2023年四川省绵阳市江油实验学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年四川省绵阳市江油实验学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列由若干个完全相同的正方体搭成的几何体中，主视图和左视图相同的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某市在一次空气污染指数抽查中，收集到天的数据如下：，，，，，，，，，该组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一个位的量子计算机的数据处理速度约是目前世界上最快的“太湖之光”超级计算机的倍其中数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在平行四边形中，对角线与相交于，若，，则边的长的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  小张和小王同时从学校出发去距离千米的青少年素质训基地，小张比小王每小时多行千米，结果比小王早到半小时，设小王每小时走千米，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B. 且 C. 且 D. 且

9.  如图，在、上各取一点、，使，连接、相交于点，再连接、，若，则图中全等三角形共有(    )

A. 对
B. 对
C. 对
D. 对

10.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  二次函数的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在等边三角形中，，点为边上一动点，连接，在左侧构造三角形，使得，当点由点运动到点的过程中，点的运动路径长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  因式分解： ______ ．

14.  如果，那么不等式组的解集为______ ．

15.  如图，点，分别在线段，上，且若，，，则的长为______．

16.  如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧交于，两点，连结分别交，于点，，若，则的长为______．

17.  如图，在平面直角坐标系中，在轴上，，点在第一象限，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上．若点的横坐标为，则点的坐标为______．

18.  如图是三个正方形组成的图案，实线围成的三个封闭部分面积分别为，，，若，则______，______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：


 

20.  本小题分
如图，在四边形中，，，且．
求证：；
若平分，，求的度数．

21.  本小题分
某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜爱情况，学校随机抽取了名学生进行调查每人只能选择一种方案，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．

在抽取的名学生中，选择“演讲比赛”的人数为______ ，在扇形统计图中，的值为______ ；
根据本次调查结果，估计全校名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？
现从喜爱“知识竞赛”的四名同学、、、中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出同学参加的概率．

22.  本小题分
为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地和人工智能科技馆参观学习．如图，学校在点处，位于学校的东北方向，位于学校南偏东方向，在的南偏西方向处．学生分成两组，第一组前往地，第二组前往地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是．
求学校到红色文化基地的距离？
哪组同学先到达目的地？请说明理由结果保留根号．

23.  本小题分
如图，为上一点，点在直径的延长线上且．
求证：是的切线；
若，，求的半径．

24.  本小题分
如图，在正方形中，点，分别在边，上，与相交于点，且．
如图，求证：；
如图，与相交于点，交于点，交于点，连接，试探究直线与的位置关系，并说明理由；
在的基础上，若平分，且的面积为，求正方形的面积．

25.  本小题分
如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点．
求该抛物线的函数表达式；
抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由；
点为的中点，若有一动点自点处出发，沿直线运动至轴上的某点设为点，再沿直线运动至该抛物线对称轴上的某点设为点，最后又沿直线运动至点，则点运动的总路程最短为______请直接写出答案

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选：．
先利用开方、平方运算逐个计算，再得结论．
本题考查了实数的运算，掌握开方运算和平方运算是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、主视图从左往右列正方形的个数依次为，，；左视图从左往右列正方形的个数依次为，，，符合题意；
B、主视图从左往右列正方形的个数依次为，，；左视图从左往右列正方形的个数依次为，，不符合题意；
C、主视图从左往右列正方形的个数依次为，，；左视图从左往右列正方形的个数依次为，，不符合题意；
D、主视图从左往右列正方形的个数依次为，；左视图列正方形的个数依次为，，不符合题意；
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，找到主视图、左视图和俯视图是全等图形的选项即可．
此题考查的是简单组合体的三视图，解决本题的关键是找到几何体的三视图，掌握全等的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D符合题意，
故选：．
根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法法则分别判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为：、、、、、、、、、，
则其中位数为，
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
此题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

5.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
在中，的取值范围是：，即．
故选：．
直接利用平行四边形形对角线互相平分得出，的长，再利用三角形三边关系得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，得出，的长是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设小王每小时走千米，则小张每小时走千米，
根据题意得，．
故选：．
设小王每小时走千米，分别表示出二人所用时间，根据“小张比小王早到半小时”，列出分式方程即可．
本题考查了列分式方程，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
根据根的判别式及一元二次方程的定义：二次项系数不为，即可求出答案．
本题考查一元二次方程的定义与根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
【解答】
解：由题意可知：，且，
且，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：在与中，
，
≌；
≌，
，，
，
在与中，
，
≌；
≌，
，，，
，
在与中，
，
≌；
在与中，
，
≌；
≌，
，
在与中，
，
≌，
综上所述，图中全等三角形共对，
故选：．
认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找即可．
本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，





，
故选：．
根据和完全平方公式，将所求式子变形，即可得到所求式子的值．
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该函数的顶点坐标是，
故选：．
根据题目中函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，，，
、、、四点共圆，
，，
，
，
，
，
点在的角平分线上运动，
点的运动轨迹为线段，
当点在点时，，
当点在点时，，
，
，
，
，，
，
点的运动路径长为，
故选：．
由题意，可知点的运动轨迹为线段，当点在点时，，当点在点时，，则是等边三角形，求出，即可求点的轨迹长．
本题考查点的运动轨迹，熟练掌握等边三角形的性质，由点的运动情况确定点的运动轨迹是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，

