2023年湖北省荆州市中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）

2023年湖北省荆州市中考数学模拟试卷（4月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  函数的自变量的取值范围在数轴上可表示为(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是(    )

A. 代表 B. 代表 C. 代表 D. @代表同位角

4.  如图是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“楚”相对的面上的汉字是(    )

A. 州
B. 文
C. 化
D. 节

5.  菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄单位：岁分别为：，，，，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，一块三角形的玻璃破成三片，一位同学很快拿着其中一片玻璃说：根据所学知识就能配出一个与原三角形完全一样的图形他这样做的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  我国古代数学名著九章算术中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出钱，多出钱；每人出钱，还差钱．问人数、物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起不考虑水的阻力，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数单位与铁块被提起的高度单位之间的函数关系的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点，平行于轴的直线交于、两点，若点的坐标是，则点的坐标为(    )
 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  在中，，若点在边上移动，则的最小值是______．

13.  若一元二次方程满足且有两个相等实数根，则与的关系是______ ．

14.  有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是______ ．

15.  如图，某校数学兴趣小组的同学测量校园内一棵树的高度，他们在这棵树的正前方一旗台的台阶上点处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点处，测得树顶端的仰角为已知点的高度，台阶的坡度为，且，，三点在同一直线上，则树高为______ 测倾器的高度忽略不计

16.  如图，是反比例函数在第一象限图象上一点，连接，过作轴，截取在上方，连接，交反比例函数的图象于点则点的坐标是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知，满足方程组，求代数式的值．

18.  本小题分
已知：，先化简，再从不等式组的解集中取一个合适的值代入，求的值．

19.  本小题分
如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且连接，判断与的位置关系，并说明理由．

20.  本小题分
某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：机器人，：围棋，：羽毛球，：电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，其中图中所占扇形的圆心角为．
根据以上信息，解答下列问题：
这次被调查的学生共有______人；
请你将条形统计图补充完整；
若该校共有学生加入了社团，请你估计这名学生中有多少人参加了羽毛球社团．

21.  本小题分
如图，以菱形的边为直径的交对角线于点，过作，垂足为．
求证：是的切线；
若菱形的面积为，，求的长．

22.  本小题分
随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的型自行车去年销售总额为万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少，求：
型自行车去年每辆售价多少元？
该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍．已知，型车和型车的进货价格分别为元和元，计划型车销售价格为元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？

23.  本小题分
阅读理解：
如图，在四边形的边上任取一点点不与点、点重合，分别连接，，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的强相似点．
解决问题：
如图，，试判断点是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；
如图，在矩形中，，，且，，，四点均在正方形网格网格中每个小正方形的边长为的格点即每个小正方形的顶点上，试在图中画出矩形的边上的一个强相似点；
拓展探究：
如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若点恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究和的数量关系．
 

24.  本小题分
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，点是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作交轴于点，交于点．
求抛物线的解析式：
试探究在点运动的过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为的相反数是，的相反数是，
所以的值为．
故选：．
根据相反数的定义即可得出答案．
本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：函数有意义，
分母必须满足，
解得，，
；
故选：．
函数有意义，则分母必须满足，解得出的取值范围，在数轴上表示出即可；
本题考查了函数自变量的取值范围及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

3.【答案】 

【解析】解：延长交于，
则，
又，得，
故AB内错角相等，两直线平行，
代表，代表，代表，@代表内错角，
选项说法正确，符合题意；
故选：．
根据三角形的外角性质、平行线的判定定理解答即可．
本题考查的是三角形的外角性质、平行线的判定，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：正方体的平面展开图中相对的面一定是相隔一个小正方形，由图形可知，与“楚”相对的字是“化”．
故选：．
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点即可解答此题．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
 

5.【答案】 

【解析】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为，，，，
中位数为．
故选：．
把所给数据按照由小到大的顺序排序，再求出中间两个数的平均数即可．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
 

6.【答案】 

【解析】解：第一片玻璃只有一个角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等；
第二片玻璃既没有边与原三角形相等，也有没有角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等；
第三片玻璃有两角及其夹边与原三角形相等，可以通过判定新三角形与原三角形全等；
故选：．
结合三角形全等的判定条件，依次对三片玻璃进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定条件，解题的关键是熟练掌握三角形全等的相关知识．
 

7.【答案】 

【解析】解：设共有人，根据题意可得：
，

设物价是钱，根据题意可得：
．
故选：．
设共有人，根据物价不变列一元一次方程；设物价是钱，根据人数不变列一元一次方程，由此得出正确答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为小明用弹簧称将铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．
则露出水面前读数不变，出水面后逐渐增大，离开水面后不变．
故选：．
露出水面前读数不变，出水面后逐渐增大，离开水面后不变．
本题考查函数值随时间的变化问题．注意分析随的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，如图，
由作法得，平分，即，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
而，
四边形为菱形，
，，
在中，，
．
故选：．
连接，交于点，如图，由作法得，平分，即，证明四边形为菱形得到，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了平行四边形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：分别过点、作轴的垂线，过点作，连接，则，
设的半径为，
则，，，
在中，根据勾股定理，，
可得：，
，
则到轴的距离为：，
又点在第三象限，
的坐标为，
故选：．
本题可先设半径的大小，由勾股定理可求出半径的值由半径可求出点到，轴的距离，从而由点在第三象限得出答案．
本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
先用负整数次幂、零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值的知识化简，然后再计算即可．
本题主要考查了负整数次幂、零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据垂线段最短，得到时，最短，
过作，交于点，
，，
为的中点，又，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
又，
．
故答案为：．
根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当垂直于时，的长最小，过作等腰三角形底边上的高，利用三线合一得到为的中点，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而利用面积法即可求出此时的长．
此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：一元二次方程满足且有两个相等实数根，
是方程的根，且，
，
．
故答案为：．
先求出一元二次方程两个相等实数根，然后根据两根之积求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记知识点是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：等边三角形是轴对称图形，平行四边形是中心对称图形，菱形和圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，
把印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆的四张卡片分别记为：、、、，
画树状图如图：

