2022-2023学年山东省青岛市莱西市七年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省青岛市莱西市七年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程是二元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个事件发生的概率不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列成语描述的事件是必然事件的是(    )

A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 画饼充饥 D. 水中捞月

4.  下列命题是真命题的是(    )

A. 相等的角是对顶角
B. 若实数，满足，则
C. 同旁内角互补
D. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角

5.  如图，，下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  某商场开业举行庆祝活动，凡是到商场的人均可参加“意外惊喜”的游戏，游戏规则为：一个袋中装有白球和红球共个这些小球除颜色外都相同，任意摸出一个球，如果摸到红球就可获得商场免费提供的一份礼品．据统计，当天参加活动的人数约人，商场发放了份礼品，试估计袋中红球的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知方程组，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  我国古代数学名著张邱建算经中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，现在拿斗谷子，共换了斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  小明、小颖、小亮玩飞镖游戏，他们每人投靶次，中靶情况如图所示．规定投中同一圆环得分相同，若小明得分分，小亮得分分，则小颖得分为(    )
 

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

10.  已知关于、的二元一次方程组无解，则一次函数的图象经过的象限是(    )

A. 一、二、四 B. 二、三、四 C. 一、三、四 D. 一、二、三

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  有长度分别为，，，的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是______ ．

12.  将命题“同角的补角相等”改写成“如果那么”形式为          ．

13.  已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大，则这首歌的歌词的字数是______ ．

14.  如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是          ．
 

15.  如图，将沿着翻折，若，，则 ______ ．

16.  已知二元一次方程组的解为，则图中三角形的面积为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程组：
；
．

18.  本小题分
如图，，，，平分，求的度数．
 

19.  本小题分
如图是一个可以自由转动的转盘，被平均分成个扇形，利用这个转盘，甲、乙两人进行游戏，规则如下：
甲自由转动转盘，若指针指向大于的数，则甲胜，否则乙胜；
甲自由转动转盘，若指针指向质数，则甲胜，否则乙胜；
乙自由转动转盘，若指针指向大于的偶数，则乙胜，否则甲胜；
乙自由转动转盘，若指针指向的倍数，则甲胜，否则乙胜．
在上面四个游戏规则中：
对甲、乙双方公平的游戏规则是______ ；填序号
对甲、乙双方不公平的游戏规则是______ ；填序号
选择对甲有利的规则，用你所学的概率知识进行分析说明．

20.  本小题分
在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为．
甲把看成了什么，乙把看成了什么？
求出原方程组的正确解．

21.  本小题分
“六一”期间，利客来商厦为吸引顾客，对一次购物超过元的顾客进行抽奖赠券活动．
方案一：如图所示一个可以自由转动的转盘转盘被等分成个扇形，转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得赠券指针指向黄色区域不获奖．

方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取元赠券．
请根据以上活动方案解决下列问题：
方案一中，顾客获得元、元和元赠券的概率分别是多少？
如果你获得了一次赠券的机会，你会选择两种方案中的哪种？试通过计算给出合理理由．

22.  本小题分
如图，已知，，求证：．
下面是小明同学不完整的证明过程，请你在横线上补充完整，并在括号里填上每一步的推理依据．
证明：已知，
______ ．
______ ，
______
______
______ 两直线平行，同旁内角互补．
______ ，
______

23.  本小题分
学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前三分之二路段为平路，其余路段为坡路，已知汽车在平路上行驶的平均速度为，在上坡路上行驶的平均速度为汽车从学校到自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了．
求汽车在平路和上坡路上各行驶多少时间？
第二天原路返回，发现回程比去时用时少了，问汽车在下坡路上的行驶的平均速度是多少？

24.  本小题分
已知实数，满足，且，求的值三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于，的方程组，再求的值．
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求的值．
丙同学：先解方程组，再求的值．
试选择其中一名同学的思路，解答此题．
试说明在关于不、的方程组中，不论取什么实数，的值始终不变．

25.  本小题分
直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧
【问题探究】

如图，若，点在，内部，，，则 ______ ；
如图，若，将点在，外部，则，，之间数量关系：______ 不需证明；
如图，写出，，，之间的数量关系：______ 不需证明．
【变式拓展】
如图，五角星，请直接写出 ______ ．
如图，将五角星去掉一个角后，是多少？请证明你的结论．

