2022-2023学年广东省深圳市侨外、翠园、盐外等六校联考七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省深圳市侨外、翠园、盐外等六校联考七年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列计算正确的是( )
A. a+2a=3a2B. a6÷a3=a2C. (a2)3=a5D. a3⋅a2=a5
2. 据悉，中国工程师制造出了一种集光学传感器和信号处理器于一芯的光纤陀螺仪，它具有246纳米独立自主成熟制程.若1纳米=10−9米，则246纳米用科学记数法表示为米．( )
A. B. C. D.
3. 如图，∠1=80°，a/​/b，则∠2的度数是( )
A. 100°
B. 70°
C. 80°
D. 60°
4. 如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是：过点C作CD⊥l点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是( )
A. 三角形的稳定性B. 两点之间线段最短C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短
5. 以下说法错误的是( )
A. 两直线平行，内错角相等B. 两直线平行，同旁内角相等
C. 两直线平行，同位角相等D. 平行于同一直线的两条直线平行
6. 如图，已知∠BAC=∠DAC，则下列条件中不一定能使△ABC≌△ADC的是( )
A. ∠B=∠D
B. ∠ACB=∠ACD
C. BC=DC
D. AB=AD
7. 深圳的公交车数量位列全国之首.已知某公交小巴每月的支出费用为5000元，每月的乘车人数x(人)与每月利润(每月利润=每月票款收入−每月支出费用)y(元)的变化关系如表所示(每位乘客的票价固定不变).以下说法不正确的是( )
A. 在变化过程中，自变量是每月乘车人数
B. 在变化过程中，每月的利润是因变量
C. 若当月乘客达到2600人时，该公交车会亏损
D. 若当月乘客达到3500人时，该公交车盈利2000元．
8. 如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP/​/OB，作图痕迹中，弧FG是( )
A. 以点C为圆心、OD的长为半径的弧B. 以点C为圆心、DM的长为半径的弧
C. 以点E为圆心、DM的长为半径的弧D. 以点E为圆心、OD的长为半径的弧
9. 已知：a−b=2，ab=3，则(a+b)2=( )
A. 16B. 14C. 12D. 10
10. 如图，△ABC中，BE是AC边上的中线，点D为BC边上一点，且BD=3CD，AD、BE交于点G，且S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是( )
A. 50
B. 40
C. 30
D. 20
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11. 化简：(2a2b)3=______．
12. 等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的周长为______ ．
13. 如图，在△ABC中，∠A=100°，△ABC的角平分线BD、CE交于点O，则∠BOC= ______ ．
14. 形如acbd的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为acbd=ad−bc，则中x的值是______ ．
15. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A点出发沿A−C−B路径运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B−C−A路径运动，终点为A点.点P和点Q分别以1cm/s和3cm/s的速度同时开始运动，两点到达相应的终点时分别停止运动.若分别过点P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F.当△PEC与△QFC全等时，点P的运动时间t为______ s.
三、解答题（本大题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题分)
计算：
；
；
；
(4)利用乘法公式计算：．
17. (本小题分)
先化简，再求值：，其中a=−1，b=2．
18. (本小题分)
如图，在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成：(作图要求用2B铅笔、直尺在答题卡上完成，确定后，再用黑色签字笔描黑；)
画图操作：
(1)过点A作直线BC的平行线AM；
(2)过点B作直线BE⊥AB，交直线AM于点E；
(3)作射线CF，交线段AB于点F，使得CF平分△ABC的面积；
计算探究：
(4)点A到BC的距离是______ ；
(5)请找出图中的一对全等三角形是：______ ．
19. (本小题分)
自行车骑行爱好者小轩为备战中国国际自行车公开赛，积极训练.以下图象是他最近一次在深圳湾体育公园骑车训练，离家的距离s(km)与所用时间t(h)之间的关系.请根据图象回答下列问题：
(1)途中小轩共休息了______ 小时；
(2)小轩第一次休息后，骑行速度恢复到第1小时的速度，请求出目的地离家的距离a是多少km？
(3)小轩第二次休息后返回家时，速度和到达目的地前的最快车速相同，则全程最快车速是______ km/h；
(4)已知小轩是早上7点离开家的，请通过计算，求出小轩到家的时间．
20. (本小题分)
如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D.试说明：AC/​/DF．
解：∵∠1=∠2(已知)∠1=∠3( ______ )
∴∠2=∠3(等量代换)
∴ ______ /​/ ______ (______ )
∴∠C=∠ABD(______ )
又∵∠C=∠D(已知)
∴∠D=∠ABD(______ )
∴AC/​/DF(______ )
21. (本小题分)
如图1，有足够多的1号大正方形、2号小正方形、3号长方形的卡片.某数学课后活动小组的两名成员，分别选取了1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，拼成了如图2的一个不重叠无缝隙长方形．

