2023年湖北省襄阳市樊城区中考一模数学试题(含解析)
展开2023年湖北省襄阳市樊城区中考一模数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.在数2,,,中,最小的数为( )
A.2 B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.自新冠肺炎疫情发生以来,全国人民共同抗疫,各地积极普及科学防控知识,下面是科学防控知识的图片,图片上有图案和文字说明,其中的图案是轴对称图形的是( )
A.打喷嚏 捂口鼻 B.勤洗手 勤通风
C.戴口罩 讲卫生 D.喷嚏后 慎揉眼
4.正十边形的一个外角的度数为( )
A. B. C. D.
5.将一个直角三角形和一把直尺如图放置,如果,则的度数是( )
A. B. C. D.
6.下列说法正确的是( )
A.天气预报说明天的降水概率是95%,则明天不一定会下雨
B.“通常加热到100C,水沸腾”是随机事件
C.抛掷一枚硬币100次,一定有50次正面向上
D.“从一副扑克牌中任意抽取一张,抽到大王”是不可能事件
7.如图,在正方形组成的网格中,的余弦值等于( )
A. B. C.1 D.
8.某品牌手机原来每部售价为元,经过连续两次降价后,该手机每部售价为元,设平均每次降价的百分率为x,根据题意,所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图,在中,,,,以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在内且点B在外时,r的值可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10.二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.今年元旦假期,樊城关圣古镇的烟火秀、花灯展、民俗表演等交相辉映,游客们沉醉其中,流连忘返据统计,景区接待游客13.2万人次,数据13.2万用科学记数法表示为_______.
12.已知点在第三象限,则整数x的值是_______.
13.如图,是的内切圆,,则的大小是____________.
14.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称,又称“四子书”,在世界文化史、思想史上地位极高,所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值. 某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动,九(1)班有甲、乙两位同学参赛,比赛时每位同学从这4本书中随机选定1本选择其中的内容诵读,则甲、乙两位同学选定同一本书的概率为______.
15.如图,在平面直角坐标系中,0为坐标原点,已知点、,且,过点P、Q的直线与两坐标轴相交于A、B两点,连接、,则下列结论:①点P、Q一定在反比例函数的图象上;②一定为等腰直角三角形;③的度数随m的增大而增大,其中成立的是_________.(填序号)
16.如图,在矩形中,点E,F分别在边,上,将矩形沿直线折叠,点B恰好落在边上的点P处,连接,过E作交于G,交于点H,若,,则______.
三、解答题
17.先化简,再求值:,其中,.
18.某中学为了解学生对襄阳市“文明城市创建”知识的知晓情况,从七、八年级中各随机抽取了20名学生进行调查测试(百分制),测试成绩均不低于50分,对测试成绩进行了收集、整理、分析、描述、应用,将测试成绩共分五组:;;;;,并绘制了不完整的统计图(如图所示),请将统计过程中的有关问题补充完整.
I.收集、整理数据
七年级20名学生的测试成绩分别为:51,66,68,73,75,78,85,86,86,86,87,87,87,87,90,91,93,93,94,97.
八年级学生测试成绩在C组和D组的分别为:76,78,78 ,78,78,78,78,84, 86,88,89.
II.分析数据
成绩
平均数
中位数
众数
方差
七年级
83
a
八年级
81
b
c
III.描述、应用数据
(1)补全频数分布直方图(直接在图中作答);
(2)统计表格中_______, _______, ________;
(3)从样本数据分析可以看出,测试成绩较好且比较整齐的是______年级(填“七”或“八”);
(4)若该中学七年级共有学生300名,八年级共有学生200名,则估计七、八年级本次测试成绩不低于80分的总人数为_________人.
19.如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=70°.
(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下,连接BF,求∠DBF的度数.
20.阅读材料,解答问题:
已知实数,满足,,且,则,是方程的两个不相等的实数根,由韦达定理可知,.
根据上述材料,解决以下问题:
(1)直接应用:已知实数,满足:,,且,则_____,______;
(2)间接应用:在(1)条件下,求的值;
(3)拓展应用:已知实数,满足:,且,则______.
21.诸葛亮广场上空一架无人机从点C观测,测得两名同学的脚底部A,B的俯角分别为和,若此观测点离地面的高度为米,A,B两点在的两侧,且点A,D,B在同一水平直线上,求A,B之间的距离(结果保留整数,,).
22.如图,在中,,B是中点,以为圆心,为半径作,分别交及其延长线、于C,D,F点,连接交于点G.
(1)求证:是的切线;
(2)若C是的中点,,求阴影部分的周长.
