2023年九年级数学中考专题训练——二次函数的最值

这是一份2023年九年级数学中考专题训练——二次函数的最值，共43页。试卷主要包含了已知函数，若抛物线与直线l等内容，欢迎下载使用。

中考专题训练——二次函数的最值
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于A（4，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，连接AC．
(1)填空：该抛物线的函数解析式为 ，其对称轴为直线 ；
(2)若P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，试求线段PQ的最大值；
(3)在（2）的条件下，当线段PQ最大时，在x轴上有一点E（不与点O，A重合），且EQ=EA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△AEQ相似？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

2．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，顶点D的坐标分别为A（﹣1，0），D（1，m）．
（1）当OB=OC时，直接写出抛物线的解析式；
（2）直线CD必经过某一定点，请你分析理由并求出该定点坐标；
（3）点P为直线CD上一点，当以点P，A，B为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求m的值．

3．如图，平面直角坐标系xOy中点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当四边形ABNO的面积最大时，求点N的坐标并求出四边形ABNO面积的最大值．

4．如图，二次函数 y＝ax2﹣2ax+c(a＞0)的图象与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，它的顶点为 P，直线 CP 与过点B 且垂直于 x 轴的直线交于点 D，且 CP：PD＝1：2，tan∠PDB＝．
(1)则 A、B 两点的坐标分别为 A( ， )； B( ， )；
(2)求这个二次函数的解析式；
(3)在抛物线的对称轴上找一点M 使|MC﹣MB|的值最大，则点M 的坐标为 ．

5．如图，抛物线y=x2+3与x轴交于点A，点B，与直线y=x+b相交于点B，点C，直线y=x+b与y轴交于点E．
（1）写出直线BC的解析式．
（2）求△ABC的面积．
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

6．如图，二次函数y=ax2+bx+c与直线相交于A、B两点，A点在y轴上，当x=6时，二次函数有最大值，最大值为10，点C是二次函数图象上一点（点C在AB上方），过C作CD⊥x轴，垂足为点D，交AB于点E，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F．

（1）求二次函数的表达式；
（2）当点C在何位置时，线段CE有最大值？请求出点C的坐标及CE的最大值；
（3）当点C在何位置时，线段BE与线段CF互相平分？请求出点C的坐标．
7．抛物线y=－x2＋bx＋c经过点A、B、C，已知A（－1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点B的坐标及直线BC的解析式；
（3）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，求△BDC的面积的最大值．
8．如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴分别交于点A（4，0），B（－2，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；                                 
（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．已知函数（为常数）．
(1)无论取何值，函数图象都过定点_________．
(2)若对于任意实数，函数的图象始终在轴下方，求的取值范围；
(3)若，设函数（为常数）图象的顶点为，且与经过点的直线相交于两点，过点作直线的垂线，垂足为．求证：三点共线．
10．若抛物线与直线l：的一个交点为P，M是该抛物线的顶点．
(1)若点P的坐标为，求该抛物线的解析式；
(2)求点M的纵坐标的最大值；
(3)若，点P在y轴上，直线l与抛物线的另一个交点是Q，当时，请直接写出m的值．
11．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，顶点为D．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线的对称轴上一个动点，连接，，当的长度最小时，求出点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点E是x轴上一动点，在直线BP上是否存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．




12．已知：二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，求出使的值最小时点P的坐标；
(3)在第三象限中的抛物线上是否存在一点Q，使的面积最大？若存在，求出Q点的坐标及面积的最大值；若不存在，说明理由．
13．已知二次函数与的图象开口朝上．
(1)当a＝1时，讨论函数的增减性；
(2)若与的图象有两个交点为A、B．请求出这两个交点的横坐标；
(3)记与的最小值分别为m、n．若m＞0，n＞0，且mn＝4，求的值．
14．如图，已知地物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），直线与x轴和y轴分别交于C，D两点．

(1)若抛物线经过点D，且A点的坐标是，求抛物线的函数解析式；
(2)在（1）的条件下，点P是在直线下方二次函数图像上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，的面积最大，并求出最大面积；
(3)当时，抛物线对应的函数有最小值3，求t的值．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点，点P是二次函数图象上的一点．

(1)求二次函数和直线BC的解析式；
(2)若点P在直线BC的下方，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)当时，求点P的横坐标．
16．如图，二次函数经过点，与x轴的负半轴，y轴正半轴交于点B，C，点G为抛物线的顶点．

