2022-2023学年广东省深圳市龙岗区翠枫学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省深圳市龙岗区翠枫学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )
A. (x−3)(x+1)=x2−2x−3B. x2−xy=x(x−y)
C. ab+bc+d=b(a+c)+dD. 6x2y=3xy⋅2x
3.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
4.下列各式中，正确的是( )
A. x6x2=x3B. x+mx+n=mnC. x2−1x+1=x−1D. x+yx−y=−1
5.已知甲、乙码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时(a>b)，则该船一次往返两个码头所需的时间为( )
A. 2sa+b时B. 2sa−b时
C. (sa−sb)时D. (sa+b+sa−b)时
6.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中( )
A. 两锐角都大于45°B. 有一个锐角小于45°
C. 有一个锐角大于45°D. 两锐角都小于45°
7.已知点P(2x+6,x−4)在第四象限，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的为( )
A. B.
C. D.
8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与边AC，BC分别交于D，E两点，连接BD，AE，若AE=3，则△BCD的周长为( )
A. 6+4 3
B. 6+2 3
C. 3+4 3
D. 3+2 3
9.如图，函数y1=−2x与y2=ax+3的图象相交于点A(m,2)，则关于x的不等式ax+3>−2x>0的解集是( )
A. x>−1
B. −1C. x<−1
D. x>2
10.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F.小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为( )
A. 135°B. 150°C. 120°D. 110°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：4m2−16n2=______．
12.某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打______折.
13.已知a+b=4，ab=2，则ba+ab= ______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若CD=1，则BC= ______．
15.如图，边长为6的等边三角形ABC中，D是BC上一点且BD=4，CQ为△ABC的外角∠ACP的角平分线，将△ABD沿AD翻折得到△AED，DE交CQ于点F，则CF的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.解方程．
(1)5x−1=12x+1．
(2)1x−2+2=1−x2−x．
四、解答题：本题共6小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
因式分解：
(1)2(m−n)2−m(n−m)；
(2)−4xy2+4x2y+y3．
18.(本小题7分)
先化简，再求值：a2−b2a÷(a+2ab+b2a)，其中a= 2+1，b= 2−1．
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−2,2)，B(−1,4)，C(−4,5)，请解答下列问题：
(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(1,0)作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标；
(2)将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2；
(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标．
20.(本小题8分)
开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．
(1)请问购进了A种笔记本多少本？
(2)在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
21.(本小题9分)
问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组−1<−2|x|+5≤3的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：
首先令y=−2|x|+5，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究．
如表y与x的几组对应值：
(1)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数y=−2|x|+5的图象，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是______；
(2)若A(m,n)，B(6,n)为该函数图象上不同的两点，则m= ______；
(3)当−1<−2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围是______；
(4)定义min(x,y)=x(x≤y)y(x>y)，例如min(2,3)=2，min(a2,a2−1)=a2−1，则函数y=min(−2|x|+5,12x)的最大值为______．
