2023年山东省济南市槐荫区中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省济南市槐荫区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  (    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  刘慈欣科幻巨作三体中所描述的三体文明距地球大约千米，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”其中数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，两条直线、被第三条直线所截，如果，，那么的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，分别标号为，，，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个球，则两次取出的小球标号相同的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，为线段的中点，矩形的顶点，连接按照下列方法作图：以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点；作射线交于，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，抛物线与直线交于、两点，与直线交于点，将抛物线沿着射线平移个单位，在整个平移过程中，点经过的路程为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，图中的个小方格为全等的正方形，则蜘蛛最终停在白色区域上的概率是______ ．

13.  如图，在边长为个单位的方格纸中，的顶点在小正方形顶点位置，那么的正切值为______ ．

14.  如图，在一个长为，宽为的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为，那么道路的宽为______

15.  平面上，将边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则______．

16.  如图，在矩形中，，若点是边上的一个动点，过点作且分别交对角线、直线于点、，则在点移动的过程中，的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：，并写出其整数解．

19.  本小题分
如图，在菱形中，点，分别是边和上的点，且求证：．

20.  本小题分
某中学随机从七、八年级中各抽取名选手组成代表队参加党史知识竞赛，计分采用分制，选手得分均为整数，这次竞赛后，将七、八年级两支代表队选手成绩，整理绘制如下两幅不完整的统计图．

根据统计图提供的信息，解答下列问题：
请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
七年级代表队学生成绩的平均数是        ，中位数是        ，众数是        ；
八年级代表队学生成绩扇形统计图中，分成绩对应的圆心角度数是        度，的值是        ；
该校八年级有人，根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级学生中有多少名学生的成绩是分．

21.  本小题分
桑梯是我国古代发明的一种采桑工具图是明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘的桑梯，其示意图如图所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角大小的绳索．

求绳索长的最大值．
若时，求桑梯顶端到地面的距离参考数据：，，，最后结果精确到米

22.  本小题分
如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点，，连接，．
求证：；
若，，求的长．

23.  本小题分
为有效防控甲型流感，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知一包口罩的价格比一包酒精湿巾多元，用元可以购买的口罩的数量和用元可以购买的酒精湿巾的数量相同．
求每包口罩和每包酒精湿巾的单价．
妈妈给了小明元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾且都要购买，请问小明有哪几种购买方案？

24.  本小题分
如图，直线与轴、轴分别交于、两点，与双曲线交于、两点过点作轴于点，已知，
求双曲线的表达式；
求不等式的解集；
设点是轴上异于原点的一点，满足，求点的坐标．

25.  本小题分
已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，．
如图，求证：≌；
直线与相交于点．
如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；
如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
 

26.  本小题分
如图，已知以为顶点的抛物线经过、两点，与轴交于点，对称轴为．
求抛物线的解析式；
连接，和有怎样的数量关系，请说明理由；
如图，已知点，若为抛物线位于轴下方部分上一点，以为边在的上方作等边三角形，连接，为线段中点，直接写出的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
利用绝对值的意义解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看该组合体，一共有三列，从左到右正方体个数分别是，，，
故选：．
根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的的图形即可．
此题考查了简单组合体的三视图主视图，掌握主视图的含义是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
又
．
故选：．
先利用两直线平行，同位角相等求出的邻补角，再根据邻补角定义即可求出．
本题重点考查了平行线的性质及邻补角的定义，是一道较为简单的题目．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D符合题意，
故选：．
运用积的乘方、同底数幂除法、幂的乘方进行逐一计算、辨别．
此题考查了积的乘方、同底数幂除法、幂的乘方等方面的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

6.【答案】 

【解析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解：原式
．
故选A．
此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，画树状图如下：

共有种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有种，
两次摸出的小球标号相同的概率是．
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和大于的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，过一、三、四象限；函数的图象过一、三象限；
当时，过一、二、四象象限；函数的图象过二、四象限．
观察图形可知，只有选项符合题意．
故选：．
分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中的符号对函数图象的影响是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：为线段的中点，矩形的顶点，
，，
如图，过点作于，
由作法得平分，
，，
，
在中，，
在和中，
，
≌，
，
，
设，则，，
在中，，解得，
即，
故选：．
过点作于，如图，根据基本作图得到平分，则利用角平分线的性质得到，接着根据勾股定理计算出，通过证明≌得到，所以，设，则，，利用勾股定理得到，解方程得到，从而得到点的横坐标．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了矩形的性质和坐标与图形性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意，将抛物线沿着射线平移个单位时，点向右平移个单位，向上平移个单位，
抛物线的顶点坐标为，
平移后抛物线的顶点坐标为，，
平移后的抛物线的解析式为，
此时，
设抛物线向右平移个单位，向上平移单位，则解析式为，
令，则，
的最大值为，最小值为
点经过的路径为，
路径长为：，
故选：．
由题意，抛物线沿着射线平移个单位时，点向右平移个单位，向上平移个单位，根据平移的性质，可得平移后的顶点坐标，点经过的路径为，求出，，的坐标即可解决问题．
本题考查二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的特征等知识，解题的关键是灵活运用平移的性质解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】原式，
故答案为：．
直接用完全平方公式因式分解．
本题考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练应用完全平方公式因式分解是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意知，白色区域占整个图形的，
故答案为：．
根据白色区域占整个图形的比例计算概率即可．
本题主要考查概率的知识，根据几何图形各部分所占的比例计算概率是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由图可得，
，，，
，
是直角三角形，
，
故答案为：．
根据题意和图形，可以求得、和的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，然后即可求得的正弦值．
本题考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：设道路的宽为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
道路的宽为．
故答案为：．
设道路的宽为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据绿化用地的面积为，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：正三角形的一个内角的度数为：，
正四边形的一个内角的度数为：，
正五边形的一个内角的度数为：，
正六边形的一个内角的度数为：，
，，，
，
故答案为：．
分别求出正三角形、正四边形、正五边形、正六边形的内角的度数，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是正多边形和圆，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点．
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
过点作，使得，连接．