26.  本小题分
阅读材料，回答以下问题：
我们知道，二元一次方程有无数个解．在平面直角坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标的点，就会发现这些点在同一条直线上．
例如：是方程的一个解，对应点如图所示，我们在平面直角坐标系中将其标出，另外方程的解还对应点、将这些点连起来正是一条直线，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程的解，所以，我们就把这条直线就叫做方程的图象．
一般的，任意二元一次方程解的对应点连成的直线就叫这个方程的图象．请问：
已知、、，则点______填“或或”在方程的图象上．
求方程和方程图象的交点坐标．
已知以关于、的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，当时，化简．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该方程中含有个未知数，不是二元一次方程，故本选项不符合题意．
B、该方程中未知数的最高次数是，不是二元一次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程中含有个未知数，不是二元一次方程，故本选项不符合题意．
D、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：．
根据二元一次方程的定义进行判断．
本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：
方程中只含有个未知数；
含未知数项的最高次数为一次；
方程是整式方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：、任何事件的概率不能大于小于零，故A错误；
B、任何事件的概率不能大于小于零，故B正确；
C、任何事件的概率不能大于小于零，故C正确；
D、任何事件的概率不能大于小于零，故D正确；
故选：．
根据随机事件发生的概率在和之间，不可能事件的概率是，必然事件的概率是，可得答案．
本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在和之间，不可能事件的概率是，必然事件的概率是．
 

3.【答案】 

【解析】解：、守株待兔，是随机事件；
B、瓮中捉鳖，是必然事件；
C、画饼充饥，是不可能事件；
D、水中捞月，是不可能事件；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】 

【解析】解：、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意；
B、若实数，满足，则，故错误，是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意；
D、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，正确，是真命题，符合题意．
故选：．
利用对顶角的定义、实数的性质、平行线的性质及三角形的外角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，，
内错角相等，两直线平行．
故选：．
根据平行线的判定定理进行判断．
本题主要考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
 

6.【答案】 

【解析】解：设袋中红球的个数为，根据题意得：
，
解得：，
答：估计袋中红球的个数为个；
故选：．
设袋中红球的个数为，根据概率公式列出算式，求出的值即可得出答案．
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
得：，
，
故选：．
方程组两方程相减求出的值，进而即可求得的值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

8.【答案】 

【解析】解：设清酒斗，醑酒斗，
依题意得：．
故选：．
设清酒斗，醑酒斗，根据“拿斗谷子，共换了斗酒”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设投中内环得分，投中外环得分，
依题意，得：，
解得：，
．
故选：．
设投中内环得分，投中外环得分，根据“小明得分分，小亮得分分”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入中即可得出小颖的得分．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于，的二元一次方程组无解，
直线与直线无交点，即两直线平行，
，
解得：，
当时，一次函数，
其函数图象经过第一、二、四象限，
故选：．
根据方程组无解可知两条直线无交点，即两直线平行，从而列方程求得的值，然后再根据一次函数图象性质作出判断．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数的性质，根据题意得到关于的方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：长度为、、、的四条线段，从中任取三条线段共有，，，四种情况，
而能组成三角形的有、、；共有种情况，
所以能组成三角形的概率是．
故答案为：．
根据三角形的三边关系求出共有几种情况，根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查的是概率的求法．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

12.【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 

【解析】

【分析】
本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果那么”的形式的关键．
“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式．
【解答】
解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．
则将命题“同角的补角相等”改写成“如果那么”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
故答案是如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．  

13.【答案】 

【解析】解：设这首歌的歌词的字数的十位数字为，个位数字为，
由题意得：，
解得：，
即这首歌的歌词的字数为，
故答案为：．
设这首歌的歌词的字数的十位数字为，个位数字为，由题意：十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，

，
，
，
，
而，
，
．
故答案为．
过点作，利用平行线的性质得，所以，，加上，易得．
本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
首先根据折叠可知，，再根据三角形的内角和即可得解．
【解答】
解：沿着翻折，
，，
．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：二元一次方程组的解为，
，
把分别代入和得
，
，
解得，，
两直线的解析式分别为，，
当时，，
解得，
，
当时，，
解得，
，
三角形的面积．
故答案为：．
根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到，再把点坐标分别代入和求出和的值得到两直线的解析式分别为，，接着求出，，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了一次函数与二元一次方程：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了三角形面积公式．
 

17.【答案】解：，
得 ；
把代入得，
解得；
原方程组的解为；
，
得，
解得，
把代入得，
解得，
原方程组的解是 ． 

【解析】利用加减消元法，进行计算即可解答；
利用加减消元法，进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，关键是掌握加减消元或代入消元的方法．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
，
平分，
，
，
． 

