2023年山东省东营市垦利区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年山东省东营市垦利区中考数学二模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省东营市垦利区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列各数中属于无理数的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．小明的画法如下：

将含角的三角尺的最长边与直线重合，另一块三角尺最长边与含角的三角尺的最短边紧贴：
将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则小明这样画图的依据是(    )A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等4.  下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性最大的是(    )A. 朝上的点数为 B. 朝上的点数为
C. 朝上的点数为的倍数 D. 朝上的点数不大于5.  如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿化后一边减少了，另一边减少了，剩余面积为的矩形空地，则原正方形空地的边长为(    )A.
B.
C.
D. 6.  如图，圆锥的轴截面是一个斜边为的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是(    )A.
B.
C.
D. 7.  已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为(    )A. 且 B.
C. 且 D. 且8.  二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是(    )A.
B.
C.
D. 9.  如图，，将绕点旋转得到，则此时点的对应点的坐标为(    )A.
B.
C. 或
D. 或10.  如图，菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点则下列结论：≌，，，中，正确的是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）11.  据报道，截止年月底，东营市私家车拥有量近万辆，将万用科学记数法表示为______ ．12.  因式分解：______．13.  如图是嘉兴市某天内的最高气温折线统计图，则最高气温的众数是______
14.  已知，且，则的取值范围为______．15.  正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为若反比例函数的图象经过点，则的值为______．
16.  工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，如图所示，则这个小圆孔的宽口的长度为______．
 17.  如图，在平行四边形中，，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，则图中阴影部分面积为______ 结果保留．
18.  如图，正方形的中心与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点依此类推，则点的坐标是        ．
三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中满足．20.  本小题分
为了解九年级学生“居家学习”的学习能力，某校随机抽取该年级部分学生，对他们的学习能力进行了统计，其中学习能力指数级别“”级，代表学习能力很强；“”级，代表学习能力较强；“”级，代表学习能力一般；“”级，代表学习能力较弱请结合图中相关数据回答问题．
本次抽查的学生人数为______ 人，并将条形统计图补充完整；
本次抽查学生“居家学习”能力指数级别的众数为______ 级，中位数为______ 级；
已知学习能力很强的学生中有名女生，现从中随机抽取两人写有“居家学习”的报告，请用列表或画树状图的方法求所抽查的两位学生中恰好是同性别的概率．
21.  本小题分年月日是第个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时点是的对应点，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．结果精确到；参考数据：，，22.  本小题分
如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，．
求证：是的平分线；
若，，求的长．
23.  本小题分
某花店计划在母亲节来临之前购进一批康乃馨和百合花，已知购买支康乃馨和支百合共需元；购买支康乃馨和支百合共需元．
求每支康乃馨和百合花的价格分别是多少元？
若该花店准备同时购进这两种花共支，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．24.  本小题分
如图，二次函数的图象交轴于点，两点，交轴于点．
求二次函数的解析式；
点为直线下方二次函数图象上一个动点，连接，，求面积的最大值；
点为直线上一个动点，将点向右平移个单位长度得到点，设点的横坐标为，若线段与二次函数的图象只有一个交点，直接写出的取值范围．
25.  本小题分
   问题发现
如图，在和中，，，点时线段上一动点，连接．
填空：
的值为______； 的度数为______．
类比探究
如图，在和中，，，点是线段上一动点，连接请判断的值及的度数，并说明理由；
拓展延伸
如图，在的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，是有理数，
是无理数，
故选：．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 2.【答案】 【解析】解： ，不能合并，错误，
不符合题意；
B. ，错误，
不符合题意；
C.，错误，
不符合题意；
D. ，正确，
符合题意；
故选：．
根据二次根式的加减、积的乘方、单项式乘以多项式及异分母分式相加减计算，分别判断即可．
本题考查了二次根式的加减、积的乘方、单项式乘以多项式及异分母分式相加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是关键．
先得到，然后根据同位角相等两直线平行可判断．
【解答】解：

