2023年山东省东营市河口区中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省东营市河口区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为(    )
 

A.
B.
C.
D.

4.  一只蜘殊爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，甲乙两楼相距米，乙楼高度为米，自甲楼顶处看乙楼楼顶处仰角为，则甲楼高度为(    )
 

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

6.  如图是一个机器零件的三视图，根据标注的尺寸，这个零件的表面积单位：是
(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，则在中边上的高为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，点是边上的中点，点从的顶点出发，沿的路径以每秒个单位长度的速度匀速运动到点线段的长度随时间变化的关系图象如图所示，点是曲线部分的最低点，则的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，四边形是边长为的正方形，是等边三角形，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，下列结论：
；∽；：：；．
其中正确的有(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  年月日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到万次，数据万用科学记数法表示为______ ．

12.  分解因式：______．

13.  如图所示的是莉莉次购买某水果的重量单位，的统计图，则次重量的中位数是        ．

14.  如图所示，已知圆的半径，以为边分别作正五边形和正六边形，则图中扇形的面积为______ 结果保留．

15.  已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______ ．

16.  如图，在线段上取一点，分别以，为边长作菱形和菱形，使点在边上，连接，是的中点，且，则的长是______．

17.  如图，等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______ ．

18.  如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为按此规律，则点的纵坐标为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.  “端午节”吃粽子是我国流传了上千年的习俗．某班学生在“端午节”前组织了一次综合实践活动，购买了一些材料制作爱心粽，每人从自己制作的粽子中随机选取两个献给自己的父母，其余的全部送给敬老院的老人们．统计全班学生制作粽子的个数，将制作粽子数量相同的学生分为一组，全班学生可分为，，，四个组，各组每人制作的粽子个数分别为，，，根据如图不完整的统计图解答下列问题：
请补全上面两个统计图；不写过程
该班学生制作粽子个数的平均数是______；
若制作的粽子有红枣馅记为和蛋黄馅记为两种，该班小明同学制作这两种粽子各两个混放在一起，请用列表或画树形图的方法求小明献给父母的粽子馅料不同的概率．
 

四、解答题（本大题共6小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算及先化简，再求值：
计算：；
先化简，再求值：，其中从、、中选择一个适当的数代入．

21.  本小题分
如图，是的弦，为上一点，过点作的垂线与的延长线交于点，连接并延长，与交于点，连接，．
求证：是的切线；
若，，求的长．

22.  本小题分
党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求为响应党的号召，某市政府欲购进一批风景树绿化荒山，已知购进种风景树万棵，种风景树万棵，共需要万元；购进种风景树万棵，种风景树万棵，共需要万元．
问，两种风景树每棵的进价分别是多少元？
该市政府计划用不超过万元购进，两种风景树共万棵，其中要求风景树的数量不多于万棵，则共有几种购买方案？

23.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
求反比例函数和一次函数的解析式；
若直线与轴交于点，轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，说明理由．

24.  本小题分
如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于点，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点．
求抛物线的解析式；
如图，点在下方的抛物线上运动，求的面积最大值；
如图，在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由．
 

25.  本小题分
问题：如图，在中，，为边上一点不与点，重合，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段和线段的数量关系是______ ，位置关系是______ ．
探索：如图，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；
应用：如图，在四边形中，，若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，的相反数是，
的相反数是．
故选：．
先求出的值，再确定相反数即可．
本题考查乘方的意义，相反数的概念．掌握的奇次方是是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，故不合题意；
B、等号左侧两项不是同类项，不能合并，故不合题意；
C、原式，故不合题意；
D、原式，故符合题意；
故选：．
A、利用完全平方公式计算判断即可；
B、根据合并同类项法则判断即可；
C、根据算术平方根的概念判断即可；
D、根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算判断即可．
此题考查的是完全平方公式、算术平方根、合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
由题意得：，，利用平行线的性质可求，进而可求解．
【解答】
解：如图，，，

，
，
，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：设每小格的面积为，
整个方砖的面积为，
阴影区域的面积为，
最终停在阴影区域上的概率为：．
故选：．
设每小格的面积为，易得整个方砖的面积为，阴影区域的面积，然后根据概率的定义计算即可．
本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积，再计算出其中某个区域的几何图形的面积，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
分析题意可得：过点作，交于点；可构造，利用已知条件可求；而乙楼高．
【解答】
解：过点作，交于点，

在中，米，，
米，
米．
甲楼高为米．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：根据其三视图可以判断该几何体为圆锥，且底面半径为，高为，
母线长为，
其全面积为：．
故选：．
根据其三视图可以判断该几何体为圆锥，且底面半径为，高为，据此求得其全面积即可．
考查由三视图判断几何体及几何体表面积的计算；用到的知识点为：圆锥的侧面展开扇形的面积计算方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数的图象过点，
将点代入得，，
解得，
点的坐标为，
由图可知，不等式的解集为．
故选：．
首先利用待定系数法求出点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，要注意数形结合，直接从图中得到结论．关键是求出点坐标．
 

8.【答案】 

【解析】解：作于如图：
由作图可知，是的角平分线，
，
，，
，
，
，
．
故选：．
作于，利用是角平分线以及直角三角形所对的直角边是斜边的一半即可求解．
本题主要考查了含角的直角三角形，以及角的直角三角形三边的关系，解答本题的关键在于利用其性质进行解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：由函数图象可知，当时，；当时，最小，即，
，，
，
，，
，
是等边三角形，
点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
．
故选：．
由函数图象可知，当时，，然后利用勾股定理求得长的最小值，可得，进而结合，得是等边三角形，然后得点是的中点，最后结合点是的中点求的面积．
本题考查了垂线段最短、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线，解题的关键是数形结合．
 