共有种等可能的结果，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的结果有种，
所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法以及轴对称图形、中心对称图形等知识；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】 

【解析】解：在中，
，，
，
；
如图，过点作于，

则四边形为矩形，
，米，
设米，
在中，，
在中，，
米，
，
，解得．
故答案为：．
在中利用坡比和的长，根据勾股定理即可求得和的长；如图：过点作于，可得四边形为矩形，设，在中表示出的长度，求出的长度，然后在中表示出的长度，根据代入解方程求出的值即可．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．
 

16.【答案】 

【解析】解：是反比例函数在第一象限图象上一点，
，即反比例函数解析式为：，
，
，
点的坐标为，即，
运用待定系数法可知直线的解析式为，
设的坐标为且，则有，
解得：
设的坐标为．
故答案为：．
先根据是反比例函数在第一象限图象上一点求得反比例函数解析式，再确定点的坐标，然后运用待定系数法求得直线的解析式为；再设的坐标为且，然后代入反比例函数解析式求得即可解答．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，正确求得反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：由得：，
解得：，
代入得：，
解得：


，


． 

【解析】先解方程组得到与的值，再原式利用完全平方公式以及平方差公式化简，去括号合并后，代入与计算即可求解．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：

，
，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：，
由题意得或，
，
当时，

． 

【解析】先根据分式的运算法则化简，然后再求不等式组得解集，最后确定一个合适的的值代入计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：与的位置关系是理由如下：
，
．
是的中点，
．
又，
≌，
．
，，
，
．
，
． 

【解析】先证明≌得到，先证明是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质得出结论．
本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和判定，难度不大，熟练掌握全等三角形的判定方法：、、、，明确两直线的位置关系有：平行，垂直，本题根据等腰三角形三线合一的性质证明两直线垂直，这在几何证明中经常运用，要熟练掌握．
 

20.【答案】 

【解析】解：类有人，所占扇形的圆心角为，
这次被调查的学生共有：人；
故答案为：；
项目对应人数为：人；
补充如图．

人，
答：这名学生中有人参加了羽毛球社团．
由类有人，所占扇形的圆心角为，即可求得这次被调查的学生数；
首先求得项目对应人数，即可补全统计图；
该校学生数参加了羽毛球社团的人数所占的百分比即可得到结论．
本题考查的是条形统计图与扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】证明：连接，
，
．
菱形，
．
．
．
，
．
是的切线．

连接，
菱形的面积为，
的面积，．
，
，，
，
． 

【解析】连接，只要证明即可．本题可根据菱形的性质可证得．
连接，根据菱形的性质及三角函数的知识即可得出的长．
本题考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．本题同时考查了菱形的性质及三角函数的知识．
 

22.【答案】解：设去年型车每辆售价元，则今年售价每辆为元，由题意，得
，
解得：．
经检验，是原方程的根．
答：去年型车每辆售价为元；
设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由题意，得
，
．
型车的进货数量不超过型车数量的两倍，
，
．
，
，
随的增大而减小．
时，有最大值
型车的数量为：辆．
当新进型车辆，型车辆时，这批车获利最大． 

【解析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
设去年型车每辆售价元，则今年售价每辆为元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由条件表示出与之间的关系式，由的取值范围就可以求出的最大值．
 

23.【答案】解：点是四边形的边上的相似点．
理由：，
．
，
．
．
，
∽．
点是四边形的边上的相似点．

作图如下：


点是四边形的边上的一个强相似点，
∽∽，
．
由折叠可知：≌，
，，
，
．
在中，，
，
． 

【解析】要证明点是四边形的边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明∽，所以问题得解．
根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．
因为点是梯形的边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出和的数量关系，从而可求出解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论．
 

24.【答案】解：将，坐标代入得：，
解得，
此抛物线的解析式为：；
存在，理由如下：，
设的解析式为，把，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
设，
当时，，
解得，舍去，此时点坐标为；
当时，，
解得，舍去，此时点坐标为；
当时，，
解得舍去．
综上所述，满足条件的点坐标为，；
过点作于点，
则轴．
，，
为等腰直角三角形，


，
，
由轴知：，
∽，

，
即，
，
，
，
轴，点的横坐标为，，
，，
，
，
，
有最大值，
当时，有最大值． 

【解析】将，坐标代入求得、的值即可解答；
先利用勾股定理计算出，利用待定系数法可求得直线的解析式为，则可设，分类讨论：当、和三种情况，分别列方程求出，即可得到对应的点坐标；
过点作于点则轴．再说明为等腰直角三角形，进而说明；然后证明∽可得，进而得到；再根据题意得到，最后根据二次函数的性质求最值即可．
本题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质、会待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质等知识点，理解坐标与图形性质和分类讨论的思想是解答本题的关键．