黑龙江省双鸭山市第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题及答案
展开黑龙江省双鸭山市第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设，则复数的实部和虚部之和为（ ）
A．3 B． C．1 D．
2．中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线和平面，下列说法正确的是（ ）
A．若//，//，则// B．若//，，则//
C．若，则 D．若//，//，则//
5．如图，在△ABC中，，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形如图所示，若，那么原的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．空间四边形中，，，分别是，的中点，，则异面直线，所成的角为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
8．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知两点，，则与向量垂直的单位向量（ ）
A． B． C． D．
10．，是三个平面，是两条直线，下列四个命题中错误的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若，则 D．若，则
11．在中，设所对的边分别为,则以下结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形.
B．若，则
C．若则是锐角三角形.
D．若，则一定是一个钝角三角形.
12．在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是（ ）
A．正四面体的体积为
B．正四面体外接球的表面积为
C．如果点在线段上，则的最小值为
D．正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知复数为纯虚数，则________.
14．若一个圆锥的侧面是半径为6的半圆围成，则这个圆锥的表面积为________.
15．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为________。
16．已知锐角的内角所对的边分别，角．若是的平分线，交于，且，则的最小值为________；若的外接圆的圆心是，半径是1，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10，8，15（单位：cm），球的直径为5 cm，
（1）求该组合体的体积；
（2）求该组合体的表面积.
18．（12分）已知向量.
（1）若，求；
（2）若向量与的夹角是钝角，求实数k的取值范围.
19．（12分）如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．
（1）证明：平面PBE；
（2）证明：；
20．（12分）已知的内角、、的对边分别是、、，且.
（1）求；
（2）若，求的面积的最大值.
21．（12分）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，∠BAC＝90°，D为BC中点．
（1）求证：⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角．
22.（12分）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围；
（3）若D是AC边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积.
数学参考答案
1．B
【分析】利用复数的乘法可得，从而可得其实部和虚部之和.
【详解】，故其实部为，虚部为，两者的和为，
2．C
【解析】由余弦定理可直接求出.
【详解】由余弦定理得，
.
3.C
【分析】利用坐标求得与同向的单位向量，由可知所求向量为.
【详解】，与同向的单位向量，
又，所求投影向量为.
4．C
【分析】根据线面平行的判定和性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对：若//，//，则//或，故错误；
对：若//，，则//或，故错误；
对：若//，，，则//，故正确；
对：若//，//，则可以平行，可以相交，也可以是异面直线，故错误；
5．D
【分析】根据向量的加法法则，即可求解.
【详解】解：由题意得：，
6．B
【分析】根据斜二测画法可得原三角形的底边及高，进而可求原三角形的面积.
【详解】因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，
所以的底．斜边，
则为直角三角形，高．
所以直角三角形的面积是．
7．B
【详解】取AC中点G，连接EG、FG，
由三角形中位线的知识可知：EGBC，FGAD，
∴∠EGF或其补角即为异面直线AD，BC所成的角，
在△EFG中，cos∠EGF，
∴∠EGF＝120°，由异面直线所成角的范围可知应取其补角60°，
8．A
【分析】运用正弦定理和锐角三角函数定义进行求解即可.
【详解】在中，由正弦定理可知：
，
在直角三角形中，
，
9． AB
10．BD
11.BD
【分析】根据正弦函数的性质可判断A，根据正弦定理及大边对大角的性质可判断哪B，由向量夹角确定三角形内角判断C，根据所给性质及余弦定理判断D.
【详解】，，或，
为等腰或直角三角形，故A错误；
，由正弦定理可知，，故B正确；
设，则解得，
则，因为，
所以是钝角，故D正确.
12.BCD
【详解】由正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形，故棱长为2，如下图示，
为底面中心，则共线，为体高，故，
所以，故正四面体的体积为，A错误；
由题设，外接球球心在上，且半径，
所以，则，
故外接球的表面积为，B正确；
由题意知：将面与面沿翻折，使它们在同一个平面，如下图示，
所以且，，
又，而，
要使最小，只需共线，则，
所以，C正确；
如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体内接一个圆柱的上底面，
若截面所成正三角形边长为，则圆柱体的高，圆柱底面半径为，
所以其侧面积，
故当时，，D正确.
故选：BCD
13．
【分析】根据纯虚数的定义即可求解.
【详解】因为复数为纯虚数，
所以且，解得.
故答案为：
14．
【分析】求出底面半径，代入公式即可.
【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，
所以圆锥的母线长为，
设圆锥的底面半径为，则，所以，
所以圆锥的表面积为.
故答案为：.
15．
【详解】试题分析：设点A到平面A1BC的距离为h，则三棱锥的体积为
即
考点：点、线、面间的距离计算
16.（1）；（2）.
【详解】（1）由是的平分线，得，
又，
即，化简得，
当且仅当，即，时，取．
（2），
=
，
锐角，，
，．
17．体积为1200＋（cm3），表面积700＋（cm2）．
【详解】根据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成．由已知可得
V长方体＝10×8×15＝1200（cm3），
又V半球＝，
所以所求几何体体积为：
V＝V长方体＋V半球＝1200＋（cm3）．
因为S长方体全＝2×（10×8＋8×15＋10×15）＝700（cm2），
故所求几何体的表面积S表面积＝S长方体全＋S半球－S半球底
＝700＋
＝700＋（cm2）．
18．（1）；
（2）且.
【详解】（1）∵，
∴，解得，
∴.
（2）∵与的夹角是钝角，
∴，且与不反向，
即且，
∴且.
19．（1）证明见解析
（2）证明见解析
【详解】（1）取PB中点，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点
所以，，因为四边形ABCD为长方形，所以，且，所以，，所以四边形DEGF为平行四边形，所以
因为平面PBE，平面PBE，平面PBE
（2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面
所以
20．（1）；
（2）.
【详解】（1）在中，，由及正弦定理得：，
即，，
于是得，又，即，则，因，
所以.
（2），由余弦定理得：，当且仅当时取“=”，
因此，，于是得，当且仅当时取“=”，
所以的面积的最大值为.
21．
（1）C1A⊥A1C，因为∠BAC＝90°，所以，
又因为侧面ABB1A1是正方形，所以，
因为平面ACC1A1，
所以AB⊥平面ACC1A1，
而C1A⊂平面ACC1A1，则AB⊥C1A，而A1B1∥AB
∴A1B1⊥C1A，而A1B1∩A1C＝A1，平面A1B1C，
∴C1A⊥平面A1B1C，
（2）连接OB1，
∵ACC1A1为正方形，∠BAC＝90°，
∴AC1⊥A1C，AC1⊥A1B1，而平面A1B1C，
∴AC1⊥平面A1B1C，
∴∠C1B1O为直线B1C1与平面A1B1C所成的角，
∵，
∴∠C1B1O＝30°．
22．（1）；（2）；（3）
（1）由，，
则，由正弦定理得，化简得，
故，又，故；
（2）由（1）知，，故
，
又，则，，故；
（3）易得，由，可得，
整理得，又，整理可得，令，
则，其中，当，即时，取最大值，
此时，解得，
的面积为
