湖南省邵阳市洞口县2022-2023学年八年级下期期中数学试卷

这是一份湖南省邵阳市洞口县2022-2023学年八年级下期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了2尺C．3，5千米．等内容，欢迎下载使用。
2022～2023学年度第二学期期中质量检测
八年级数学
注意：
1.使用蓝色、黑色字迹的签字笔或钢笔在规定区域内作答，否则无效.
2.本试卷用时90分钟，全卷满分120分.
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）如果有意义，那么a满足的条件是（　　）
A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为（　　）

A．（1，0） B．（﹣5，0） C．（0，1） D．（﹣1，0）
5．（3分）如图，平行四边形ABCD中，CE垂直于AB，∠D＝53°，则∠BCE的大小是（　　）

A．53° B．43° C．47° D．37°
6．（3分）菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积等于（　　）
A．12 B．24 C．25 D．48
7．（3分）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（　　）

A．3尺 B．3.2尺 C．3.6尺 D．4尺
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为（　　）

A． B． C． D．无法确定
9．（3分）如图，已知点A（0，8），B（0，﹣2），E（0，5），F（﹣5，0），C为直线EF上一动点，则▱ACBD的对角线CD的最小值是（　　）

A． B．4 C．5 D．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝8，AB＝6，点E为CD上一点，且CE：DE＝1：2，点C关于AD的对称点为F，连接BE、BF、EF，则△BEF的面积＝（　　）

A．24 B．25 C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）计算：＝　 　．
12．（3分）若最简二次根式与能合并成一项，则a＝　 　．
13．（3分）若|a﹣2|+＝0，则ab＝　 　．
14．（3分）若平行四边形相邻的两边长分别是cm和cm，其周长为　 　cm．
15．（3分）如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝6，则PD＝　 　．

16．（3分）如图梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根C的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′①等于1米②大于1米③小于1米．其中正确结论序号是　 　．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（1）4﹣﹣（﹣4）
（2）（2+5）（2﹣5）
18．（6分）如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，求四边形ABCD的面积．

19．（6分）如图，在一条东四走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，道路AC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路CH，已知千米，CH＝2千米，HB＝1千米．
（1）CH是否为村庄C到河边最近的道路，请通过计算加以说明；
（2）已知新的取水点H与原取水点A相距1.5千米，求新路CH比原路CA少多少千米．

20．（8分）如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF＝5．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）求AB的长．

21．（8分）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．

22．（9分）如图，已知过点B（1，0）的直线l1交y轴于点C，且与直线l2：y＝2x+4相交于点P（﹣1，a）．
（1）求直线l1的解析式；
（2）直线l2交x轴于点A，求四边形PAOC的面积．

23．（9分）某店销售甲、乙两种特价商品，两种商品的进价与售价如表所示：

甲商品
乙商品
进价（元/件）
35
5
售价（元/件）
45
8
该店计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售，设购进甲商品x件，甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润最大？最大利润是多少？
24．（10分）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：

（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是　 　．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长．

25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB﹣BA运动，到点A停止．在点P运动的同时，点Q从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD﹣DC运动．当点P回到点A停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示线段AP的长．
（2）以PQ为边作矩形PQMN，使点M与点A在PQ所在直线的两侧，且PQ＝2MQ．
①当点Q在边AD上，且点M落在CD上时，求t的值．
②当点M在矩形ABCD内部时，直接写出t的取值范围．
（3）点E在边AB上，且AE＝2，在线段PQ上只存在一点F，使∠AFE＝90°，直接写出t的取值范围．