22.(本小题9分)
【问题发现】
(1)如图1所示，△ABC和△ADE均为正三角形，B、D、E三点共线.猜想线段BD、CE之间的数量关系为 ；∠BEC= °；
【类比探究】
(2)如图2所示，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，B、D、E三点共线，线段BE、AC交于点F.此时，线段BD、CE之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出∠BEC的度数；
【拓展延伸】
(3)如图3所示，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=8，DE为△ABC的中位线，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，当DE所在直线经过点B时，请直接写出CE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
C.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：B．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形定义．
2.【答案】B
【解析】解：A.(x−3)(x+1)=x2−2x−3，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.x2−xy=x(x−y)，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.ab+bc+d=b(a+c)+d，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.6x2y=3xy⋅2x，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义和方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3.【答案】C
【解析】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°⋅(n−2)=3×360°
解得n=8．
故选：C．
根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
4.【答案】C
【解析】解：∵x6x2=x4，故选项A错误，
∵当x≠0时，x+mx+n≠mn，故选项B错误，
∵x2−1x+1=(x+1)(x−1)x+1=x−1，故选项C正确，
∵x+yx−y不能化简，故选项D错误，
故选：C．
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查分式的基本性质，解答本题的关键是可以对各个选项中的式子进行化简．
5.【答案】D
【解析】解：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度−水流速度．
故船往返一次所用的时间为：(sa+b+sa−b)h．
故答案为：D．
根据往返一次所用的时间=从两地顺水行驶一次用的时间+逆水行驶一次用的时间得出即可．
此题主要考查了代数式，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意顺流速度与逆流速度的求法．
6.【答案】A
【解析】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°，
故选：A．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
7.【答案】C
【解析】解：∵点P(2x+6,x−4)在第四象限，
∴2x+6>0x−4<0，
解得−3解集在数轴上的表示为：
故选：C．
根据第四象限内点的坐标特点列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，并在数轴上表示出来即可．
本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
8.【答案】A
【解析】解：根据作图过程可知：MN是垂直平分BC，
∴DE⊥BC，点E是BC的中点，CD=BD，
∵∠BAC=90°，
∴BE=CE=AE=3，
∴BC=2CE=6，
在Rt△CDE中，CD=CEcs30∘=2 3，
∴BD=CD=2 3，
∴△BCD的周长为BD+CD+BC=6+4 3，
故选：A．
根据作图过程可得MN是垂直平分BC，然后根据含30度角的直角三角形可得CD的长，进而可得△BCD的周长．
本题考查了作图−基本作图，线段的垂直平分线性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
9.【答案】B
【解析】解：∵函数y1=−2x与y2=ax+3的图象相交于点A(m,2)，
∴2=−2m，
解得：m=−1，
∴关于x的不等式ax+3>−2x>0的解集是：−1故选：B．
直接利用一次函数的性质得出m的值，再利用函数图象得出不等式ax+3>−2x>0的解集．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出m的值．
10.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC，
∴∠FAB=12∠CAB,∠FBA=12∠CBA，
∴∠FAB+∠FBA=12(∠CAB+∠CBA)=45°，
∴∠AFB=180°−45°=135°．
故选：A．
利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可．
本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
11.【答案】4(m+2n)(m−2n)