【观察推理】观察图2，小军、小芳分别用长方形面积公式、拼图所用三种卡片数量得出了图2的面积的表示方法，因此得出了含有a、b的一个等式：______ ．
【尝试探究】小军想设计一个长为(3a+b)、宽为(a+3b)的长方形，小芳很快告知了小军所需的1号、2号、3号卡片的张数.请你用所学知识推算出1号、2号、3号卡片的数量．
【综合应用】小芳提议：在1号卡片的四个角上各裁去一个小正方形卡片(剪去部分不再使用)，再沿虚线折叠、粘合(如图3)，能制作出一个无盖长方体盒子.若a=3分米，小正方形的边长记为c分米(c的值可变化)，无盖长方体的体积记为V(分米 ​3).
①无盖长方体的体积V= ______ (用含c的代数式表示)．
②两人把c的多种情况代入上式，发现当c=0.4时，V= ______ 分米 ​3，当c=1时，V= ______ 分米；他们找老师帮绘制出了V与c的关系图象(如图4)，最终证实了当时，V最大，最大值= ______ 分米 ​3．
③借助以上信息，可得V随着c的变化而变化的情况是：______ ．
22. (本小题分)
【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理.如图1，可以表述为：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
【新知应用】已知：在△ABC中，AB=AC，若∠A=110°，则∠B= ______ ；若∠B=70°，则∠A= ______ ．

【尝试探究】如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，若连接CA，则CA平分∠BCD．
某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE=BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明.请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．
【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠B+∠AED=180°，连接CA，CA平分∠BCD吗？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
解：A.根据合并同类项法则，a+2a=3a，那么A错误，故A不符合题意．
B.根据同底数幂的除法，a6÷a3=a3，那么B错误，故B不符合题意．
C.根据幂的乘方，(a2)3=a6，那么C错误，故C不符合题意．
D.根据同底数幂的乘法，a3⋅a2=a5，那么D正确，故D符合题意．
故选：D．
根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方、同底数幂的乘法法则解决此题．
本题主要考查合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
2.【答案】B
解：246纳米米米，
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】C
解：∵∠1=80°，a/​/b，
∴∠3=∠1=80°，
∴∠2=∠3=80°．
故选C．
由a/​/b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由对顶角相等，即可求得∠2的度数．
此题考查了平行线的性质．注意掌握两直线平行，同位角相等定理与数形结合思想的应用是解此题的关键．
4.【答案】D
解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是：垂线段最短．
故选：D．
根据垂线段最短解答即可．
本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段性质是解答本题的关键．
5.【答案】B
解：A、两直线平行，内错角相等，说法正确，故选项不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，说法错误，故选项符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，说法正确，故选项不符合题意；
D、平行于同一直线的两条直线平行，说法正确，故选项不符合题意；
故选：B．
根据平行线的性质定理和判定定理分析解答即可．
本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理和判定定理．
6.【答案】C
解：有条件AC=AC，∠BAC=∠DAC，
A、再加上∠B=∠D可利用AAS证明△ABC≌△ADC，故A不合题意；
B、再加上条件∠ACB=∠ACD可利用ASA证明△ABC≌△ADC，故此B不合题意；
C、再加上条件CB=BC不能证明△ABC≌△ADC，故C项符合题意；
D、再加上条件AB=AD可利用SAS证明△ABC≌△ADC，故D不合题意；
故选：C．
根据题目中的已知条件AC=AC，∠BAC=∠DAC，再结合题目中所给选项中的条件，利用全等三角形的判定定理进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7.【答案】C
解：A.由表格知，每月的利润y随着每月的乘车的人数x发生变化，自变量是每月乘车人数，故A正确，那么A不符合题意．
B.由表格知，每月的利润y随着每月的乘车的人数x发生变化，因变量是每月利润，故B正确，那么B不符合题意．
C.由表格分析知，当每月乘客的达到2500人时，y=0；当每月乘客达到2600人，y>0，该公交车会盈利，故C不正确，那么C符合题意．
D.由表格分析知，当每月乘客达到3500人时，该公交车利润为2000元，故D正确，那么D不符合题意．
故选：C．
根据常量与变量的定义解决此题．
本题主要考查常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解决本题的关键．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查作图−复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的基本步骤．
根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断．
【解答】
解：由作图可知作图步骤为：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧DM，分别交OA，OB于M，D．
②以点C为圆心，以OM的长为半径画弧EN，交OA于E．
③以点E为圆心，以DM的长为半径画弧FG，交弧EN于N．
④过点N作射线CP．
根据同位角相等两直线平行，可得CP/​/OB．
故选C．
9.【答案】A
解：∵a−b=2，ab=3，
．
故选：A．
利用完全平方公式的变形得到：(a+b)2=(a−b)2+4ab，将相关数值代入进行求值即可．
本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形是解题的关键．
10.【答案】B
解：∵BE为△ABC的中线，
，