参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、＝＝2，不是最简二次根式；
B、是最简二次根式；
C、＝|a|，不是最简二次根式；
D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：B．
2． 解：由题意得，﹣a≥0，解得a≤0．
故选：B．
3． 解：A．＝2，故此选项不合题意；
B．＝，故此选项不合题意；
C．3×2＝6，故此选项不合题意；
D．4÷＝2，故此选项符合题意．
故选：D．
4． 解：由题意得，OB＝3，OA＝4，
∴AB＝＝5，
则AC＝5，
∴OC＝AC﹣OA＝1，
∴点C坐标为（﹣1，0），
故选：D．
5． 解：∵ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，
∵∠D＝53°，
∴∠B＝53°，
又∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
再根据三角形的内角和是180°，
∠BCE＝180°﹣∠B﹣∠BEC，
＝180°﹣53°﹣90°，
＝37°，
∴∠BCE的大小是37°．
故选：D．
6． 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×8×6＝24，
故选：B．
7． 解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2，
解得：x＝3.2，
∴折断处离地面的高度为3.2尺，
故选：B．
8． 解：由题意可知，DE∥BC，BC＝3，DE＝1，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠C＝∠AED＝30°，
∴AC＝2AB，AE＝2AD，
在Rt△ABC中，，
∴，
在Rt△ADE中，，
∴，
∴．
故选：C．
9． 解：设直线EF的解析式为y＝kx+b，
∵E（0，5），F（﹣5，0），
∴，解得，
∴直线EF的解析式为y＝x+5，
设C（x，x+5），
∵四边形ACBD是平行四边形，A（0，8），B（0，﹣2），
∴D（﹣x，1﹣x），
∴CD2＝（2x）2+（1﹣x﹣x﹣5）2＝8（x+1）2+8，
∴CD2的最小值是8，
∴CD的最小值是＝2．
故选：A．
10． 解：连接CF，BD，过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于点M，过点D作DH⊥BC于点H，

则：∠FMC＝90°，∠DHC＝90°，
在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝8，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，∠BCD＝120°，AD∥BC，
∴∠DCH＝60°，
∴∠CDH＝30°，
∴CH＝，
∴S△BCD＝×8×3，
∵CE：DE＝1：2，CD＝6，
∴CE＝2，DE＝4，
∴CE：CD＝1：3，
∴S△BCE＝，
∵点C关于AD的对称点为F，设AD，CF交于点N，
∴CF⊥AD，CN＝FN＝CF，
∵AD∥BC，
∴CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝30°，
∴DN＝，
∴CF＝2CN＝6，
∴FM＝，
∴S△BCF＝，S△ECF＝，
∴S△BEF＝S△BCF+S△ECF﹣S△BCE＝24；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：∵32＝9，
∴＝3．
故答案为：3．
12． 解：＝2，
由最简二次根式与能合并成一项，得
a+1＝2．
解得a＝1．
故答案为：1．
13． 解：∵|a﹣2|+＝0，
∴a﹣2＝0，a+b＝0，
解得：a＝2，b＝﹣2，
故ab＝2×（﹣2）＝﹣4．
故答案为：﹣4．
14． 解：平行四边形的周长＝2（）＝2（2+5）＝14cm．
故本题答案为：14．
15． 解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP是∠AOB的角平分线，PD⊥OA
∴PE＝PD，
∵OP是∠AOB的角平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOP＝∠BOP＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠OPC＝∠AOP，
∴∠BOP＝∠OPC＝30°，
∴PC＝OC＝6，∠PCE＝60°．
∴PE＝OC•sin60°＝3．
∴PE＝PD＝3
故答案为：3．

16． 解：由勾股定理得：梯子AB＝，CB′＝．
∴BB′＝7﹣＜1，故选③．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：（1）原式＝4﹣2﹣3+4
＝+2；
（2）原式＝（2）2﹣52
＝4×7﹣25
＝3．
18． 解：如图，连接BD，

在Rt△ABD中，，AB＝3，AD＝4，
根据勾股定理得，，
在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，
∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝＝＝36．
故答案为：36．