【解析】解：原式=4(m+2n)(m−2n)．
故答案为：4(m+2n)(m−2n)
原式提取4后，利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】8.8
【解析】解：设这种商品最多可以按x折销售，
则售价为5×0.1x，那么利润为5×0.1x−4，
所以相应的关系式为5×0.1x−4≥4×10%，
解得：x≥8.8．
答：该商品最多可以8.8折，
故答案为：8.8．
利润率不能少于10%，意思是利润率大于或等于10%，相应的关系式为：(打折后的销售价−进价)÷进价≥10%，把相关数值代入即可求解．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能低于”用数学符号表示为“≥”；利润率是利润与进价的比值．
13.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
根据配方法以及分式的运算法则即可求出答案．
【解答】
解：原式=a2+b2ab
=(a+b)2−2abab，
当a+b=4，ab=2时，
原式=16−42
=6，
故答案为：6．
14.【答案】3
【解析】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠BAD=∠DBA，
∴∠BAD=∠CAD=∠DBA，
∵∠C=90°，
∴∠BAD=∠CAD=∠DBA=30°，
在Rt△ADC中，∠C=90°，∠CAD=30°，
∴AD=2DC=2，
∴BC=BD+CD=2+1=3，
故答案为：3．
根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠BAD=∠DBA，求出∠BAD=∠CAD=∠DBA=30°，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、含30°角的直角三角形的性质，求出∠CAD=30°是解题的关键．
15.【答案】65
【解析】解：连接CE，过点F作 FH⊥BP于H，
∵边长为6的等边△ABC，
∴AB=BC=AC=6，∠B=∠ACB=60°，
∵BD=4，
∴CD=BC−BD=2，
∵CQ为等边△ABC的外角∠ACP的角平分线，
∴∠ACQ=∠PCQ=12∠ACP=60°，
由翻折得：AE=AB，ED=BD=4，∠AED=∠B=60°，
∴AE=AC，∠AED=∠ACQ=60°，
∴∠ACE=∠AEC，
∴∠ACE−∠ACQ=∠AEC−∠AED，即∠ACE−60°=∠AEC−60°，
∴∠FCE=∠FEC，
∴FC=FE，
∵FH⊥BP，∠PCQ=90°，∠PCQ=60°，
∴∠CFH=30°，
设CH=x，则CF=FE=2x，FH= 3x，
∴DF=DE−FE=4−2x，CH=DC+CH=2+x，
在Rt△DHF中，由勾股定理，得(2+x)2+( 3x)2=(4−2x)2，
解得：x=35，
∴CF=2x=65，
故答案为：65．
连接CE，过点F作 FH⊥BP于H，由等边三角形性质与折叠性质得AE=AC，从而得∠ACE=∠ACE，继而证明∠FCE=∠FEC，得出FC=FE，又由FH⊥BP，∠PCQ=60°，所以∠CFH=30°，设CH=x，则CF=FE=2x，FH= 3x，则DF=DE−FE=4−2x，CH=DC+CH=2+x，然后在Rt△DHF中，由勾股定理，得(2+x)2+( 3x)2=(4−2x)2，求解得x=35，即可由CF=2x求解．
本题考查等边三角形的性质，翻折的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正确地作出辅助线，证明FC=FE是解题的关键．
16.【答案】解：(1)去分母，得
5(2x+1)=x−1，
去括号，得
10x+5=x−1，
移项，合并同类项，得
9x=−6，
系数化为1，得
x=−23，
检验：把x=−23代入(x−1)(2x+1)≠0，
所以x=−23是原方程的解；
(2)去分母，得
1+2(x−2)=x−1，
去括号，得
1+2x−4=x−1，
移项，合并同类项，得
x=2，
检验：把x=2代入x−2=0，
所以此方程无解．
【解析】(1)根据解分式方程的过程即可求解；
(2)根据解分式方程的过程即可求解．
本题考查了解分式方程，解决本题的关键是解分式方程时要验根．
17.【答案】解：(1)2(m−n)2−m(n−m)
=2(n−m)2−m(n−m)
=(n−m)[2(n−m)−m]
=(n−m)(2n−3m)；
(2)−4xy2+4x2y+y3
=y(4x2−4xy+y2)
=y(2x−y)2．
【解析】(1)利用提公因式法分解；
(2)先提取公因式，再利用完全平方公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
18.【答案】解：原式=(a+b)(a−b)a÷a2+2ab+b2a
=(a+b)(a−b)a×a(a+b)2
=a−ba+b，
∴当a= 2+1，b= 2−1时，
原式= 2+1−( 2−1) 2+1+ 2−1
=22 2
=1 2
= 22．
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
19.【答案】解：(1)△A1B1C1如图所示．
点A1(3,−3)，B1(4,−1)．
(2)△A2B2C2如图所示．
(3)如图，点P即为所求的旋转中心，
∴旋转中心的坐标为(5,0)．
【解析】(1)根据平移的性质作图，可得出答案．
(2)根据旋转的性质作图，可得出答案．
(3)连接A1A2，B1B2，C1C2，再分别作出线段A1A2，B1B2，C1C2的垂直平分线，交点P即为所求的旋转中心，可得出答案．
本题考查作图−旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)设购进了A种笔记本x本，购进了b种笔记本y本，
由题意得：x+y=35012x+15y=4800，
解得：x=150y=200，
答：购进了A种笔记本150本，购进了b种笔记本200本；