(1)求b的值和点G的坐标；
(2)当时，求函数的最大值和最小值；
(3)当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的值．
17．如图，在在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，点C（0，6）是抛物线与y的交点．
（1）求抛物线与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左边）；
（2）设直线y＝h（h为常数，0＜h＜6）与直线BC交于点D，与y交于点E，与AC交于点F，连AE，定点M的坐标为（﹣2，0）．
①求h为何值时，△AEF的面积S最大；
②问：是否存在这样的直线y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．


18．如图，抛物线与斜交于点，，与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点为该抛物线对称轴上一点，当最小值，求点的坐标．
（3）抛物线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．

19．如图，已知抛物线经过，，三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线上方的该抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）是直线右侧的该抛物线上一动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

20．定义: 在平面直角坐标系中，如果点和都在某函数的图象上，则称点是图象的一对“相关点”．例如，点和点是直线的一对相关点．

请写出反比例函数的图象上的一对相关点的坐标；
如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点．
求抛物线的解析式:
若点是抛物线上的一对相关点，直线与轴交于点，点为抛物线上之间的一点，求面积的最大值．

参考答案：
1．（1）见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）把代入抛物线中列方程组，解出可得b和c的值，可得抛物线的解析式，配方成顶点式可得对称轴；
（2）先利用待定系数法求直线AC的解析式，再设点P的坐标，并表示点Q的坐标，根据铅直高度表示PQ的长，并配方可得PQ的最大值；
（3）分两种情况：①当D在线段OA上时，如图1，根据△AEQ∽△ADC，由EQ=EA，得CD=AD，利用勾股定理解决问题；②当D在点B的左侧时，如图2根据三角形相似，由EQ=EA可得OA=OD，可得D的坐标．
【解析】．解：（1）把代入抛物线中得：

解得：  
∴
∴抛物线的函数解析式为：其对称轴为直线：  
故答案为
(2)∵A(4,0),C(0,3)，
∴直线AC的解析式为：
设,则
∴
∵P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，
∴0 ∴当x=2时，PQ的最大值为3；
(3)分两种情况：
①当D在线段OA上时,如图1,△AEQ∽△ADC，

∵EQ=EA,
∴CD=AD，
设CD=a，则AD=a，OD=4−a，
在Rt△OCD中,由勾股定理得：  

∴
∴
∴
②当D在点B的左侧时,如图2,△AEQ∽△ACD，

∵EQ=EA，
∴CD=AC，
∵OC⊥AD，
∴OD=OA=4，
∴D(−4,0)，
综上所述,当△ACD与△AEQ相似时,点D的坐标为或(−4,0).
【点评】属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质等，综合性比较强，属于常考题型.
2．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）直线CD必经过定点（﹣3，0）；（3）以点P，A，B为顶点的三角形是等腰直角三角形时，m的值为2或或8．
【分析】（1）由点A，顶点D的坐标分别为A（﹣1，0），D（1，m），可得B点坐标，又OB=OC，可得抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）由抛物线顶点D的坐标分别为（1，m），可得b=﹣2a，由A（﹣1，0）在抛物线上，可得c=﹣3a，可得直线CD的解析式为y=﹣ax﹣3a=﹣a（x+3），可得答案；
(3)分 ∠PAB=90°、∠PBA=90°、∠APB=90°三种情况讨论可得m的值.
【解析】（1）点A，顶点D的坐标分别为A（﹣1，0），D（1，m），
∴B（3，0），
∴OB=3，
∵OB=OC，
∴C（0，3），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），∴a×1×（﹣3）=3，
∴a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；
（2）∵抛物线顶点D的坐标分别为（1，m），
∴﹣=1，
∴b=﹣2a，
∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2ax+c，
∵A（﹣1，0）在抛物线上，
∴a+2a+c=0，
∴c=﹣3a，
∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，
∴m=﹣4a，
∴D（1，﹣4a），C（0，﹣3a），
∴直线CD的解析式为y=﹣ax﹣3a=﹣a（x+3），
令x+3=0，
即：x=﹣3时，y=0，
∴直线CD必经过定点（﹣3，0）；
（3）A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB=4，
当∠PAB=90°时，PA=AB，
∵P（﹣1，﹣2a），
∴PA=﹣2a，
∴﹣2a=4，
∴a=﹣2，
∴m=﹣4a=8
当∠PBA=90°时，PB=AB，
∵P（3，﹣6a），∴PB=﹣6a，
∴﹣6a=4，
∴a=﹣，
∴m=﹣4a=，
当∠APB=90°时，PA=PB，
∵P（1，﹣4a），
∴m=﹣4a=AB=2，
即：以点P，A，B为顶点的三角形是等腰直角三角形时，m的值为2或或8．
【点评】本题主要考查二次函数的综合，难度较大，需综合运用各知识求解.
3．（1）E点坐标为(0, )；（2） ；（3）四边形ABNO面积的最大值为，此时N点坐标为(， )．
【分析】（1）先利用待定系数法求直线AB的解析式，与y轴的交点即为点E；
（2）利用待定系数法抛物线的函数解析式；
（3）先设N(m，m2−m)(0＜m＜3)，则G（m，m），根据面积和表示四边形ABNO的面积，利用二次函数的最大值可得结论．
【解析】（1）设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（-1，1），B（3，3）代入得，解得，
所以直线AB的解析式为y＝x+，
当x=0时，y＝×0+＝，
所以E点坐标为(0，)；
（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A（-1，1），B（3，3），O（0，0）代入得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2−x；
（3）如图，作NG∥y轴交OB于G，OB的解析式为y=x，