23.某水果店经销甲、乙两种水果,两次购进水果的情况如表所示:
进货批次
甲种水果质量(单位:千克)
乙种水果质量(单位:千克)
总费用(单位:元)
第一次
第二次
(1)求甲、乙两种水果的进价;
(2)销售完前两次购进的水果后,第三次购进甲、乙两种水果共200千克,该水果店决定回馈顾客,开展促销活动.
①已知投入的资金不超过3360元试求购进的甲种水果至少为多少千克?
②将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售,剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售,若第三次购进的200千克水果全部售出后,获得的最大利润不低于800元,求正整数m的最大值.
24.【基础巩固】(1)如图1,在中,D为上一点,,求证:.
【尝试应用】(2)如图2,在中,E为上一点,F为延长线上一点,,若,,求的长.
【拓展提高】(3)如图3,在菱形中,E是上一点,F是内一点,,,连接、分别交于M,N,,,若,求的值.
25.直线l:与x轴、y轴分别交于点A、B,拋物线的顶点为P,且与x轴交点为O、C.
(1)如图,若.
① 当点P在直线上时,求m的值;
② 若抛物线在的范围内,至少存在一个x的值,使,求m的取值范围.
(2)过P作于H,令.
①求出S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
②分别求出当与时m的值(直接写出结果).
参考答案:
1.B
【分析】根据有理数的大小比较方法比较即可.
【详解】解:由题意:,
所以最小的数为.
故选:B
【点睛】本题考查有理数的大小比较,理解“整数大于负数,负数比较大小绝对值大的反而小”是解题的关键.
2.C
【分析】根据合并同类项,同底数幂的除法,幂的乘方,积的乘方计算即可.
【详解】解:A、,计算错误,故不符合题意;
B、,计算错误,故不符合题意;
C、,计算正确,故符合题意;
D、,计算错误,故不符合题意;
故选:C.
【点睛】本题考查合并同类项,同底数幂的除法,幂的乘方,积的乘方,正确计算是解题的关键.
3.C
【分析】根据轴对称的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够重合,这个图形叫做轴对称图形,由此解答即可.
【详解】解:A、不是轴对称图形,不符合题意;
B、不是轴对称图形,不符合题意;
C、是轴对称图形,符合题意;
D、不是轴对称图形,不符合题意.
故选:C.
【点睛】本题考查了轴对称图形,正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键.
4.D
【分析】根据正多边形的每一个外角相等且所有的外角的度数和为360度求解即可.
【详解】解:,
∴正十边形的每一个外角的度数是,
故选:D.
【点睛】本题主要考查了正多边形外角,熟知正多边形外角与边数的关系式解题的关键.
5.C
【分析】先求得,再由直尺对边平行,根据平行线的性质求解即可.
【详解】解:如图,
由题意,得,
∵,
∴
故选:C.
【点睛】本题考查平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
6.A
【分析】利用必然事件、随机事件和不可能事件的定义逐一判断即可.
【详解】A. 天气预报说明天的降水概率是95%,则明天不一定会下雨,故说法正确;
B. “通常加热到100C,水沸腾”是必然事件,故说法错误;
C. 抛掷一枚硬币100次,不一定有50次正面向上,故说法错误;
D. “从一副扑克牌中任意抽取一张,抽到大王”是随机事件,故说法错误;
故选A.
【点睛】本题考查事件的分类,掌握相关定义是解题的关键.
7.B
【分析】根据勾股定理可得,再根据余弦的求法即可得出答案.
【详解】解:
∵,,
∴,
故选:B.
【点睛】本题考查角的余弦,勾股定理,掌握角的余弦是解题的关键.
8.C
【分析】依据两次增长(下降)性模型进行列方程即可.
【详解】解:设平均每次降价的百分率为x,
根据题意得,
,
故选:C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用;熟记增长(下降)性模型是解题的关键.
9.C
【分析】由勾股定理求出的长度,再由点C在内且点B在外求解.
【详解】解:在中,由勾股定理得:,
∵点C在内且点B在外,
∴,
故选:C.
【点睛】本题考查点与圆的位置关系,解题关键是掌握勾股定理.
10.D
【分析】根据a的符号变化判断反比例函数和二次函数所在象限即可得出答案.
【详解】解:当时,的图像开口向上,过一、二象限;的图像位于一、三象限,可知,D正确;
当时,的图像开口向下,过三、四象限;的图像位于二、四象限,无此选.
故选:D
【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的图像,理解函数表达式中的系数与函数图像的关系是解题的关键.
11.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,n是正数;当原数的绝对值时,n是负数.
【详解】解:13.2万,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查科学记数法.科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数.解题关键是正确确定a的值以及n的值.
