江苏省南师附中、淮阴中学、天一中学、海门中学2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题（原卷及解析版）

江苏省南师附中、淮阴中学、天一中学、海门中学

2021-2022学年下学期期末联考

数学试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，若，则实数a的值为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 已知，都是实数，那么“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 魏晋时期刘徽撰写《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，若，，，，则海岛的高（    ）

A. 20 B. 16 C. 27 D. 9

4. 若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 的展开式中含项的系数为4，则实数（    ）

A  B.  C. 2 D. 4

6. 设，，，则a，b，c大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知椭圆，对于C上的任意一点P，圆上均存在点M，N使得，则C的离心率的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，在上单调递增，且关于x的方程恰有1个实数根，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知复数（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是（    ）

A. z的虚部为 B.

C.  D. z在复平面内对应的点在第四象限

10. 阳山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培历史，产于中国著名桃乡江苏无锡阳山镇.水蜜桃果形大、色泽美，皮韧易剥、香气浓郁，汁多味甜，入口即化，有“水做骨肉”的美誉，阳山水蜜桃早桃品种5月底开始上市，7月15日前后，甜度最高的湖景桃也将大量上市.已知甲、乙两个品种的阳山水蜜桃的质量（单位：斤）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示则下列说法正确的是（    ）

A. 乙品种水蜜桃的平均质量

B. 甲品种水蜜桃的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C. 甲品种水蜜桃的平均质量比乙类水果的平均质量小

D. 乙品种水蜜桃的质量服从的正态分布的参数

11. 如图所示，已知正方体棱长为1，过对角线的一个平面交于E，交于F，下列结论中正确的是（    ）

A. 四边形一定是平行四边形

B. 四边形有可能是正方形

C. 四边形周长的最小值为

D. 四棱锥的体积为定值

12. 已知函数，下列关于说法正确的是（    ）

A. 函数的最小正周期为π

B. 对任意的实数a，为函数的一个对称中心

C. 对任意的实数a，直线为函数的对称轴

D. 存在实数a及正整数n，使得函数在区间上有2021个零点

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13 已知，，则_________.

14. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则 到直线的距离为______.

15. 盒子中有2个红球和3个黑球，随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上与取出的球同色的球2个.现再从盒子中随机取出一个球，则取出为黑球的概率为______.

16. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为.利用下图所揭示的的性质，则在等式中，______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，，.

（1）求和的通项公式；

（2）记，求数列的前2n项和.

18. 在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并作答.

问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.

（1）求B；

（2）若为锐角三角形，，，求的面积.

（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

19. 如图1，已知等边的边长为3，点M，N分别是边，上的点，且满足，，如图2，将沿折起到的位置.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求平面和平面的夹角的正弦值.

20. 为有效控制我国儿童和青少年近视发病率，提高儿童和青少年视力健康水平，教育部发文鼓励和倡导学生经常参加户外活动，积极参加体育锻炼乒乓球羽毛球等有益于眼肌锻炼的体育活动.某中学对学生参加羽毛球运动的情况进行调查，将每周参加羽毛球运动超过2小时的学生称为“羽毛球爱好者”，否则称为“非羽毛球爱好者”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如表所示：

（1）补全列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“羽毛球爱好者”与性别有关?

（2）为了解学生羽毛球运动水平，现从抽取的“羽毛球爱好者”学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取三人，与体育老师进行羽毛球比赛.若男“羽毛球爱好者”获胜的概率为，女“羽毛球爱好者”获胜的概率为，三人比赛结果独立.记这三人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望.

21. 已知双曲线的离心率为，两条准线间的距离为.

（1）求C的标准方程；

（2）斜率为k的直线l过点，且直线与C的两支分别交于点A，B，

①求k的取值范围；

②若D是点B关于x轴的对称点，证明：直线AD过定点.

22. 已知，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）取，，其中，求最小的k，使有两个零点.