设N(m，m2−m)(0＜m＜3)，则G（m，m），
GN＝m−(m2−m)＝−m2+m，
S△AOB=S△AOE+S△BOE=××1+××3=3，
S△BON＝S△ONG+SBNG＝•3•(−m2+m)＝−m2+m
所以S四边形ABNO＝S△BON+S△AOB＝−m2+m+3＝− (m−)2+
当m＝时，四边形ABNO面积的最大值，最大值为，此时N点坐标为(，)．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数的性质；理解坐标与图形性质，利用面积的和差计算不规则图形的面积．
4．（1）﹣1，0；3，0；（2）y=x2﹣x﹣；（3）（1，﹣）
【分析】（1）先求得抛物线的对称轴为x=1，然后利用平行线分线段成比例定理求得OE：EB的值，从而得到点B的坐标，利用抛物线的对称性可求得点A的坐标；
（2）过点C作CF⊥PE，垂足为F．先求得点C和点P的坐标（用含字母的式子表示），然后可得到PF=a，然后利用锐角三角函数的定义可求得a的值，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得c的值；
（3）根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点A、C、M在同一直线上时|MC-MB|最大，设直线AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据点M在对称轴上代入计算即可得解．
【解析】（1）如图所示：
∵由题意可知：抛物线的对称轴为x=1，
∴OE=1．
∵OC∥PE∥BD，CP：PD=1：2，
∴=．
∴BE=2．
∴OB=3．
∴B（3，0）．
∵点A与点B关于PE对称，
∴点A的坐标为（﹣1，0）．
故答案是：﹣1，0；3，0；
（2）过点C作CF⊥PE，垂足为F．
将x=0代入得：y=c，
∴点C的坐标为（0，c）．
将x=1代入得y=﹣a+c．
∴点P的坐标为（1，﹣a+c）．
∴PF=a．
∵PE∥BD，tan∠PDB=，
∴tan∠CPF=tan∠PDB=．
∴．
解得a=．
将a=代入抛物线的解析式得：y=x2﹣x+c．
将点A的坐标代入得： ++c=0，解得：c=﹣．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣．
（3）由三角形的三边关系，|MC﹣MB|＜AC，
∴当点A、C、M在同一直线上时|MC﹣MB|最大，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴y=﹣x﹣，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，y=﹣×1﹣=﹣，
∴点M的坐标为（1，﹣）．
故答案是：（1，﹣ ）．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了抛物线的对称性，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理，作CF垂直于对称轴，利用锐角三角函数的定义求得a的值是解题的关键．
5．（1）BC的解析式为y=x+；
（2）×4×=
（3）当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为．
【解析】试题分析：（1）令y=0代入y=-x2+3求出点A，B的坐标．把B点坐标代入y=-x+b求出BC的解析式．
（2）联立方程组求出B．C的坐标．求出AB，CD的长后可求出三角形ABC的面积．
（3）过N点作NP⊥MB，证明△BNP∽△BEO，由已知令y=0求出点E的坐标，利用线段比求出NP，BE的长．求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值．
试题解析：（1）在y=-x2+3中，令y=0，∴-x2+3=0，∴x1=2，x2=﹣2
∴A（﹣2，0），B（2，0），又点B在y=-x+b上，∴0=-+b，b=
∴BC的解析式为y=-x+．由，得，．
∴C(-1，)，B（2，0），∴AB=4，CD=，
∴×4×=．过点N作NP⊥MB于点P，∵EO⊥MB，∴NP∥EO
∴△BNP∽△BEO，∴．由直线y=-x+可得：E(0,)
∴在△BEO中，BO=2，EO=，则BE=，∴，∴NP=t，∴S=.t．（4﹣t）=﹣t2+t（0＜t＜4）=﹣（t﹣2）2+
∵此抛物线开口向下，
∴当t=2时，S最大=，∴当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为．
考点：二次函数综合题．
6．（1）y=-x2+3x+1．（2）点C的坐标为（5，）时，yCE最大=．（3）当点C的坐标为（4，9）或（6，10）时，线段BE与线段CF互相平分．
【解析】试题分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴两点之间的距离是减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据解方程组，可得B点坐标，根据平行四边形的判定与性质，可得关于关于x的方程，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标．
试题解析：（1）将x=0代入，得y=1．
∴点A（0，1）．
设二次函数的表达式为y=a（x-6）2+10，
将x=0，y=1代入，得a=-
∴y=-（x-6）2+10．
即y=-x2+3x+1．
（2）点C在抛物线上，点E在AB上，设C点坐标为（m，-m2+3m+1），E（m，m+1）
yCE=-m2+3m+1-m-1=-m2+m
x=5时，yCE最大=．
将m=5代入y=-x2+3m+1，得y=．
∴当点C的坐标为（5，）时，yCE最大=．
（3）
解，得x1=0，x2=10．
将x=10代入y=x+1=6，
∴BF=6．
∵线段BE与线段CF互相平分，
∴四边形BCEF是平行四边形．
∴CE=BF=6．
即-x2+x=6．
解，得x1=4，x2=6．
将x1=4，x2=6，分别代入y=-x2+3x+1．
得y1=9，y2=10．
∴当点C的坐标为（4，9）或（6，10）时，线段BE与线段CF互相平分．
考点：二次函数综合题.
7．（1）抛物线解析式为y=－x2＋2x＋3．（2）直线BC的解析式为y=－x+3
（3）当时，△BDC的面积最大值是
【解析】试题分析：解：（1）∵A（－1，0），C（0，3）在抛物线y=－x2＋bx＋c上，
∴
∴解得
∴抛物线解析式为y=－x2＋2x＋3．
（2）令－x2＋2x＋3=0，解得x1= －1，x2="3"
∴B（3，0）                            
设直线BC的解析式为y=kx+b′，则
解得：
∴直线BC的解析式为y=－x+3                 
（3）设P（a，3－a），则D（a，－a2＋2a＋3）
∴PD=（－a2＋2a＋3）－（3－a）=－a2＋3a （7分）
∴