10.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，四边形是正方形，
，，，
，
则，故正确；
，
，
又，
∽，故正确；
如图，过点作于，

设，则，，
，
由知，
解得，
，
，
，
则：：：，故错误；
，，
，
又，
，
，
，故正确；
故选：．
由等边三角形及正方形的性质求出、，从而判断；证可判断；作，设，则，，，由求出，从而求得、的长，据此可判断，证，根据求解可判断．
本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握等边三角形和正方形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定等知识点．
 

11.【答案】 

【解析】解：万．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：
．
故答案为：．
提公因式，再运用平方差公式对括号里的因式分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

13.【答案】 

【解析】解：把次重量从小到大排列，排在分别为、、、，故中位数为．
故答案为：．
根据中位数的定义解答即可．
本题考查了中位数，掌握中位数的定义是解答本题的关键．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，
，
，
，
扇形的面积为：，
故答案为：
先根据多边形内角和公式计算出、的度数，再求出，利用扇形面积公式计算即可．
本题考查了正多边形和圆，熟练运用多边形内角和公式和扇形面积公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得：把代入方程中得：
，
，




，
故答案为：．
根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接、，

四边形、是菱形，
，，
，
是的中点，
，
故答案为：．
连接、，根据菱形的性质得，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案．
本题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，说明是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，

是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：．
连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：联立直线与直线的表达式并解得：，，故A；
则点，则直线的表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：直线的表达式为：，
将表达式与直线的表达式联立并解得：，，即点的纵坐标为；
同理可得的纵坐标为，
按此规律，则点的纵坐标为，
故答案为：．
联立直线与直线的表达式并解得：，，故A，依次求出：点的纵坐标为、的纵坐标为，即可求解．
本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与二元一次方程组之间的内在联系．
 

19.【答案】解：根据题意得：人，
的人数为人，占的百分比为，
补全统计图，如图所示：

个；
列表如下：

所有等可能的情况有种，其中粽子馅料不同的结果有种，
则． 

【解析】

解：见答案；
根据题意得：个，
则该班学生制作粽子个数的平均数是个；
故答案为：个；
见答案．
【分析】
由的人数除以所占的百分比求出总人数，进而求出的人数，得到占的百分比，补全统计图即可；
根据题意列出算式，计算即可得到结果；
列表得出所有等可能的情况数，找出粽子馅料不同的结果，即可求出所求的概率．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．  

20.【答案】解：原式
；
原式

，
当，时，原式无意义，
当时，
原式
． 

【解析】先算零指数幂，负整数指数幂，去绝对值，用平方差公式，再合并；
先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将有意义的的值代入计算即可．
本题考查实数混合运算和分式化简求值，解题的关键是掌握实数相关运算法则和分式的基本性质．
 

21.【答案】证明：连接，
，
，
，
，

，
，
，
，
是的切线；
解：连接，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线；
连接，，根据圆周角定理得到，推出，得到，根据三角函数的定义得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：设风景树每棵的进价为元，风景树每棵的进价为元，
根据题意得：，
解得，
答：风景树每棵的进价为元，风景树每棵的进价为元；
设购进风景树万棵，风景树万棵，
则，
解得，
为整数，
为，，，，，
共有种购买方案． 

【解析】设风景树每棵的进价为元，风景树每棵的进价为元，根据购进种风景树万棵，种风景树万棵，共需要万元；购进种风景树万棵，种风景树万棵，共需要万元．列出方程组，解方程组即可；
设购进风景树万棵，风景树万棵，根据风景树的数量不多于万棵和购买，风景树的总费用不超过万元列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可．
本题考查的是一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
 

23.【答案】解：把点代入得，，
，
反比例函数的解析式为；
把代入得，，
，
把点，代入得，
解得：，
一次函数的解析式为：；
当时，，
解得：，
，
设，
，
或，
或． 

【解析】把点代入得到反比例函数的解析式为；把点，代入得到一次函数的解析式为：；
当时，得到，设，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
 

24.【答案】解：设抛物线的解析式为，把，，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
把代入得：
，
解得，
，
联立，解得或，
，
过作轴交于，如图：

设，则，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
的面积最大值为；
在轴上存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，理由如下：
在中，令得，
，
，
，
，以、、为顶点的三角形与相似，
是直角三角形，且两直角边的比为，
当为直角时，过作轴于，如图：

，，
，，
，
，
又，
此时∽，点坐标为；
当为直角时，过作交轴于，如图：

，，
∽，
，
，，
，
，
，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或 

【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式为；
求出，联立，可得，过作轴交于，设，有，根据二次函数性质可得的面积最大值为；
在中，令得，故，可知是直角三角形，且两直角边的比为，当为直角时，过作轴于，画出图形，可知点坐标为；当为直角时，过作交轴于，可证∽，，可得的坐标为
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形的性质及判定，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
 

25.【答案】   

【解析】解：，理由如下：
，
，即，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：；

，
理由如下：如图，连接，

，
，即，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在中，，
又，
；

如图，作，使，连接，，

，
，
在与中，
，
≌，
，
，，
，
，
，，
．
证明≌，根据全等三角形的性质解答；
连接，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可；
作，使，连接，，证明≌，得到，根据勾股定理计算即可．
本题是四边形的综合问题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．