12.4
【分析】根据第三象限的点的横坐标是负数,纵坐标是负数,列出不等式组,然后求解即可.
【详解】解:点在第三象限,
,
解得:.
则整数x的值是4
故答案为:4.
【点睛】此题主要考查了点的坐标,解题的关键是掌握第一象限,第二象限,第三象限,第四象限.
13.
【分析】是的内切圆,即O是的内心,求得,然后利用三角形内角和定理求解.
【详解】解:∵是的内切圆,即O是的内心,
∴,
∴,
∴.
故答案为:.
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心,正确证明是关键.
14.
【分析】画树状图展示所有等可能的结果数,找出甲、乙两位同学选定同一本书的情况数,然后根据概率公式求解;
【详解】解:《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》四本书分别用A、B、C、D表示,根据题意画树状图如下:
共有16种等可能的情况数,其中甲、乙两位同学选定同一本书的情况有4种,
则甲、乙两位同学选定同一本书的概率是.
【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数,再从中选出符合事件的结果数目,然后利用概率公式计算事件的概率.
15.①②/②①
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断①;根据、点的坐标特征即可判断②;求得直线、的解析式,根据正比例函数的系数即可判断.
【详解】解:点、,且,则,
点、在反比例函数的图象上,故①正确;
设直线为,则,解得,
直线为,
当时,;当时,,
,,
,
,
为等腰直角三角形,故②正确;
直线为,直线为,
当时,的值随的增大而减小,当时,的值随的增大而增大,
故③错误;
故答案为:①②.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,一次函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形的判定等,数形结合是解题的关键.
16.
【分析】由折叠的性质可证,,从而可证,,设,可求,在中用勾股定理即可求解.
【详解】解:四边形为矩形,
,
由折叠得: ,,,
,
,,
,,
,,
设,则,
,
,
,
,
,
在中
,
在中
,
,
解得:,(舍去),
.
故答案:.
【点睛】本题考查了折叠的性质,平行线的性质,等腰三角形的性质,矩形的性质,勾股定理,掌握折叠的性质,用勾股定理求解是解题的关键.
17.,.
【分析】中括号内利用完全平方公式和平方差公式展开,合并,再计算多项式除以单项式,然后代入求值.
【详解】解:
,
当,时,
原式.
【点睛】本题考查整式的混合运算,二次根式的运算,掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键.
18.(1)见解析;
(2)87;78;78
(3)七
(4)300
【分析】(1)根据七年级测试成绩在组的有8人,补全频数直方图;
(2)根据七年级测试成绩中87分的最多,得到七年级测试成绩的众数是87分,根据八年级学生测试成绩在A组的有2人,在B组的有2人,在C组和D组的分别为:76,78,78,78,78,78,78,84,86,88,89,得到在C组的有7人,根据2+2+7=11,得到八年级学生测试成绩的中位数是78分,根据E组学生有5人,C组中78分的有6人,得到八年级学生测试成绩的众数是78分;
(3)根据表中的平均数,中位数,众数,方差,七年级的这些数据都好于八年级的,得到测试成绩较好且比较整齐的是七年级;
(4)用300乘以七年级D组E组所占比率,200乘以八年级D组E组所占比率,取和即得.
【详解】(1)解:七年级测试成绩在组的有人,
补全直方图如图所示;
;
(2)解:∵七年级测试成绩中87分的最多,
∴七年级测试成绩的众数是87分,
∵八年级学生测试成绩在A组的有:(人),
在B组的有:(人),
在C组和D组的分别为:76,78,78,78,78,78,78,84,86,88,89
∴在C组的有7人,
∴,
∴第10位与第11位学生的成绩位于C组的最后2位,成绩都是78分,
∴八年级学生测试成绩的中位数是78分,
∵E组学生有:(人),C组中78分的有6个,
∴八年级学生测试成绩的众数是78分,
∴;
故答案为:87;78;78;
(3)解:
成绩
平均数
中位数
众数
方差
七年级
83
87
八年级
81
78
78
∵表中七年级的的平均数,中位数,众数,方差都优于八年级的,
∴测试成绩较好且比较整齐的是七年级,
故答案为:七;
(4)(人).
故答案为:300.
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图,中位数和众数,解决问题的关键是熟练掌握频数分布直方图和扇形统计图的特点,频数分布直方图的补全方法,中位数和众数的定义与计算方法,根据平均数,中位数,众数和方差做判断,用样本频数估计总体频数.
19.(1)见解析;(2)30°
【分析】(1)根据题意分别以A、B为圆心,大于 AB长为半径画弧,过两弧的交点作直线即可;
(2)由题意根据∠DBF=∠ABD-∠ABF进行计算即可得出答案.