∴当时，△BDC的面积最大值是
考点：一次函数二次函数等
点评：本题难度较大，主要考查学生对函数知识点及图像性质的掌握．为中考常考题型，要求学生培养数形结合思想多做训练，并灵活运用到考试中去．
8．（1）y＝－x2＋2x＋8；（2）（2，8）；（3）（1，4＋）或（1，4－）
【解析】试题分析：（1）由抛物线股过点A（4，0），B（－2，0）根据待定系数法求解即可；
（2）设M坐标为（a，－a 2＋2a＋8），先求得点C的坐标，再求得直线AC的解析式，过点M作x轴的垂线，交AC于N，则N的坐标为(a，－2a＋8)，根据△ACM的面积＝△MNC的面积＋△AMN的面积再结合二次函数的性质求解即可；
（3）分①当∠ACP＝90°时，②当∠CAP＝90°时，③当∠APC＝90°时，这三种情况分析即可.
（1）∵y＝－x2＋mx＋n与x轴分别交于点A（4，0），B（－2，0），
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8；
（2）设M坐标为（a，－a 2＋2a＋8），其中a＞0．
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C(0，8)．
∵A（4，0），C(0，8)．
∴直线AC的解析式为y＝－2x＋8．
过点M作x轴的垂线，交AC于N，则N的坐标为(a，－2a＋8)．
∴△ACM的面积＝△MNC的面积＋△AMN的面积＝－a 2＋4a＝－(a－2)2＋4
当a＝2，即M坐标为（2，8）时，△ACM的面积最大，最大面积为4；
（3）①当∠ACP＝90°时，点P的坐标为(1，9.5)；
②当∠CAP＝90°时，点P的坐标为（1，－1.5）；
③当∠APC＝90°时，点P的坐标为（1，4＋）或（1，4－）．
考点：二次函数的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
9．(1)，；
(2)；
(3)见解析