=10，
∵BD=3DC，
∴S△ABD=3S△ADC
=3×10
=30，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD
=30+10
=40，
即△ABC的面积是40．
故选：B．
首先根据三角形的中位线把三角形分成面积相同的两部分，可得S△AGE=S△GEC=3，进而求出S△ACD；然后根据BD=3CD，可得S△ABD=3S△ADC，据此求出S△ABD；最后把△ABD和△ACD的面积求和，求出△ABC的面积是多少即可．
此题主要考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)三角形的中位线把三角形分成面积相同的两部分．(2)三角形的高一定时，面积和底成正比．
11.【答案】8a6b3
解：(2a2b)3=8a6b3，
故答案为：8a6b3．
根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘计算．
此题主要考查了积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
12.【答案】10
解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长=2+4+4=10，
综上所述，三角形的周长为10．
故答案为：10．
分2是腰长与底边两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
13.【答案】140°
解：∵BD平分∠ABC，则∠OBC=12∠ABC，
CE平分∠ACB，则∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A)=12(180°−100°)=40°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°−40°=140°．
故答案为：140°．
根据三角形内角和定理和角平分线的定义解答．
本题考查三角形的内角和，正确记忆内角和的知识是解题关键．
14.【答案】2
解：由上述运算可知，
化简得6x−12=0，
解得：x=2．
故答案为：2．
根据题中已知条件可知，用适当的方法进行解答．
本题考查解一元一次方程，多项式乘多项式，掌握运算法则是解题的关键．
15.【答案】1或72或12
解：设点P运动t秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC=(6−t)cm，，

∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC=∠QFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，
∴∠EPC=∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC=CQ，
即6−t=8−3t，
∴t=1；
②如图2，P在BC上，Q在AC上，则，，

由①知：PC=CQ，
∴t−6=3t−8，
∴t=1；
因为此时t−6<0，所以此种情况不符合题意；
③当P、Q都在AC上时，如图3，

，
∴t=72；
④当Q到A点停止，P在BC上时，
AC=PC，t−6=6时，解得t=12．
⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3，P和Q都在BC上的情况不存在；
综上，点P运动1或72或12秒时，△PEC与△QFC全等．
故答案为：1或72或12．
根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出CP=CQ，代入得出关于t的方程，解方程即可．
本题主要考查全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
16.【答案】解：
=9+1−2
=8；


；




=−1×(−8)
=8；




=4．
【解析】(1)先算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再算加减即可；
(2)利用单项式乘多项式的法则进行运算即可；
(3)利用积的乘方的法则进行运算即可；
(4)利用平方差公式进行运算较简便．
本题主要考查平方差公式，实数的运算，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.【答案】解：原式
=a2+b2．
当a=−1，b=2时，原式=1+4=5．
【解析】首先计算除法与乘法，然后合并同类项即可把代数式化简，最后代入数值计算即可．
本题考查了整式的混合运算，关键是对代数式进行化简．特别要注意符号的变化．
18.【答案】2 ≌△BEF，△AEF≌△BCF，△ACE≌△BEC，△ABC≌△BAE，(写一个即可)
解：如图：