【解析】本题考查了平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．根据平行线的性质，先由得到，再由可计算出，直接利用角平分线的定义得到，然后利用求出的度数．
 

19.【答案】   

【解析】解：转盘被平均分成个扇形，指针指向大于的数分别有、、、，共个数，
甲胜的概率是，乙胜的概率是，
这个游戏规则对甲、乙双方公平；
转盘被平均分成个扇形，指针指向质数的有个，
甲胜乙胜，
这个游戏规则对甲、乙双方公平；
转盘被平均分成个扇形，指针指向大于的偶数有和，共个数，
乙胜的概率是，
甲胜的概率是，
这个游戏规则对甲、乙双方不公平；
转盘被平均分成个扇形，指针指向的倍数的有、，共个数，
甲胜的概率是，
乙胜的概率是，
这个游戏规则对甲、乙双方不公平；
对甲、乙双方公平的游戏规则是；
故答案为：；

对甲、乙双方不公平的游戏规则是；
故答案为：；

对甲有利的规则是共有个数，大于的偶数有，，共个，
所以乙胜，甲胜，
即甲胜乙胜．
所以规则对甲有利．
根据概率公式分别求出甲和乙分别胜的概率，即可得出游戏规则对甲、乙双方是否公平；
先求出乙和甲获胜的概率，再进行比较，即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：把代入方程组，
得
解得：．
把代入方程组，
得，
解得：．
甲把看成；乙把看成；

正确的是，是，
方程组为，
解得：，．
则原方程组的解是． 

【解析】把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可；
把甲乙所求的解分别代入方程和，求出正确的、，然后用适当的方法解方程组．
此题难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答．
 

21.【答案】解：由题意可知，每转动一次转盘，共有种等可能的结果，其中是红色的有种，是蓝色的有种，是黑色的有种，
指针指向红色的概率为，
指针指向蓝色的概率为，
指针指向黑色的概率为，
顾客获得元赠券的概率为，
顾客获得元赠券的概率为，
顾客获得元赠券的概率．
方案一中，每转动一次转盘，获得赠券的平均值为元，
方案二中，直接领取元赠券，
，
选择方案一． 

【解析】直接利用概率公式计算即可．
求出方案一中获得赠券的平均值，再与方案二中获得的元赠券作比较，可得答案．
本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
 

22.【答案】  已知  等量代换  同位角相等，两直线平行    对顶角相等  等量代换 

【解析】证明：已知，
两直线平行，内错角相等，
已知，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补，
对顶角相等，
等量代换．
故答案为：；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行；；对顶角相等；等量代换．
由平行线的性质可得，从而有，则可判断，根据平行线的性质有，即可得证．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
 

23.【答案】解：设汽车在平路行驶了，在上坡路行驶了，
依题意，得：，
解得：．
答：汽车在平路行驶了，在上坡路行驶了．
．
答：汽车在下坡路上的行驶的平均速度是． 

【解析】设汽车在平路行驶了，在上坡路行驶了，根据“汽车从学校到自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了，且平路长度为上坡路的倍”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
利用速度路程时间，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

24.【答案】解：选择乙同学方法，
原式，
得到，，
，
，
，
．
原式，
得，
代入得，
，
不论取什么实数，的值始终不变． 

【解析】可得，因为，整体代入求出即可；
得，则根据即可判断．
本题考查二元一次方程组，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用整体的思想考虑问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】       

【解析】解：如图，过点作，
，
，
，，


，
故答案为：；
如图，
，
，
又，
，
故答案为：；
如图，延长交于点，
，，
，
即，
故答案为：；
如图，
，，
又，
，
故答案为：；
证明：如图，连接，
，，
，
，
．
根据平行线的性质即可得出答案；
利用平行线的性质以及三角形的内角和定理可得答案；
利用三角形的外角的性质可得答案；
利用三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可；
利用三角形的内角和定理以及四边形的内角和是进行计算即可．
本题考查平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形的外角，掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图观察图象可知：点在方程的图象上，

故答案为．

由，
解得，
方程和方程图象的交点坐标为．

由，解得，
，
，
，
当时，．
利用图象法即可解决问题；
方程组的解即为两个方程的图象的交点坐标；
解方程组求出的值，根据绝对值的性质分段化简即可；
本题考查一次函数的应用，一次函数与二元一次方程的关系等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，体现了数形结合的思想，属于中考常考题型．