【分析】（1），当时，，求解即可；
（2）当时，，函数在轴下方，当时，函数在轴下方，则，且，即可求解；
（3）如果三点共线，则直线和直线对应一次函数表达式中的值相等，即可求解．
【解析】（1）解：，
当时，或，
即函数图象都过定点，
故答案为：，
（2）当时，，函数在轴下方，符合题意；
当时，函数在轴下方，则，且
即，解得，
综上：
（3）由题意可得：，
设，，
设过点的直线表达式为：
将点的坐标代入上式并解得：
将直线表达式与二次函数表达式联立并整理得：
，
则点，点，
如果三点共线，则直线和直线对应一次函数表达式中的值相等，

同理可得：
假设，则

整理得：
即：，
即：
故三点共线．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、韦达定理的运用等，其中（2）要注意分类求解，其中（3）用韦达定理处理复杂数据是本题的亮点.
10．(1)
(2)
(3)1或

【分析】（1）通过“过点代入”求抛物线的解析式；
（2）利用配方法（或直接用顶点公式）表示出点M纵坐标的式子，再求最大值；
（3）通过分类讨论，讨论“点P在y轴的正半轴还是负半轴”，从而得到另一个交点Q的位置，并根据点P，Q都在抛物线和直线上，通过“过点代入”求m的值
【解析】（1）解：将点代入中，得，

解得m=，
∴该抛物线的解析式为；
（2）∵，
∵点M的纵坐标为，
∴点M的纵坐标的最大值为；
（3）当时，. 抛物线的顶点坐标M为.
在直线上时，点P的坐标为. 在抛物线上时，点P的坐标为，
∴.
∵，
∴.
设直线与x轴交于点N，点N的坐标为，
∴，
∴.
①当时，，
∴，则点M在第四象限，
如图1，过点Q，P分别作y轴，x轴的平行线交于点H，
∴，
∴.

∵，
∴，
∴.
∵是直线l与抛物线的交点，
∴
解得；
②当时，，
∴，则点M在y轴的左侧，如图2.

同理可得：，
∴
解得；
综上，m的值为1或
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，准确计算是解题的关键．
11．(1)；
(2)；
(3)存在，，或．

【分析】（1）设二次函数的解析式为，化为一般式对照条件中的解析式可求出，从而得解；
（2）当A，P，C三点共线时，的长度最小，用待定系数法求出直线的解析式，求出抛物线对称轴，然后计算直线与抛物线对称轴交点坐标即可；
（3）先求出直线的解析式，然后设出点F、E的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分，分情况列等式计算即可．
【解析】（1）解：根据题意，设二次函数的解析式为，
化为一般式得，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴当A，P，C三点共线时，的长度最小，
此时点P坐标为直线AC与抛物线对称轴交点，
令，代入得，
∴点，
设直线AC的解析式为，将点A、C坐标代入得，
，
解得，
则直线AC的解析式为，
由题意可得，抛物线的对称轴为直线，
将代入得，
∴点P的坐标为；
（3）解： 由题可知点，点，
设直线的解析式为，将点，点代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点F在直线BP上，
则设点的坐标为，点
已知以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点，点，
当为对角线时，，解得，
点的坐标为；
当为对角线时，，解得
点的坐标为；
当为对角线时，，解得，
点的坐标为；
综上可得，在直线BP上存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
【点评】本题考查了求二次函数解析式、抛物线对称性、最短路径问题、平行四边形存在性问题，灵活运用相关知识，采用数形结合的思想是解题关键．
12．(1)
(2)
(3)，的最大面积为：

【分析】（1）采用待定系数法即可求解；
（2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解；
（3）设Q点坐标为：，且，，即有：，，，根据，可得，问题随之得解．
【解析】（1）代入、可得：
，
解得：，
即解析式为：；
（2）令，可得：，
解得：，，
∴B点坐标为：，
抛物线的对称抽为：，
即A、B两点关于直线对称，
抛物线的对称轴上有一动点P，如图，