19． 解：（1）CH为村庄C到河边最近的道路．
理由如下：∵CH＝2，HB＝1，CB＝，
∴CH2+HB2＝CB2，
∴△BCH为直角三角形，∠BHC＝90°，
∴CH⊥AB，
∴CH为村庄C到河边最近的道路；
（2）在Rt△ACH中，∵AH＝1.5千米，CH＝2千米，
∴AC＝＝2.5（千米），
∵AC﹣CH＝2.5﹣2＝0.5（千米），
∴新路CH比原路CA少0.5千米．
20． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，
∵AB＝CD，
∴CD＝DE，
∵EF⊥BF，
∴∠CFE＝90°，
∴DF＝CE＝CD＝5，
∴AB＝5．
21． 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC、AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，
∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠BDC，
∴∠EBD＝∠FDB，
∴BE∥DF，
又∵AD∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠EDB＝90°﹣∠ABD＝30°，
∴∠EDB＝∠EBD＝30°，
∴EB＝ED，
又∵四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．
22． 解：（1）∵点P（﹣1，a）在直线l2：y＝2x+4上，
∴2×（﹣1）+4＝a，即a＝2，
则P的坐标为（﹣1，2），
设直线l1的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
则，
解得：．
∴l1的解析式为：y＝﹣x+1；
（2）∵直线l1与y轴相交于点C，
∴C的坐标为（0，1），
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴A点的坐标为（﹣2，0），则AB＝3，
而S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC，
∴S四边形PAOC＝×3×2﹣×1×1＝．
23． 解：（1）由题意可得，
y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300，
即y与x之间的函数关系式是y＝7x+300；
（2）由（1）知：y＝7x+300，
∴y随x的增大而增大，
∵购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，
∴100﹣x≥3x，
解得x≤25，
∴当x＝25时，y取得最大值，此时y＝475，100﹣x＝75，
答：当购进甲种商品25件、乙种商品75件时，可使得甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润最大，最大利润是475元．
24． 解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，

∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5．

（2）结论：AD＝AB+DC．
理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，

∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FEC（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD．

（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，

∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AB∥CF，
∴∠BAE＝∠G，
在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC（AAS），
∴AB＝GC，
∵∠EDF＝∠BAE，
∴∠FDG＝∠G，
∴FD＝FG，
∴AB＝DF+CF，
∵AB＝5，CF＝2，
∴DF＝AB﹣CF＝3．
25． 解：（1）∵点P从点A出发以每秒2个单位的速度运动，
∴当点P与点B重合时，则2t＝6，解得t＝3；
当点P返回到点A时，则2t＝6×2，解得t＝6，
当0＜t≤3时，AP＝2t，
当3＜t＜6时，AP＝12﹣2t．
（2）①点Q在边AD上，且点M落在CD上，如图1，
∵四边形ABCD和四边形PQMN都是矩形，DQ＝2﹣t，PQ＝2M，
∴∠D＝∠A＝∠PQM＝90°，
∴∠DQM＝∠APQ＝90°﹣∠AQP，
∴△DQM∽△APQ，
∴＝＝＝，，
∴DQ＝AP，
∴2﹣t＝×2t，
解得t＝1.
②当0＜t≤2时，如图1，由①得，当点M在矩形ABCD内部时，0＜t＜1，
当2＜t≤3时，如图2，此时点M不在矩形ABCD内部，
当3＜t≤6时，如图3，点M在CD上，则t﹣2＝12﹣2t，解得t＝；
如图4，点P与点A重合，则t＝6，QD＝6﹣2＝4，
作MG⊥CD于点G，则∠QGM＝∠D＝∠AQM＝90°，
∴∠MQG＝∠QAD＝90°﹣∠AQD，
∴△MQG∽△QAD，
∴＝＝，
∴MG＝QD＝×4＝2，
∴点M恰好落在AB边上，
∴当点M在矩形ABCD内部时，＜t＜6，
综上所述，当点M在矩形ABCD内部时，0＜t＜1或＜t＜6．
（3）以AE为直径作⊙O，则点Q在⊙O外，
当0＜t≤2时，如图5，点P在⊙内或点P与点E重合，则线段PQ上只存在一点F，使∠AFE＝90°，
∴0＜2t≤2，解得0＜t≤1；
如图6，PQ与⊙O相切于F，此时线段PQ上只存在一点F，使∠AFE＝90°，
连接OF，则PQ⊥OF，OF＝OA＝OE＝1，
∵∠BAD＝90°，AQ＝t，AP＝2t，
∴PQ＝＝＝t，
∵∠OFP＝90°，
∴＝＝tan∠APQ＝＝，
∴OP＝OF，
∴2t﹣1＝，
解得t＝，
当2＜t≤3时，如图2，PQ与⊙O没有公共点，此时线段PQ上不存在一点F，使∠AFE＝90°；
当3＜t≤6时，如图7，点P在⊙O内或点P与点A重合，则线段PQ上只存在一点F，使∠AFE＝90°，
∴0≤12﹣2t＜2，解得5＜t≤6，
综上所述，t的取值范围是0＜t≤1或t＝或5＜t≤6．