，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
如图，过点作于点利用相似三角形的性质求出，，设，则，因为是定值，所以的值最小时，的值最小，最小值为点、、共线时，由此即可解决问题．
本题考查轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各数，然后再进行计算即可．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：解不等式得：；
解不等式得：；
不等式组的解集是，
不等式组的整数解是，，． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是菱形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“”即可证明≌，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
本题主要考查菱形的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟记菱形的性质．
 

20.【答案】         

【解析】解：七年级分的人数为人，补全条形统计图如下：

七年级学生成绩的平均数为分，
将七年级抽取的人成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数是分，即中位数是，
七年级抽取的人成绩出现次数最多的是分，共出现次，因此众数是，
故答案为：，，；
，即，
，
故答案为：，；
人，
答：该校八年级学生中有名学生的成绩是分．
求出七年级得分为分的人数即可补全条形统计图；
根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
根据各组频率之和为，求出八年级“分”所占的百分比，确定的值，再求出相应圆心角的度数；
根据样本中八年级成绩为“分”所占的百分比，估计总体中“分”所占的百分比，进而计算相应的人数即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握频率是正确解答的前提．
 

21.【答案】解：由题意得：
当时，绳索的长最大，
米，
是等边三角形，
米，
绳索长的最大值为米；
过点作，垂足为，

，
米，，
，
米，
米，
在中，米，
桑梯顶端到地面的距离约为米． 

【解析】根据题意可得：当时，绳索的长最大，然后根据已知易得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得米，即可解答；
过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据已知可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：是的切线，
，
，
，
，
，
；
解：连接，如图，
，
，
是的直径，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
：：，即：：，
解得，
即的长为． 

【解析】根据切线的性质得到，则，再根据平行线的性质得到，接着根据圆周角定理得到，从而得到结论；
连接，如图，根据圆周角定理得到，，在中利用正切定义可计算出，则利用勾股定理可计算出，接着证明，加上，则可判断∽，然后利用相似比可求出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
 

23.【答案】解：设每包酒精湿中的单价为元，
依题意得：，
即，

，
经检验，是原分式方程的解，
则，
答：每包口罩的单价为元，每包酒精湿巾的单价为元．
设小明购买口罩包，酒精湿巾包，
由题意得：，
，
、为正整数，
或或，
小明有种购买方案：
购买口罩包，酒精湿巾包；购买口罩包，酒精湿巾包；购买口罩包，酒精湿巾包． 

【解析】设每包酒精湿巾的单价为元，每包口罩的单价为元，由题意：列出分式方程组，解方程组即可；
设小明购买口罩包，酒精湿巾包，由题意：小明元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾且都要购买，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

24.【答案】解：由题意可知点的坐标为，
将代入得：，
，
点在双曲线上，
，
双曲线的表达式；
由，解得，，
，
观察图象可得不等式的解集为：或；
把代入得：，
，
，
，
设，则，
，
，
舍或，
． 

【解析】由题意可知点的横坐标为，代入一次函数的解析式即可求得得的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
联立解析式，解方程组求得点的坐标，然后观察图象即可求得不等式的解集；
由一次函数解析式求得的坐标，利用三角形面积求得的面积为，设，则，利用即可求得答案．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求解析式．此题难度适中，注意掌握方程思想的应用．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
≌；
证明：如图，设与相交于点．

，
，
≌，
．
，
．
，
，，
四边形是矩形，

四边形是正方形，
，．
．
又
≌．
．
矩形是正方形；
解：作交于点，作于点，

此时≌．
，
，，
最大时，最小，，
，
由可知，是等腰直角三角形，
． 

【解析】根据证明三角形全等即可；
根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】解：抛物线对称轴为，经过，
，
解得，，
抛物线的解析式为；
．
理由：，
抛物线顶点坐标为，
抛物线对称轴为，经过，
则，
又时，，
则，
，，
中，，
又，，，
，
同理，，
在，，
，
在中，，
；
作等边三角形，则，

为等边三角形，为等边三角形，
，，
，
≌，
，
当轴时，即，重合时，最短，
，
此时，
的最小值为，
为的中点，
的最小值为． 

【解析】由抛物线对称轴为，经过，可列出方程组求出，的值，则可得出答案；
求出，的坐标，证出，则可得出结论；
作等边三角形，则，证明≌，得出，当轴时，即，重合时，最短，求出的长则可求出答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、锐角三角函数、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握坐标与图形的性质．