∴，
∴，
即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，
如图，

∵，，
设直线的解析式为：，
∴有：，
∴，
∴直线的解析式为：，
∴当时，，
∴P点坐标为：；
（3）存在，理由如下：
令，可得：，
∴C点坐标为：，
∴，
∵，
∴，
如图，

设Q点坐标为：，且，，
即有：，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，
∴当时，有最大值，最大值为：，
∴，
∴Q点坐标为：，
即：Q点坐标为：，的最大面积为：．
【点评】本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
13．(1)当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大
(2)这两个交点的横坐标为-1，1
(3)9

【分析】（1）根据二次函数的图象的性质回答即可；
（2）根据＝，化简求解即可得到答案；
（3）根据二次函数的最值及点的坐标特征求解即可得到答案．
(1)
解：当a＝1时，，
∴对称轴，
∴当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大．
(2)
解：由题可知，
，
，
，
，
与的图象有两个交点，
，
这两个交点的横坐标为-1，1．
(3)
解：当时，有最小值，此时，
，
，
，即，
，
当时，有最小值，此时，
，
，
，
，
，
，
，
或，
，
．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，整体思想以及一元二次方程的解法，掌握二次函数点的坐标特征及最值是解题的关键．
14．(1)；
(2)点P的坐标是时，的面积最大，最大面积是；
(3)-1或5．

【分析】（1）先求出直线与y轴交点D的坐标，把点D和点A的坐标代入，求出t的值，即可得到抛物线的函数解析式；
（2）先求出点D和点E的坐标，在过P作轴，交直线于点K，设点P的坐标为，其中，则，表示出PK，求出PK的最大值，进一步求得点P的坐标；
（3）根据t的范围分三种情况讨论，即可解答．
（1）
解：在直线中，
令，得，
∴点D的坐标是（0，3），
将点坐标代入，
得
∴，
∴
∴，
所以，
即抛物线解析式为．
（2）
解：在直线中，令得，，
∴点C的坐标是（5，0）
直线交抛物线于D，E两点，联立方程组
解得，
∴点D的坐标为，点E的坐标为（，）
过P作轴，交直线于点K，如图1，

设，其中，则，

，
∵，
∴当时，．
设点D和点C到的距离分别是，，
则，
∴，
∴当时，，
把代入得，
∴此时点P的坐标是．
∴点P的坐标是时，的面积最大，最大面积是．
（3）
解：∵抛物线的对称轴为直线．
①如图2，若，则当时，y有最小值．
∴，
解得，
∵，
∴

②如图3，若，则当时，y有最小值．
此时，，不合题意，舍去．

③如图4，若，则当时，y有最小值．
∴，
解得，
∵，
∴．

综上所述，t的值为或5．
【点评】本题是二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握函数的性质是基础，数形结合的方法是关键，还用到了分类讨论的方法．
15．(1)二次函数的解析式为，直线BC的解析式为
(2)，
(3)点P的横坐标或或1或2

【分析】（1）根据待定系数法直接求二次函数和直线BC的解析式即可；
（2）过点P作y轴的平行线交线段BC于点Q，设，，则，，根据两点间距离公式得，则，再根据二次函数求最大值的方法求解即可；
（3）设，，由，和，可求m的值．
(1)
解：（1）设二次函数的解析式为，
把点C(0，-3)代入得，，解得，
∴，
设直线BC的解析式为，则，解得，∴．
∴二次函数的解析式为，直线BC的解析式为．
(2)
解：设，，
如图，过点P作y轴的平行线交线段BC于点Q，连接PC，PB，则，，
则，
∴，
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为，
当时，，则，．

(3)
解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
设，，
由（2）得，，
∴，即，
当时，解得；
当时，解得或．
∴点P的横坐标或或1或2．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数及二次函数的最大值问题，解题的关键是会用待定系数法求解析式，会用二次函数的性质求最大值．
16．(1)，点G的坐标为
(2)函数的最大值为4，最小值为0
(3)t的值为0或1

【分析】（1）代入A点坐标后求出解析式即可；
（2）根据顶点及二次函数增减性判断求值即可；
（3）根据对称轴是否在范围内分类讨论，结合二次函数增减性判断计算即可．
（1）
把代入      得：；

