种商品所需的最少费用为元时，求的值．

22.  本小题分
如图，已知为的直径，、是的弦，是的切线，切点为，，、的延长线相交于点．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
在中的条件下，，将以点为中心逆时针旋转，求扫过的图形的面积结果用表示．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是菱形，且若反比例函数
的图象经过菱形对角线，的交点，设直线的解析式为．
求反比例函数解析式；
求直线的解析式；
请结合图象直接写出不等式的解集．

24.  本小题分
某客商准备购一批特色商品，经调查，用元采购型商品的件数是用元采购型商品的件数的倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多元．
求一件，型商品的进价分别为多少元？
若该客商购进，型商品共件进行试销，若型商品的售价为元件，型商品的售价为元件，设购进型商品件．若两种商品全部售出，求出商场销售这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案．
若该客商购进，型商品共件进行试销，设购进型商品件，经市场调查发现：型商品的售价的一半与型商品销量的和总是等于；型商品的售价降为元件，若两种商品全部售出，求出这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案．

25.  本小题分
如图和图，在中，，，点在边上，点，分别在，上，且点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．
当点在上时，求点与点的最短距离：
若点在上，且将的面积分成上下：两部分时，求的长；
设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离用含的式子表示；
在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域含边界，扫描器随点从到再到共用时秒若，请直接写出点被扫描到的总时长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，的相反数是，的相反数是，的相反数是，
又，
相反数最大的数是，
故选：．
先求出每个数的相反数，再根据实数的大小比较法则比较即可．
本题考查了有理数大小比较，掌握相反数的定义以及有理数大小比较的法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、有三条对称轴，
B、有三条对称轴，
C、有一条对称轴，
D、有四条对称轴，
综上所述，对称轴条数最少的是选项图形．
故选：．
根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴条数，然后判断即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，围成几何体时，有两个面重合，故不能围成正方体；只有能围成正方体．
故选B．
只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
本题考查了立方体的展开图知识，由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据二次根式和分式的有意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
【解答】
解：由题意得，且，
解得且．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：设一匹马价钱为元，一头牛价钱为元．
由现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱，可得方程，
由一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，可得方程，
故可得方程组，
故选：．
根据现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，可以列出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
根据内错角相等、同位角相等和同旁内角互补得出两直线平行，对各小题进行逐一判断即可．
【解答】
解：，能判定，不符合题意；
B.，不能判定，符合题意；
C.，能判定，不符合题意；
D.，能判定，不符合题意；
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，可得树状图，如图：

共有种可能的结果，其中在反比例函数的图象上的点有种，分别为、、、，
点在反比例函数的图象上的概率为：．
故选：．
首先根据题意，画出树状图，得出共有种可能的结果，其中在反比例函数的图象上的点有种，再根据概率公式计算即可．
本题考查了树状图法求概率、概率公式、反比例函数图象上点的特征，解本题的关键在正确找出所有可能的结果．
 

9.【答案】 

【解析】解：绕点按逆时针方向旋转到的位置，
，，
，
，
，
故选：．
根据图形旋转的性质、平行线的性质求解即可．
本题主要考查图形旋转的性质、平行线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设购买一件种纪念品需元，则设购买一件种纪念品需元，由题意得：
，
故选：．
设购买一件种纪念品需元，则设购买一件种纪念品需元，由题意得等量关系：花费元购进的种纪念品的数量花费元购进种纪念品的数量，然后再列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．
 

11.【答案】 

【解析】解：以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，
则抛物线过、、、、、四点，
设该抛物线解析式为：，
则，
解得：，．
故函数解析式为：
当时，可得米．
故选：．
由题意可知，以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，抛物线过、、、、、，运用待定系数法求出解析式后，求函数的最大值即可．
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标．
 

12.【答案】 

【解析】解：在正方形中，，，
、分别为边，的中点，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
，
，
故正确；
是的中线，
，
，
故错误；
设正方形的边长为，则，
在中，，
，，
∽，
，即，
解得：，
，
，
故正确；
如图，过点作于，
则，
∽，
，
即，
解得，，
，
根据勾股定理得：，
，，
，
故正确．
综上所述，正确的结论有共个．
故选：．
根据正方形的性质可得，，再根据中点定义求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，从而求出，再根据邻补角的定义可得，得出正确；根据中线的定义判断出，然后求出，判断出错误；设正方形的边长为，利用勾股定理列式求出，再根据似三角形对应边成比例求出，然后求出，消掉即可得到，判断出正确；过点作于，由相似三角形的性质得出，解得，，得出，根据勾股定理得，求出，，得出，故正确．于是得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线向下平移个单位，那么所得抛物线的表达式是，即．
故答案为．
直接利用抛物线的平移规律求解．
本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得：，且，
解得：．
故答案为：．
根据多项式次数定义可得，再根据项数定义可得，再求解即可．
本题主要考查了多项式，关键是掌握多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．组成多项式的单项式的个数就是多项式的项数．
 

16.【答案】   

【解析】解：设共有个儿童，则共有个橘子，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
，
．
故答案为：；．
设共有个儿童，则共有个橘子，根据“如果每人分个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于个”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出儿童的人数，再将其代入中可求出橘子的数量．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：方程，
解得：，
关于的方程的解是非负数，
，
解得：．
故答案为：．
首先要解这个关于的方程，然后根据解是非负数，就可以得到一个关于的不等式，最后求出的取值范围．
本题综合考查了一元一次方程的解与解一元一次不等式．解关于的不等式是本题的一个难点．
 