不等式组的解集为，
故答案为：．
根据，得出，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
根据两角相等的两个三角形相似可得∽，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由作图可知，是线段的垂直平分线．
，，
，
，
，
．
故答案为：．
利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，，，根据含度的直角三角形三边的关系求出利用勾股定理求出，即可得的长．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，含度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用基本作图得到垂直平分．
 

17.【答案】 

【解析】解：由旋转可知，，，
设，则，
，，
点落在双曲线上，
，解得负值舍去．
．
故答案为：．
由旋转的性质可知，，旋转，可知轴，轴，根据线段的长度求点坐标，根据可求出的长，由此可得出点的坐标．
本题考查了反比例函数关系式的求法，旋转的性质．关键是通过旋转确定双曲线上点的坐标．
 

18.【答案】  

【解析】解：如图，

由正方形的性质可得：正方形的顶点是正方形的中心，
则延长必经过点，延长比经过点，
设正方形的边长为，则正方形的边长为，
．

即正方形的边长为
，
．
．
．
．
，
．
．
，．
故答案为：；．
由正方形的性质可得：正方形的顶点是正方形的中心，则延长必经过点，延长比经过点，设正方形的边长为，则正方形的边长为，利用勾股定理可得正方形的边长；利用，可得与为同底等高的三角形，再利用面积割补法可得与正方形的面积相等；利用，列出方方程即可求得的值，则结论可得．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，利用平行线的性质和同底等高的三角形面积相等以及利用面积割补法解答是解题的关键．
 

19.【答案】解：





． 

【解析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

20.【答案】解：证明：如图，

，已知，
垂直于同一直线的两条直线平行，
两直线平行，同位角相等．
，
等量代换．
内错角相等，两直线平行．

已知，
两直线平行，同旁内角互补．
已知，
．
平分已知，
．
． 

【解析】由，可得，所以，结合得，据此即可得证；
由、知，再根据平分线定义知，由直角三角形的两个锐角互余可得答案．
本题主要考查多边形的内角与外角、平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及角平分线的性质．
 

21.【答案】   

【解析】解：在抽取的名学生中，选择“演讲比赛的人数为人，
则选择“书画展览”的人数为人，
在扇形统计图中，，
即，
故答案为：，；
估计全校名学生中选择文艺汇演”的学生大约有人；
列表如下：

由表可知，共有种等可能结果，其中同学参加的有种结果，所以同学参加的概率为．
总人数乘以对应的百分比即可求出其人数，再根据四种方案的人数之和等于总人数求出方案人数，再用方案人数除以总人数即可得出的值；
总人数乘以样本中方案人数所占比例；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
 

22.【答案】解：作于．

依题意得，
，，，
，
．
在中，，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
；
第二组先到达目的地，
理由：，
，
第一组用时：；第二组用时：，
，
第二组先到达目的地，
答：第二组先到达目的地． 

【解析】过点作于，在中证得，设，则，在中，，利用三角函数定义表示出的长，在中，利用三角函数表示出的长，由列出方程问题得解；
根据速度求得第一组用时：；第二组用时：，于是得到结论．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
 

23.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：设的半径为，
在中，，
，
，
，
解得，
的半径为． 

【解析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，可得，再由可得，然后利用证出，从而得，根据切线的判定即可得出结论；
在中，根据含度直角三角形的性质列出关于的方程即可解答．
本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，含度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：如图中，

四边形是正方形，
，
，
，
，
．

解：如图中．结论：．
理由：连接．

，，，
≌，
，
，
，
，
，
，，
，
．

解：如图中，在上取一点，使得，连接设．

平分，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
解得，
或舍弃，
，
正方形的面积． 

【解析】证明即可解决问题．
证明≌，推出，由，推出，由，推出，由，，推出可得结论．
如图中，在上取一点，使得，连接设利用三角形的面积公式构建方程求出即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：将，代入，
，
解得：，
；
解：存在，理由如下：
令，则，
，
，
，
设点横坐标为，
如图，当点为直角三角形的直角顶点时，
过点作交抛物线于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
解得：舍或，
；
如图，当点为直角三角形的直角顶点时，
过点作交抛物线于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
解得舍或，
；
综上所述：点坐标为或；
． 

【解析】见答案；
见答案；
解：如图，作点关于轴的对称点，过点作关于抛物线对称轴的对称点，
连接交轴于点，交对称轴于，连接，
 
，，
，
此时点运动的总路程最短，
是的中点，，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
点运动的总路程最短为，
故答案为：．
将，代入，即可求解；
设点横坐标为，分两种情况讨论：当点为直角三角形的直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴交于点，此时的坐标为，再将点代入抛物线解析式即可；当点为直角三角形的直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴交于点，此时的坐标为，再将点代入抛物线解析式即可；
作点关于轴的对称点，过点作关于抛物线对称轴的对称点，连接交轴于点，交对称轴于，连接，此时点运动的总路程最短为的长，分别求出，，即可求点运动的总路程最短为．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键．