(1)AM即为所求；
(2)BE即为所求；
(3)CF即为所求；
(4)点A到BC的距离是2，
故答案为：2；
(5)全等三角形有：≌△BEF，△AEF≌△BCF，△ACE≌△BEC，△ABC≌△BAE，
故答案为：≌△BEF，△AEF≌△BCF，△ACE≌△BEC，△ABC≌△BAE，(写一个即可)．
(1)根据网格线的特点作图；
(2)根据网格线的特点作图；
(3)根据网格线的特点作中线即可；
(4)根据点到直线的距离求解；
(5)根据三角形全等的判断求解．
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格的特征是解题的关键．
19.【答案】0.5 20
解：(1)途中小轩共休息了：1.5−1=0.5(小时)．
故答案为：0.5；
，
答：目的地离家的距离a是40km；
(3)全程最快车速是：，
故答案为：20；
分钟)，
∴轩到家的时间是早上七点零六分．
(1)根据图象可以直接看出纵坐标表示离家的距离，从横坐标中找到时间点，即可得出答案；
(2)根据“速度=路程÷时间”可得第1小时的速度，进而得出目的地离家的距离a；
(3)根据“速度=路程÷时间”解答即可；
(4)根据返回时所走路程和返回时的平均速度可得b的值，进而得出小轩到家的时间．
此题主要考查了看函数图象，解决本题的关键是读懂图意，然后根据图象信息找到所需要的数量关系，利用数量关系即可解决问题．
20.【答案】对顶角相等 EC DB 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 等量代换 内错角相等，两直线平行
解：∵∠1=∠2(已知)∠1=∠3(对顶角相等)，
∴∠2=∠3(等量代换)，
∴EC/​/DB(同位角相等，两直线平行)，
∴∠C=∠ABD(两直线平行，同位角相等)，
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠D=∠ABD(等量代换)，
∴AC/​/DF(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：对顶角相等；EC；DB；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
根据对顶角相等，平行线的性质与判定，完成填空即可．
本题考查了对顶角相等，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
21.【答案】 1 2 当c由0增大到12时，V由0增大到2；当c由12增大到32时，V由2减小到0
解：观察推理：由图2可知，图形面积．
故笞案为：；
尝试探究：
，
∴需要1号3张、2号卡片3张、3号卡片10张；
综合应用：
①由题意可知，该无盖长方体的长、宽、高分别为、、c，
则其体积为；
②当c=0.4时，；
当c=1时，；
当时，最大值；
③借助以上信息可知，当c由0增大到12时，V由0增大到2；当c由12增大到32时，V由2减小到0．
故答案为：；，1，2；③当c由0增大到12时，V由0增大到2；当c由12增大到32时，V由2减小到0．
观察推理：根据长方形面积公式即可获得答案；
尝试探究：根据多项式乘以多项式法则，可得(3a+b)(a+3b)=3a2+10ab+3b2，即可获得答案；
综合应用：①根据长方体体积公式，即可获得答案；
②由题意可知a=3，分别将c=0.4、c=1、c=a代入求解即可获得答案；
③结合题中信息分析V随着c的变化而变化的情况即可．
本题主要考查了动点问题的函数图象，列代数式以及代数式求值，整式的运算，理解题意并正确列出代数式是解题关键．
22.【答案】35° 40°
【解析】【新知应用】解：在△ABC中，
∵AB=AC，∠A=110°，
∴∠B=∠C=12(180°−110°)=35°，
若∠B=70°，
则，
故答案为：35°，40°；
【尝试探究】证明：如图2，延长CD到点E，使得DE=BC，连接AE，
∴∠ADC+∠ADE=180°，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=∠AED，

在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ACB=∠D，AC=AD，
∴∠ACD=∠D，
∴∠ACD=∠ACB，
∴CA平分∠BCD；
【拓展应用】解：CA平分∠BCD，理由如下：
如图3，延长DE到点F，使得EF=BC，连接AF，
，
，
∴∠B=∠AEF，
∵AB=AE，
∴△ABC≌△AEF(SAS)，
∴AC=AF，∠ACB=∠F，
∵BC+DE=CD，BC=EF，
∴CD=FD，
在△ACD和△AFD中，
，
∴△ACD≌△AFD(SSS)，
∴∠ACD=∠F，
∴∠ACD=∠ACB，
∴AC平分∠BCD．
【新知应用】根据等腰三角形的性质即可解答；
【尝试探究】证明△ABC≌△ADE(SAS)，得∠ACB=∠D，AC=AD，利用等腰三角形的性质可以证明结论；
【拓展应用】如图3，延长DE到点F，使得EF=BC，连接AF，证明△ABC≌△AEF(SAS)，再证明△ACD≌△AFD(SSS)，得∠ACD=∠F，进而可以得结论．
本题属于四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△ADE．
x(人)
…
1000
2000
3000
4000
5000
…
y(元)
…
−3000
−1000
1000
3000
5000
…