2023年广东省揭阳市数学中考第一次模拟考试（含答案）

2023年初中学业水平考试第一次模拟考试数学科试卷

(时间100分钟，满分120分)

一、选择题：(共10小题，每小题3分,共30分)

1．下列运算中，结果小于0的是（　　）

A．       B．

C．         D．

2．据统计，2022年考研报名人数约有457万，创下历史新高，把457万用科学记数法表示为（　　）

A． B． C． D．

3．如图，将图形用放大镜放大，应该属于图形的(　　)

A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换

4．李聪在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校八年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：

则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　）

A．13，15      B．14，15        C．13，18        D．15，15

5．如图，中，，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（　　）

A．    B．     C．     D． 

6．下列运算正确的是（　　）

A．                  B．

C．      D．

7．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，点O是矩形的对角线的中点，点E为的中点．若，则的周长为（  　）

A．12      B．      C．   D．14

9．如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为．设鸡场垂直于墙的一边长为xm，则列方程正确的是（ 　 ）

A．         B．

C．            D．

10．如图，在四边形 中，AD//BC， ．动点P沿路径 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作 ，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s）， 的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　） 

    A．      B．  C．      D．

二、填空题: (共5小题，每小题3分,共15分)

11．已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 　    　．

12．一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的张红忘记了后两个数字，她一次就能打开该锁的概率是　  　.

13．一个正多边形的中心角为36°，则这个正多边形的内角和为         度.

14．如图是反比例函数和在第一象限的图像，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则　     　.

15．如图，C为以AB为直径的半圆内一点，O为半圆的圆心，直径AB=2cm，∠BOC = 60°,∠BCO= 90° ，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'0C'，点C'在OA上，则图中阴影部分的面积为      （结果保留π）.

三、解答题（一）：(共3小题，每小题8分，共24分)

16．计算： ． 

17.先化简再求值： ，其中 . 

18．某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次调查一共随机抽取了       名学生；

（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数），扇形统计图中圆心角       度；

（3）若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数；

（4）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图或列表的方法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．

四、解答题（二）：(共3小题，每小题9分，共27分)

19．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校九年级各班班主任计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．九（1）班班主任在“智慧文具店”用500元购买甲种品牌奖品的数量比用500元购买乙种品牌奖品的数量多30件，已知乙种品牌奖品的销售单价是甲种品牌奖品销售单价的2.5倍.

（1）求甲、乙两种品牌奖品的销售单价各是多少元？

（2）若该学校九年级（2）班班主任准备在该文具店购买甲、乙两种品牌的奖品共60件，且总购买金额不超过900元，求购买甲种品牌奖品的数量至少是多少件？

20.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F.连接AF，CE，EF平分∠AEC.

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积.

21.如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图像分别交于C，D两点，已知点C坐标是（3，6），AB=BC.

（1）求一次函数与反比例函数的解析式：

（2）求△COD的面积.

五、解答题（三）：(共2小题，每小题12分，共24分)

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N.

（1）求证：MN是⊙O的切线；

（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；

（3）若BC＝6，cosC＝ ，求DN的长. 

23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与坐标轴相交于A 、B 、 C三点，其中A点坐标为（3,0） ，B 点坐标为（-1,0） ，连接AC  、BC  .动点P  从点A 出发，在线段AC  上以每秒 个单位长度向点 做匀速运动；同时，动点 Q从点B 出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t  秒. 

（1）求抛物线的表达式； 

（2）在P、Q 运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？ 

（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M ，使△MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 

2023年中学业水平考试第一次模拟考试

数学科目试卷参考答案

一、选择题：(每题3分,共30分)

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11、3；   12、 ；   13、1440；  14、11；  15、cm2.

三、解答题（一）：(每题8分，共24分)

16、解：原式=1+4+   -6×       …………6分

=5+ - 2                       …………7分

=5+                              …………8分            

17、解：原式

                     …………2分

                      …………4分

                                  …………6分

当  时，原式              …………8分

18、解：（1）400；     …………1分

（2）补全条形图如图所示，54； …………3分

（3）（人）；

答：参加D组（阅读）的学生人数为980人． …………5分

(4)画树状图如图所示： …………6分           

由树状图可知共有12种等可能的结果，其中抽到甲、乙两人的情况有2种结果，…………7分

∴

即恰好抽中甲、乙两人的概率为．                    …………8分

四、解答题（二）：(每题9分，共27分)