根据得到，
所以同位角相等，两直线平行．
故选：．  4.【答案】 【解析】解：任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果共有、、、、、这六种结果，
其中朝上的点数为的只有种结果，朝上的点数为的只有种结果，朝上的点数为的倍数的有、、这种结果，朝上的点数不大于的有、这种结果，
所以朝上的点数为的倍数的可能性最大，
故选：．
找到朝上点数为、、的倍数、不大于的所有等可能结果，从而得出答案．
本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性概率的计算方法．
 5.【答案】 【解析】解：设原正方形的边长为，依题意有
，
解得：，不合题意，舍去，
即：原正方形的边长．
故选：．
可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．
本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键
 6.【答案】 【解析】解：圆锥的轴截面是一个斜边为的等腰直角三角形，
底面半径，母线长，底面周长，
圆锥的侧面积，
故选：．
首先可求得圆锥的底面半径及母线长，再根据圆锥的侧面积公式，即可求得．
本题考查了圆锥的侧面积计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，解题的关键是牢记有关公式．
 7.【答案】 【解析】解：将分式方程转化为整式方程得：
解得：．
方程得解为正数，所以，解得：．
分式的分母不能为，
，
，即．
．
故且．
故选：．
先求得分式方程的解含的式子，然后根据解是正数可知，从而可求得，然后根据分式的分母不为，可知，即．
本题主要考查的是解分式方程和一元一次不等式的应用，求得方程的解，从而得到关于的不等式是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：二次函数的图象开口向上，与轴的交点在轴负半轴，
，，
由图可得对称轴为直线，，
，
一次函数的图象经过一，三，四象限，的图象在二，四象限，
，，不符合题意，符合题意；
故选：．
由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一，三，四象限，的图象在二，四象限，从而可得答案．
本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：，，
，
与轴正半轴夹角为，与轴正半轴夹角为，
，
根据勾股定理，，
，
如图，顺时针旋转时，
，
点、关于原点成中心对称，
点；
如图，逆时针旋转时，
，
点在轴负半轴上，
点的坐标是．
综上所述，点的坐标为或．
故选C．
根据点、的坐标求出与轴正半轴夹角为，与轴正半轴夹角为，从而得到，再利用勾股定理求出、的长度，然后分顺时针旋转时，点与点关于坐标原点成中心对称，然后根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；逆时针旋转时，点在轴负半轴上，然后写出点的坐标即可．
本题考查了坐标与图形的变化旋转，根据角度度数判断出点的位置是解题的关键，要注意分情况讨论求解．
 10.【答案】 【解析】解：四边形是菱形，
，
，
，
即是等边三角形，
同理：是等边三角形
，
在和中，
，
≌；
故正确；
，
，
；
故正确；
在上截取，连接，
，
点，，，四点共圆，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
；
故正确；
，，
∽，
：：，
．
故正确．
故选D．
由菱形中，，易证得是等边三角形，则可得，由即可证得≌；则可得，利用三角形外角的性质，即可求得；在上截取，连接，易得点，，，四点共圆，则可证得是等边三角形，然后由即可证得≌，则可证得；易证得∽，由相似三角形的对应边成比例，即可得．
此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 11.【答案】 【解析】解：将万用科学记数法表示为，
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可．
本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：

．
故答案为．
先提取公因式，再利用平方差公式进行分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，注意分解因式要彻底．
 13.【答案】 【解析】【分析】
本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】
解：出现了次，出现次数最多，故众数为．
故答案为．  14.【答案】 【解析】解：，
由，得．
，
，
解得，；
故答案为：．
方程组两方程相减表示出，根据列出关于的不等式，求出不等式的解集即可求出的范围．
此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组，将方程组两方程相减表示出是解本题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：作于，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
点的坐标为，点的坐标为．
，，
，，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
作于，利用证明≌，得，，可得点的坐标，从而得出的值．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标的特征等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：连接，过点作于点，则，
钢珠的直径是，
钢珠的半径是，
钢珠顶端离零件表面的距离为，
，
在中，
，
．
故答案为：．
先求出钢珠的半径及的长，连接，过点作于点，则，在中利用勾股定理即可求出的长，进而得出的长．
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：连接，，

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，
，
，
，
，
，
又，
，
，
为的中点，
，
，
．
故答案为．
连接，，由平行四边形的性质求出，由切线的性质得出，求出，证得，由扇形的面积公式可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，扇形的面积公式，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
 18.【答案】 【解析】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，

正方形的中心与坐标原点重合，，
，，，
，，，
将顶点绕点逆时针旋转得点，
，，，
，，
，，
，
再将绕点逆时针旋转得点，
，，，
，，
，
，
再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点
同理可得：，，，，，
观察发现：每四个点一个循环，，，，，
，
；
故答案为：．
如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，可得，，，，，，，观察发现：每四个点一个循环，，，，，由，推出．
本题考查坐标与图形的变化旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
 19.【答案】解：原式