(2)由题意得：20m+25m+(150−m)×20×0.7+(200−m)×15−4800≥2348，
解得：m≥128，
答：m的最小值为128．
【解析】(1)设购进了A种笔记本x本，购进了b种笔记本y本，由题意：某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)由题意：两种笔记本的总利润不少于2348元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】x≥0 −6 −3【解析】解：(1)函数的图象如图的所示，
根据图象可得：当y随x的增大而减小时，x的取值范围是x≥0；
(2)把A(2,n)，b(6,n)，分别代入y=−2|x|+5，
得−2|m|+5=n −2×|6|+5=5 ，
则−2|m|+5=−7，
解得：m=±6，
∵A(2,n)，b(6,n)，该函数图象上不同的两点，
∴m=−6；
(3)由图象可得：当−1<−2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围是−3(4)由图象可得：
当x≤−103时，y=min(−2|x|+5,12x)=−2|x|+5，当x=−103时，y的最大值为−53；
当−103当x≥2时，y=min(−2|x|+5,12x)=−2|x|+5，当x=2时，y的最大值为1；
综上，y的最大值为1．
(1)用描点法作出函数的图象；再根据图象性质求解即可；
(2)把A(2,n)，b(6,n)，代入y=−2|x|+5，求解即可；
(3)利用图象法，根据(1)中所画函数图象求解即可；
(4)分三种情况：当x≤−103时，y=min(−2|x|+5,12x)=−2|x|+5；当−103本题考查作函数图象，利用图象法求解问题，新定义问题，熟练掌握用描点法作函数图象和利用图象法解决问题是解题的关键．
22.【答案】BD=EC 60
【解析】解：(1)∵△ACB和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠BDA=∠CEA，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴∠ADB=180°−60°=120°，
∴∠AEC=120°，
∴∠BEC=∠AEC−∠AED=120°−60°=60°，
综上所述，∠BEC的度数为60°，线段BD与CE之间的数量关系是BD=CE，
故答案为：BD=CE，60；
(2)结论：BD=2CE，∠BEC=45°，理由如下：
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ADE=∠DAE=45°，∠ACB=∠AED=90°，
∴∠BAD=∠CAE，∠ADB=135°，
Rt△ABC和Rt△ADE中，sin∠ABC=ACAB，sin∠ADE=AEDE，sin45°= 22，
∴ACAB=AEAD= 22，
∴ABAD=ACAE，
又∵∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=135°，BDCE=ABAC=ADAE，
∴∠BEC=∠AEC−∠AED=45°，
∵ACAB=AEAD= 22，
∴ABAC= 2，
∴BDCE=ABAC= 2，
∴BD= 2CE；
(3)分两种情况：
①如图4，
∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，BC=8，
∴AC=12BC=4，
∴AB= BC2−CB2= 82−42=4 3，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC=4，DE/​/AB，AE=12AC，AD=12AB，
∴∠CDE=∠ABC=30°，ADAB=AEAC=12，
由旋转的性质得：∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴BDCE=ABAC= 3，∠ADB=∠AEC=180°−∠ADE=150°，
∵∠AED=90°−∠CDE=60°，
∴∠CEB=∠AEC−∠AED=150°−60°=90°，
设CE=x，则BD= 3x，BE=BD+DE= 3x+4，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+( 3x+4)2=82，
解得：x= 15− 3或x=− 15− 3(舍去)
∴BE= 15− 3；
②如图5，同①得：△ACD∽△BCE，
则BDCE=ABAC= 3，∠AEB=90°，
设CE=y，则BD= 3y，AE=AD−DE= 3y−2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：y2+( 3y−4)2=82，
解得：y= 15+ 3或y=− 15− 3(舍去)，
∴CE= 15+ 3；
综上所述，CE的长为 15− 3或 15+ 3．
(1)证△ABD≌△ACE，得BD=CE，∠BDA=∠CEA，进而判断出∠BEC的度数为60°即可；
(2)证△ABD∽△ACE，得∠ADB=∠AEC=135°，BDCE=ABAC=ADAE，则∠BEC=∠AEC−∠AED=45°，再求出BDCE=ABAC= 2，即可得出结论；
(3)分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出BE的长即可．
本题考查几何变换综合题，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．x
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0
1
2
3
4
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y
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