2023年山东省济南市历下区中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省济南市历下区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的三棱柱的主视图是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  根据国家统计局在年月的数据显示，年我国的科学研究与试验发展经费投入达亿元，首次突破万亿大关，亿用科学记数法可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，已知，直角三角形的直角顶点在直线上，若，则，(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(    )

A. 菱形 B. 矩形 C. 等边三角形 D. 圆

6.  已知，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，分别旋转两个转盘，转出的两个数字之积为的概率是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平行四边形中，对角线和交于点，以点为圆心，一定长度为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，射线恰好经过顶点则下列结论中不一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  已知，两地相距米，甲步行沿一条笔直的公路从地出发到地，乙骑自行车比甲晚分钟从地出发，沿同一条公路到达地后立刻以原速度返回，并与甲同时到达地，甲、乙离地的距离米与甲行走时间分的函数图象如图所示，则甲出发后两人第一次相遇所需的时间是(    )

A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟

10.  二次函数分别交轴、轴于，两点，点的坐标是若在线段上存在，两点使得为等腰直角三角形，且，则的取值范围是(    )

A. 或 B. 或
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式： ______ ．

12.  如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______ ．

13.  一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为______．

14.  设为正整数，且，则的值为______ ．

15.  如图，已知扇形的半径，将扇形绕点顺时针旋转得到扇形，则图中阴影部分的面积是______ ．

16.  利用图形的分、合、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法如图，点、点是矩形对角线上的两点，四边形和四边形是两个全等的正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若矩形的周长是，面积是，则 ______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．

19.  本小题分
已知：如图，在菱形中，、分别在边、上，且，求证：．

20.  本小题分
月日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”某校响应号召，开展了“读江色经典，传革命精神”为主题的读书活动，随机抽取了名学生将他们一周的课外阅读时间单位：的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】；
，，，，，，，，，；
，，，，，，，，，；
，，，，，，，，，；
【数据整理】：
将收集的个数据按，，，，五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图说明：，，，，，其中表示阅读时间；

【数据分析】：
请根据以上信息解答下列问题：
补全频数分布直方图；
填空： ______ ， ______ ；
若将数据绘制成扇形统计图，则组的圆心角为______ ；
已知该校有名学生，请估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于小时的学生人数．

21.  本小题分
如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度的山坡，点、点与点在同一水平面上，与在同一平面内某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，，，，
求点到地面的垂直高度的长；
求楼的高度．

22.  本小题分
如图，在中，以为直径作交于点，且点为中点，过点作的切线交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．

23.  本小题分
年春节科幻电影流浪地球火热上映，激发了人们阅读科幻书籍的热情某学校图书馆购进甲、乙两种科幻书籍，已知每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高元，购买元中图书的数量与购买元乙图书的数量相同．
求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？
某中学计划购进甲、乙两种图书共本，且甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多本，怎样购买，才能使购书总费用最少？并求出最少费用．

24.  本小题分
如图，矩形的边在平面直角坐标系中的轴上，矩形对角线交于点，过点的反比例函数与矩形的边交于点，，直线交射于点．
求反比例函数的表达式和点的坐标；
若点为轴上一点，当最小时，求出点的坐标；
若点为平面内任意一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．

25.  本小题分
如图，和都是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转，连接，取中点，连接，．

如图，当点落在边上，点落在边上时，线段和线段的位置关系是______ ，数量关系是______ ；
如图，当点落在内部时，的结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
九年级一班数学兴趣小组的同学提出了三种思路：
小聪：过点作交线段于点，过点作交线段于点
小明：延长至点，使，延长至点使，连接、
小智：延长至点，使，连接，，
请你选择一种思路，完善证明过程；
若，，在旋转的过程中，当点，，三点共线时，连接，请直接写出的长．