∴点G的坐标为
（2）
∵，
∴抛物线开口向下．
∵顶点G的坐标为，
当时，函数的最大值为4．
当，y随x的增大而增大
∴当时，y的最小值为0．
当，y随x的增大而减小
∴当，y的最小值为3
∴当时，函数的最大值为4，最小值为0．
（3）
①当时，，y随x的增大而增大
在时，
在时，
∴
∴
解得：（舍去）
②当时，顶点的横坐标在取值范围内，所以m的值为4，
（ⅰ）当时，在时，，
∴ ，
∴，
解得：（舍去）；
（ⅱ）当时，在时，，
∴  ∴，
解得：（舍去）．
③当时，y随x的增大而减小，
在时，，
在时，，
∴ ，
∴，
  解得：．
综上所述：t的值为0或1．
【点评】本题考查二次函数的性质，重点是带取值范围的二次函数的最值，一般情况下顶点出取最值，有取值范围时需要根据对称轴是否在范围内分类讨论，解题的关键是熟记二次函数的增减性．
17．（1）A（﹣3，0），B（2，0）；（2）①当h＝3时，△AEF的面积S最大；②存在直线y＝h使△BDM是等腰三角形，当h＝时，点D的坐标为（，）；当h＝时，点D的坐标为（2﹣，）．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+）2+，将C（0，6）代入抛物线即可求a，再令y=0从而可求出A，B两点的坐标；
（2）分别求出直线AC的解析式为y＝2x+6，直线BC的解析式为y＝﹣3x+6，①根据题意可得E（0，h），F（h﹣3，h），则S＝×h×（3﹣h），将解析式化为顶点式可求得△AEF的面积S最大；②先求出D（2﹣h，h），BM＝4，再分以下三种情况求解：当MB＝MD=4时，根据MD2＝16，结合勾股定理列出关于h的方程，求出h以及点D坐标；当MB＝DB=4时，根据DB2＝16，结合勾股定理列出关于h的方程，求出h以及点D坐标；当MD＝BD时，因为O为BM的中点，且y轴垂直平分BM，则点D在y轴上，此时不成立．
【解析】解：（1）抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为y＝a（x+）2+，
又C（0，6）在抛物线上，
∴6＝a+，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+6，
令y=0，得﹣x2﹣x+6=0，解得x1=-3，x2=2，
∴A（﹣3，0），B（2，0）；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A(-3，0)，点C(0，6)代入解析式得，
，解得，
∴直线AC的解析式为y＝2x+6，
同理可求得直线BC的解析式为y＝﹣3x+6，
①根据题意可得E（0，h），
又点F在直线AC上，且点F的纵坐标为h，∴点F的坐标为（h﹣3，h），
∴S＝×h×（3﹣h）＝﹣h2+h＝﹣（h﹣3）2+，
当h＝3时，△AEF的面积S最大；
②∵点D在直线BC上，且点D的纵坐标h，∴点D坐标为（2﹣h，h），
∵M的坐标为（﹣2，0），∴BM＝4，
当MB＝MD时，MD＝4，
∴MD2=+h2＝16，
∴h＝或h＝0，
∵0＜h＜6，
∴h＝，
∴D（，）；
当MB＝DB时，
h2+h2＝16，
∴h＝±，
∴h＝，
∴D（2﹣，）；
当MD＝BD时，
又因为O为BM的中点，且y轴垂直平分BM，则点D在y轴上，
∴此时不成立．
综上所述，存在直线y＝h使△BDM是等腰三角形，当h＝时，点D的坐标为（，）；当h＝时，点D的坐标为（2﹣，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图象及性质，一次函数解析式的求法，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识点，第（2）问中的第②小题利用等腰三角形的边的关系进行分类讨论求解是解题的关键．
18．（1）（2）（3）抛物线上存在四个点，使为直角三角形，符合条件的点的坐标分别为，，，
【分析】（1）将、 代入 即可得到关于参数、的方程组，解方程组求出、的值，进一步代入原解析式即可得解；
（2）作点关于对称轴的对称点，连接与对称轴交于点，则最小，求出的直线解析式为，即可求点；
（3）由点在抛物线上，可先设出点的坐标，再按照、、三种情况依据勾股定理列出方程求解即可．
【解析】解：（1）∵抛物线与交于点，
∴
∴
∴该抛物线的解析式为：
（2）作点关于对称轴的对称点，连接与对称轴交于点，则最小，如图：