【详解】解:(1)如图所示,直线EF即为所求;
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=70°,DC//AB,∠A=∠C.
∴∠ABC=140°,∠ABC+∠C=180°,
∴∠C=∠A=40°,
∵EF垂直平分线线段AB,
∴AF=FB,
∴∠A=∠FBA=40°,
∴∠DBF=∠ABD-∠FBE=30°.
【点睛】本题考查作图-基本作图,线段的垂直平分线的性质,菱形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
20.(1);
(2)
(3)
【分析】(1)利用韦达定理直接求解;
(2)对进行通分,然后利用韦达定理求解;
(3)令,则由题得,,且,利用韦达定理可求的值,进而求解.
【详解】(1)解:,,且,
,是方程的两个不相等的实数根,
,.
故答案为:7,1;
(2)解:,,
.
(3)解:由,得.
令,则由,得.
由,得,即.
,,且,
,是方程的两个不相等的实数根,
,即,
.
故答案为:.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解,韦达定理的应用,熟练掌握韦达定理的原理是解题的关键.
21.81米
【分析】根据题意,计算出,再构建三角函数模型:,即可求出的长,即可得出结果.
【详解】解:如图,在中,
,
∴,
在中,
,
由,
∴,
∴;
∴间约为81米.
【点睛】本题考查三角函数的应用,属于中考常规考题,理解三角函数的相关知识点,建立适当的三角函数模型是解题的关键.
22.(1)见解析;
(2).
【分析】(1)连接,根据等腰三角形三线合一可得出,即可得出结论;
(2)连接,先求出,根据直径所对的圆周角是直角得出,再根据,,得出,进而得出,再求出,,根据即可得出答案.
【详解】(1)证明:连接,
∵,,
∴,
∴是的切线;
(2)解:连接,
由(1)知,在中,
,
∴,
∴,
在中,是直径,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
在中,,
,
∴,
∴.
【点睛】本题考查圆周角定理,弧长公式,切线的判定,等腰三角形三线合一,正确作出辅助线是解题的关键.
23.(1)甲、乙两种水果的进价分别为12元/千克、20元/千克;
(2)①购进的甲种水果至少为80千克;②22.
【分析】(1)设甲、乙两种水果的进价分别为,元/千克、元/千克,根据题意列出二元一次方程组,解方程组即可求解;
(2)①设甲购进千克,则乙购进千克,根据题意建立不等式,解不等式即可求解;
②令第三次购进的200千克水果全部售出后获得的利润为元,根据题意得出一次函数解析式,根据一次函数的性质即可求解.
【详解】(1)解:设甲、乙两种水果的进价分别为,元/千克、元/千克,则
解得:,
∴甲、乙两种水果的进价分别为12元/千克、20元/千克.
(2)①设甲购进千克,则乙购进千克,由题意,
∴
∴购进的甲种水果至少为80千克.
②令第三次购进的200千克水果全部售出后获得的利润为元,则
∵,
∴随的增大而减小,
由①知,
∴当时,
由,得
∴正整数的最大值为22.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用,一次函数的应用,根据题意列出方程组、不等式、以及一次函数解析式解题的关键.
24.(1)见解析;(2)5;(3)24.
【分析】(1)证明,得出,则可得出结论.
(2)证明,得出,则,求出,则可求出.
(3)延长与延长线交于点,证得四边形为平行四边形,得出,,证明,得出,则,令,则,再根据平行线的性质,即可得到的长.
【详解】证明(1)∵,,
∴,
∴,
∴.
(2)在中,
,,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
(3)延长与延长线交于点,
∵,,
∴四边形为平行四边形,
∴,,
令,则,
在菱形中,,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
令,则,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和判定、菱形的性质.证明三角形相似是解题的关键.
25.(1)①6;②;
(2)①;②2或.
【分析】(1)①将抛物线变形得到点P的坐标,再将点P坐标代入,解方程即可解答.
②根据二次函数图像和性质,分情况讨论当时;当时,即可解答.
(2)①由题意可知,可求得,再根据点D、点P坐标可得,即可解答.
②根据题意画出函数图形即可解答.
【详解】(1)解:
由
∴,坐标代入得,
,
解之,.
②在范围内,根据二次函数图像和性质,
,
当时,即,
在顶点最高,而,所以不可能有;
当时,即,
在最大,而,所以至少存在一个,
综上所述,.
(2)如图,
由直线与对称轴的图像可分析得出,
,
在中,,
由,
∴,
结合图像分析可得,
.
②当时,,
解得:;
当时,,
解得:.
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质,掌握二次函数的图像和性质,根据题意画出图像是关键.
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