19、解：（1）设甲种品牌奖品的销售单价是元，则乙种品牌奖品的销售单价是元，…………1分

根据题意得：，                      …………2分

解得：，                                     …………3分

经检验，是所列方程的解，且符合题意，           …………4分

，

答：甲种品牌奖品的销售单价是10元，乙种品牌奖品的销售单价是25元；………5分

（2）设购买甲种品牌奖品件，则购买乙种品牌奖品件，………6分

，                              ………7分

解得：，                                          ………8分

，，

即购买甲种品牌奖品的数量至少是40件.                   ………9分

20、解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ADBC，AO＝CO，∴∠1＝∠2，                ………1分

在△AOE和△COF中，，

∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF＝OE，            ………2分

∵AO＝CO，∴四边形AFCE是平行四边形，

∵EF平分∠AEC，∴∠1＝∠3，            ………3分

∴∠2＝∠3，∴CE＝CF，

∴四边形AFCE是菱形.                       ………4分

（2）由（1）知四边形AFCE是菱形，

∴AC⊥EF，AO＝CO＝AC＝1，   ………6分

∵∠DAC＝60°，∴是等边三角形，   ………7分

∴，

∴在Rt，

∴EF＝2OE＝2，                            ………8分

∴S四边形AFCE=AC·EF＝×2×2＝2，       

即四边形AFCE的面积为2 .                 ………9分

21、解：（1）如图，过点作轴于，则CE∥y轴，

∴，，

∴，              

∵,                        ………1分

∵点∴

∴BO=3,∴，                         ………2分

将的坐标代入得，

，解得，，               

∴一次函数的解析式为.           ………3分

把代入反比例函数，得，∴反比例函数的解析式为.     ………4分

（2）联立方程组，得，解得，，  ………5分

∵，∴，

如图所示，过点作轴于，则DF=3,CE=6          ………6分

在中令y=0，得，

∴，即AO=3.                              ………7分

∵，

∴          ………8分

∴，                       ………9分

五、解答题（三）：(每题10分，共20分)

22、解：（1）证明：如图，连接OD，

∵AB＝AC，∴∠1＝∠C，

∵OB＝OD，∴∠1＝∠2，              ………1分

∴∠2＝∠C，∴OD∥AC，            

∵DM⊥AC，                          ………2分

∴DM⊥OD，即MN⊥OD，

又∵OD是半径，∴MN是⊙O的切线；   ………3分

（2）证明：如图，∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，∴∠1+∠3=90°.

∵MN⊥OD，∴∠ODN=90°，即∠NDB+∠2=90° ………4分

∵∠1＝∠2，∴∠NDB=∠3

又∵∠N＝∠N，∴△NBD∽△NDA，           ………5分

∴ ，

∴DN2＝BN•AN＝BN•（BN+AB）               ………6分

∵AB=AC，∴DN2＝BN•（BN+AC）；            ………7分

（3）∵ AB=AC,AD⊥BC，且BC＝6，∴BD＝CD＝3，   ………8分

∵在Rt△AC中，cosC＝ ，且cosC＝ ，

 ∴ = ，AC＝5，∴AB＝AC=5，        

∴AD＝ ＝ ＝4，      ………9分

由（2）知△NBD∽△NDA，

∴ ＝ ＝ ，                  ………10分

∴BN＝ DN，DN＝ AN，∴BN＝ AN，   ………11分

∵BN+AB＝AN，∴ AN+5＝AN，∴AN＝ ，

∴DN＝ AN＝ .                       ………12分

23、解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0），

则 ，解得，   ………2分

∴抛物线表达式为y=-x2+2x+3；       ………3分

（2）在y=-x2+2x+3中令x=0，得y=3，

∴C（0，3），∴OC=3

∵A（3，0）， ∴OA=3∴OA=OC

∵∠AOC=90°∴△OAC是等腰直角三角形,AC==  ………4分

如图①，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，则△PAE是等腰直角三角形,

由题意可知AP= ，∴AE=PE= =t，即E（3-t，0），

又Q（-1+t，0），  ∴AQ=3-（-1+t）=4-t，      ………5分

∴S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ=

=

=

=                            ………6分

∵当P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，

∴0≤t≤3，

∵>0,∴当t= 2时，四边形BCPQ的面积取得最小值4；  ………7分

（3）存在，理由如下：                              ………8分

如图②，连接MP、MQ，过点P作PE⊥x轴于点E，过M作MF∥y，交点EP于点F，则∠F=90°.

∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，

∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，

∴∠PMF=∠QPE，

在△PFM和△QEP中，

，

∴△PFM≌△QEP（AAS），            ………9分

∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，

∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，

∴点M的坐标为（3-2t，4-t），      ………10分

∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上，

∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，

解得t1= ， t2= （不合舍去）， ………11分

∴M点的坐标为（ ， ）………12分