26.  本小题分
如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点，顶点是，连接，．

求抛物线的表达式和顶点的坐标；
如图，若平移抛物线，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图象与轴的负半轴的交点为，连接，，当时，求点的坐标；
如图，若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线平移的最短距离及此时抛物线的顶点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的算术平方根是，
故选：．
如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，可以表示为，其中，正的平方根叫做的算术平方根．正数的算术平方根是正数，的算术平方根是，负数没有算术平方根．
本题考查算术平方根的定义，明确平方根与算术平方根的区别与联系是本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：主视图为，
故选B．
根据三棱柱的主视图是矩形，主视图中间有竖着的实线，进行选择即可．
本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图．

，
．
由题意得，，．
．
故选：．
根据平行线的性质两直线平行，同旁内角互补解决此题．
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
选项A不符合题意；

，
，
，
选项B不符合题意；

，
，
选项C符合题意；

，
，
选项D不符合题意．
故选：．
根据，应用不等式的性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

7.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中转出的两个数字之积为的结果数为，
所以转出的两个数字之积为的概率．
故选：．
利用树状图展示所有等可能的结果，再找出转出的两个数字之积为的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

8.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
，所以选项不符合题意；
四边形为平行四边形，
，
，
，
，所以选项不符合题意；
四边形为菱形，
，所以选项不符合题意；
只有当，即时，，所以选项符合题意；
故选：．
利用基本作图可判断平分，则可对选项进行判断；再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明，所以，则可对选项进行判断；接着证明四边形为菱形，则根据菱形的性质可选项进行判断；由于只有当，才有，从而可对选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和平行四边形的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
甲步行的速度为：米分，
乙的速度为：米分，
设甲出发后两人第一次相遇所需的时间是分钟，
，
解得，
即甲出发后两人第一次相遇所需的时间是分钟，
故选：．
根据题意和图象中的数据，可以计算出甲、乙的速度，然后即可列出相应的方程，求解即可．
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：令，则，
解得，，
，
令，则，
，
直线为，
分两种情况讨论，如图，当直线在点上方时，过作于，延长交轴于，

则为等腰直角三角形，，
故在线段上必存在点，使得，，
将，代入得：，
即，
当直线在点下方时，过作于，延长线交轴于，

则时，符合题意，
当直线过点时，，如图，

此时，，
即，
即，
综上，或；
故选：．
分点在线段的下方、上方分别画出图形，过作于，延长交轴于，则或的长度要大于等于的长度即可．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，作出符合题意的图形，同时要注意数形结合、分类讨论思想的运用．
 

11.【答案】 

【解析】．
故答案为：．
利用提取公因式法分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据图示，阴影区域的面积等于块地板的面积，总面积等于块地板的面积，
小球最终停留在阴影区域的概率是．
故答案为：．
根据几何概率的求法可知，小球最终停在阴影区域的概率等于阴影区域的面积与总面积的比值．
本题主要考查了几何概率，正确记忆概率阴影区域的面积与总面积之比是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：多边形的外角的个数是，
所以多边形的边数是．
故答案为：．
利用任何多边形的外角和是，用除以一个外角度数即可求出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
，
故答案为：．
先对该算式进行计算，再进行无理数大小的估算．
此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用该方法．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，由题意可知，点、、三点在同一条直线上，，
由旋转可知，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
四边形是菱形，
在中，，，
，，
，


，
故答案为：．
根据旋转的定义求出，再根据扇形面积以及三角形面积的计算方法进行计算即可．
本题考查旋转的性质，扇形面积的计算，掌握扇形面积、三角形面积的计算方法以及旋转的性质是正确解答的前提．
 

16.【答案】 

【解析】解：矩形的周长是，面积是，
，，
，
由图得：，
，
解得：．
故答案为：．
由长方形的周长与面积，可得，，由图可知，长方形的长为，再利用等积即可求解．
本题主要考查全等图形，解答的关键是明确图与图的面积相等．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
所以该不等式组的非负整数解为、、． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用菱形的性质是本题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：补全直方图如下：

众数，中位数，
故答案为：，；
若将数据绘制成扇形统计图，则组的圆心角为，
故答案为：；
人，
答：估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于小时的学生人数为人．
根据已知数据即可补全图形；
由众数和中位数的的定义可得出答案．
用乘以组人数所占比例即可；
用总人数乘以样本中每周不少于的人数占比，即可得出答案．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：由题意得：，米，
山坡的坡度：，
，
设米，则米，
在中，米，
，
解得：，
米，米，
点到地面的垂直高度的长约为米；
过点作，垂足为，