18.【答案】 

【解析】解：作，于，于，连接．

是的直径，

，
，
，
，
在中，，
，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，
，
，
，
，
在中，，
，
，
由勾股定理得，，
的最小值为，
故答案为：．
作，于，于，连接在中，，则，根据垂线段最短可知，点与重合时，的值最小，最小值为．
本题考查平行线的性质、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
 

19.【答案】解：

；
，
去分母，得
，
去括号，得
，
移项及合并同类项，得
，
系数化为，得
，
检验：当时，，
原分式方程无解；




，
当时，原式． 

【解析】先化简，然后合并同类项即可；
根据解分式方程的方法可以解答此方程，注意分式方程要检验；
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、实数的运算，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则和运算顺序、实数的运算法则．
 

20.【答案】解：只；
将此数据按从小到大顺序排列可得：，，，，，，，，，，
可得：中位数是，众数是．
答：这名学生所在家庭平均月使用塑料袋只；平均月使用塑料袋的中位数与众数为、． 

【解析】根据平均数塑料袋总数学生个数进行计算，可得平均数；根据中位数与众数的定义，将数据按从小到大顺序排列，可得中位数与众数．
本题考查的是样本平均数的求法及中位数、众数的求法．
 

21.【答案】解：设商品的单价为元，商品的单价为元，
依题意，得：，
解得，
答：商品的单价为元，商品的单价为元．
设购买商品件，则购买商品件，
依题意，得：，
解得，
又为正整数，
可以取，，，，
该商店有四种购买方案；
设购买的总费用为元，根据题意得，
化简得：，
，，，，
Ⅰ：当时，得，此时随的增大而增大，
时取最小值，
则，解得，
Ⅱ：当时，得，则，不合题意；
Ⅲ：当时，得，此时随的增大而减少，
当时取最小值，
则，解得，与矛盾，舍去；
综上所述，． 

【解析】设商品的单价为元，商品的单价为元，根据“购买件商品和件商品共用了元，购买件商品和件商品共用了元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买商品件，则购买商品件，根据“购买商品的数量不少于商品数量的，且总费用不超过元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出结论；
设购买的总费用为元，根据总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质结合购买这两种商品所需的最少费用为元，即可求出值．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；利用一次函数的性质，找出关于的方程．
 

22.【答案】证明：连接，如图，

，
，，
 又，
，
．
在和中

≌，
．
是的切线，
，
，
，
又点在上，
是的切线；
设圆的半径为，
则，，
是圆的切线，
，
，
，
，
圆的半径为；
，，
，
扫过的图形的面积． 

【解析】连接，如图，利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明则根据“”可判断≌，所以再根据切线的性质得，则，然后根据切线的判定定理得到结论；
设圆的半径为，则，，由勾股定理可求解；
由直角三角形的性质可得，通过扇形面积的和差关系可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式，灵活运用这些性质是本题的关键．
 

23.【答案】解：过作于，过作于，则，
∽，
，
，
，，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数解析式为；
设，则，
四边形是菱形，
，
在中，，
，
解得：，
，
把，的坐标代入得，
解得：，
直线的解析式为；
解方程组，得：，，
，，
不等式的解集为或． 

【解析】过作于，过作于，则，根据相似三角形的性质得到，，根据菱形的性质得到，求得，于是得到反比例函数解析式为；
设，则，根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，把，的坐标代入即可得到直线的解析式为；
解方程组求得，，于是得到不等式的解集为或．
本题考查了反比例函数综合题，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元．
由题意得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
，
答：一件型商品的进价为元，一件型商品的进价为元；
设商场销售这批商品的利润为元，根据题意得：
，
，
随的增大而增大，
，
当时，取最大值为元，
此时进货方案是：商品进件，商品进件，
答：商场销售这批商品的最大利润为元，此时的进货方案：商品进件，商品进件；
型商品的售价的一半与型商品销量的和总是等于，
购进型商品件，当全部售完时，售价为元，
设总利润为元，
根据题意得：，
，，
时，取最大值为，
此时进货方案为：商品进件，商品进货件，
答：这批商品的最大利润为元，此时的进货方案是商品进件，商品进货件． 

【解析】设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元．可得：，即可解得答案；
设商场销售这批商品的利润为元，可得，由一次函数性质可得答案；
根据型商品的售价的一半与型商品销量的和总是等于，可得售价为元，设总利润为元，则，由二次函数性质可得答案．
本题考查分式方程、一次函数、二次函数应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．
 

25.【答案】解：如图中，过点作于．

，，
，，
，
，．
当点在上时，时，点到的最短距离为．
如图中，，
，
∽，
将的面积分成上下：，
，
，
，
；

当时，如图中，过点作交的延长线于．

，
，，
，
，
，
．
当时，如图中，过点作于此时，

同法可得．
综上，；

由题意点的运动速度单位长度秒．
当时，设点移动的路程为，．
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
时，有最大值，最大值，
，
，
当时，，
解得，
点被扫描到的总时长秒． 

【解析】在图中，过点作于解直角三角形求出即可．
如图，证明∽，可得，根据可得，可得，根据中，即可解出；
分两种情形：当时，当时，分别画出图形求解即可．
求出的长度，以及的最大值，利用路程与速度的关系求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决的最值问题，属于中考压轴题．