；



，
，
，
当时，
原式． 【解析】先计算负整数指数幂、乘方、零指数幂、代入特殊角的三角函数值，再进行实数混合运算即可；
先利用分式的混合运算化简，再利用整体代入即可求值．
本题考查了实数的混合运算和分式化简求值，掌握运算法则和顺序是解题的关键．
 20.【答案】     【解析】解：本次抽查的学生人数为：人，
故答案为：，
“”级的学生数为人，
将条形统计图补充完整如图：

本次抽查学生“居家学习”能力指数级别的众数为级，
中位数为第，个同学即为级．
故答案为：，；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中同性别的结果数为，所以恰好抽到同性别的概率．
根据条形统计图和扇形统计图相关信息的对应关系，即可得到本题抽查的学生数，再得出“”级的学生数，即可补全条形统计图；
根据众数和中位数的概念及求法，结合题中数据即可得出结果；
画树状图展示所有种等可能的结果，然后根据概率公式计算．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，众数，中位数和列表法与树状图法求概率，能够从条形统计图与扇形统计图中找到相关信息是解题的关键．
 21.【答案】解：，
，
在中，，
，
由题意得：，
，
，
在中，，
此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为． 【解析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再利用平角定义求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
 22.【答案】证明：如图所示：连接，

是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是平分线；
解：是的直径，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 【解析】连接，根据切线的性质可得，再根据得到，利用同角的余角相等得出，又因为圆的半径均相等得到，再根据三角形等边对等角即可证明是的角平分线；
利用圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得，根据，是的角平分线，即可判断∽，再根据两个相似三角形对应线段成比例即可求出的长．
本题考查圆的切线的性质，圆周角定理，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
 23.【答案】解：设每支康乃馨和百合花的价格分别是元、元，
，
解得，
答：每支康乃馨和百合花的价格分别是元、元；
最省钱的购买方案是购买康乃馨支，购买百合花支，
理由：设购买康乃馨支，则购买百合花支，费用为元，
，
随的增大而减小，
康乃馨的数量不多于百合花数量的倍，
，
解得，
当时，取得最小值，此时，，
最省钱的购买方案是购买康乃馨支，购买百合花支． 【解析】根据购买支康乃馨和支百合共需元；购买支康乃馨和支百合共需元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据题意，先设出购买康乃馨支，费用为元，即可得到关于的函数式，再根据康乃馨的数量不多于百合花数量的倍，可以求得的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到最省钱的方案．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．
 24.【答案】解：将，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
当时，，
，
设直线的解析式为：，
将代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
，
．
过点作轴，垂足为，交直线于点，设，如图，

，，
，




，
，，
当时，面积的最大值为；
若线段与二次函数的图象只有一个交点，则的取值范围或理由：
当点在线段上时，

，的距离为，而，的水平距离是，
此时只有一个交点，即；
线段与抛物线只有一个公共点；
当点在点的右侧时，线段与抛物线没有公共点；
当点在点的左侧时，

，
抛物线的顶点为，
令，
解得：，
，
当时，抛物线和交于抛物线的顶点，
即时，线段与抛物线只有一个公共点，
综上，或． 【解析】利用待定系数法解答即可；
过点作轴，垂足为，交直线于点，设，求得直线的解析式，则，的坐标可得，利用的代数式表示出的长度，利用求得面积与的函数关系式，再利用二次函数的性质和配方法即可得出结论；
利用分类讨论的思想方法分当点在线段上时，当点在点的右侧时，当点在点的左侧时三种情形，结合函数图象解答即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，函数的极值，配方法，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 25.【答案】略 【解析】解：，

，
，
，且，
∽

故答案为：，
，
理由如下：，，
，

，，
∽

，且
∽
，

若点在线段上，如图，

由知：，

，，
，
，且点是中点，
，
且是直角三角形
，


，



若点在线段延长线上，如图

同理可得：，
，
，


综上所述：的长为或
由直角三角形的性质可得，可得，通过证明∽，可得的值；
通过证明∽，可得的值，，即可求的度数；
分点在线段上和延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证，即可求，由相似三角形的性质可得，，
由勾股定理可求的长．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明∽是本题的关键．