由题意得：米，，
设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
，
解得：，
米，
楼的高度约为米． 

【解析】由题意得：，米，根据已知山坡的坡度：，可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出，的长，即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得：米，，设米，则米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，
为的直径，
，
点为中点，
，
；
解：连接，
是的切线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，根据圆周角定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到结论；连接，根据切线的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：设甲种图书每本的进价是元，则乙种图书每本的进价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
甲种图书每本的进价是元，则乙种图书每本的进价是元；
设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，
甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多本，
，
解得，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
时，取最小值，最小值为，
此时，
购买甲种图书本，购买乙种图书本，能使购书总费用最少，最少费用为元． 

【解析】设甲种图书每本的进价是元，可得：，解方程并检验可得答案；
设购买甲种图书本，由甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多本，得，而，根据一次函数性质可得答案．
本题考查分式方程，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
 

24.【答案】解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
则反比例函数表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，即点，
，则点，
则点；

作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点为所求点，

由矩形的性质知，点是的中点，由中点坐标公式得，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，
则点；

由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，则，即点，
设点，
当是对角线时，由中点坐标公式得：
，解得：，
即点的坐标为：；
当或是对角线时，由中点坐标公式得：
，
解得：，
则点的坐标为：或；
综上，点的坐标为：或或． 

【解析】由待定系数法即可求解；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点为所求点，进而求解；
当是对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或是对角线时，同理可解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、矩形的性质、平行四边形的性质、点的对称性等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

25.【答案】   

【解析】解：结论：，．
理由：，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，．
故答案为：，；

结论成立．
理由：延长到，使得，连接，，，延长交的延长线于点，交于点．

，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，，
即，；

当点在线段上时，

，，
，
，，
，
，
，
，
，
当点在线段上时，同法可得，
．

综上所述，或．
结论：，利用直角三角形斜边中线的性质证明即可；
结论成立．延长到，使得，连接，，，延长交的延长线于点，交于点证明是等腰直角三角形，可得结论；
分两种情形：当点在线段上时，当点在线段上时，利用等腰三角形的性质，勾股定理求解．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会隐忍分类讨论的思想思考问题．
 

26.【答案】解：抛物线经过点和点，
，
解得：，
该抛物线的函数表达式为，
，
顶点的坐标为；
由知，，
，
，
由知，抛物线的表达式为，
，
点在轴负半轴上，
，
设直线的解析式为，把、代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
平移后的抛物线的顶点在直线上运动，
设，
则平移后的抛物线解析式为，
将点代入得：，
解得：，
；
解：过点作的垂线，交于，交轴于点，过点作轴于点，如图，

当抛物线沿着直线的向上平移时，平移距离最短，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，，
，而，即点在轴负半轴上，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
设平移后抛物线的顶点坐标为，
则平移后抛物线解析式为，
抛物线与直线恰有一个公共点，
，
整理得：，
，
解得：，
此时平移后抛物线的顶点坐标为，而点的坐标为，
，
抛物线平移的最短距离为，此时顶点坐标为 

【解析】把、两点的坐标代入中，解方程组即可求得函数解析式，利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标；
利用三角形面积可求得，进而得出点的坐标，根据抛物线解析式求出点的坐标，则可求得的解析式，设点的坐标，则可得平移后抛物线的解析式，将点的坐标代入，解方程即可求得点的坐标；
过点作的垂线，交于，交轴于点，过点作轴于点，当抛物线沿着直线的向上平移时，平移距离最短，先求出直线的解析式，由点的坐标及相似三角形的性质易得点的坐标，利用待定系数法可求得的解析式，设抛物线的顶点坐标，根据抛物线与直线恰有一个公共点时可求得平移后的抛物线顶点坐标，则可求得此时平移的距离此时抛物线的顶点坐标．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，抛物线的平移，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识，本题涉及知识点较多，综合性强，对学生的计算能力要求较高，是一道典型的中考数学压轴题．