∵
∴
∴设直线的解析式为
∵、在直线上
∴
∴
∴直线的解析式为
∴当时，
∴
∴当最小值，点的坐标为：
（3）∵点在抛物线上
∴设
①∵当时，
∴
∴
∴，，（舍去），（舍去）
∴，；
②∵当时，
∴
∴
∴，（舍去）
∴；
③∵当时，
∴
∴
∴，（舍去）
∴．
∴综上所述，抛物线上存在四个点，使为直角三角形，符合条件的点的坐标分别为，，，．
故答案是：（1）（2）（3）抛物线上存在四个点，使为直角三角形，符合条件的点的坐标分别为，，，
【点评】本题考查了求二次函数的解析式、求两线段之和的最小值和勾股定理，掌握用待定系数法求二次函数解析式、两点之间线段最短和勾股定理是解决此题的关键．
19．（1）y= -x2+x-2；（2）存在，当D（2，1），△DAC面积的最大值为4；（3）存在，符合条件的点P为P1（2，1）和P2（5，-2）
【分析】（1）由抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2)三点，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式；
（2）设D点的横坐标为t(0＜t＜4)，则D点的纵坐标为-t2+t-2，过D作y轴的平行线交AC于E．即可求得DE的长，继而可求得S△DCA=-(t-2)2+4，然后由二次函数的性质，即可求得点D的坐标及△DCA面积的最大值；
（3）设P(m，-m2+m-2)，则m＞1；然后分两种情况求解：Ⅰ．当1＜m＜4时，①当时，△APM∽△ACO，②当时，△APM∽△CAO；Ⅱ．当m＞4时，与Ⅰ同理即可求解．
【解析】∵该抛物线过点C(0，-2)，
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2．
将A(4，0)，B(1，0)代入y=ax2+bx-2，
得得： ，
∴该抛物线的解析式为y= -x2+x-2；
（2）存在．
如图1，

设D点的横坐标为t(0＜t＜4)，则D点的纵坐标为-t2+t-2．过D作y轴的平行线交AC于E．
设直线AC的解析式为：y=mx+n，
则，
解得：，
由题意可求得直线AC的解析式为y=x-2．
∴E点的坐标为(t，t-2)．
∴DE=t2+-2-(t-2)=-t2+2t．
∴S△DCA=S△CDE+S△ADE=×DE×OA=×(-t2+2t)×4= -t2+4t= -(t-2)2+4．
∴当t=2时，S最大=4．
∴当D(2，1)，△DAC面积的最大值为4；
（3）存在．
如图2，设P(m，m2+m-2)，则m＞1．

Ⅰ．当1＜m＜4时，
则AM=4-m，PM=m2+m-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当时，△APM∽△ACO，
∴，
∴4-m=2(m2+m-2)，
解得m1=2，m2=4（舍去），
∴P1（2，1）；
②当时，△APM∽△CAO，
∴，
∴2(4-m)=m2+m-2，
解得m3=4（舍去），m4=5（舍去），
∴当1＜m＜4时，P1(2，1)；
Ⅱ．当m＞4时，同理可求P2(5，-2)．
综上所述，符合条件的点P为P1(2，1)和P2(5，-2)．
【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
20．（1），；（2）①；②
【分析】（1）xy=6，当x=2时，y=3，当x=3时，y=2，即可求解；
（2）①根据C（0，-1）求得c，根据x=-1，函数对称轴为：x=-=-1，解得：b=-2，即可求解；
②由“相关点”的定义，可得直线MN的表达式，求出点M、N的坐标，将△PMN面积利用S=×PQ×（xM-xN）表示出来即可求解．
【解析】解:（1）xy=6，当x=2时，y=3，当x=3时，y=2，
故答案为：（2，3）和（3，2）；
（2）①∵抛物线的对称轴为直线，
解得，
抛物线与轴交于点，
，
抛物线的解析式为；
②由相关点定义得，点关于直线对称．
又直线与轴交于点，
直线的解析式为．
代入抛物线的解析式中，并整理，得
，
解得，，
两点坐标为和．
设点的横坐标为，则点，
过作轴交直线于点，

则点坐标为，


，
即当时，的面积最大，最大值为.
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解较为容易．