山西省2023年中考数学模拟预测黑马卷（含答案）

这是一份山西省2023年中考数学模拟预测黑马卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山西省2023年中考数学模拟预测黑马卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的绝对值是（　　）
A． B．6 C． D．
2．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为(   )
A． B． C． D．
3．将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
4．如图，一个正方体骰子的六个面上分别标有1至6共六个数字，且相对面数字之和相同，将骰子按如图所示方式放置并按箭头方向无滑动翻转后停止在M处，则停止后骰子朝上面的数字为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6
5．“疫情就是命令，防控就是黄任”，面对疫情，学校积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识图片，其中图案是轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
6．小李广花荣是《水浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为．将一枝箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为（    ）

A． B． C． D．
7．如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O重合，且，则阴影部分面积与圆的面积之比为（　　）

A． B． C． D．
8．已知点，在的图象上，下列说法错误的是（    ）
A．当时，二次函数与轴总有两个交点 B．若，且，则
C．若，则 D．当时，的取值范围为
9．如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中，，，保持三角板不动，三角板可绕点C旋转，则下列结论：

①；②随着的交化而变化；③当时，则或；④当时，一定垂直于．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，轴，垂足为F．若，．以下结论正确的个数是（    ）
①；②AE平分；③点C的坐标为；④；⑤矩形ABCD的面积为．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算的结果是__________．
12．如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的 ．已知这个铁钉被敲击 次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是 ，若铁钉总长度为 ，则 的取值范围是_______________．

13．由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，已知电源电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值R（始终保持），发现通过滑动变阻器的电流I与滑动变阻器的电阻R成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过，则滑动变阻器阻值的范围是__________．

14．2023年亚洲杯足球联赛将在中国举行，掀起学校足球运动热潮，某校足球队计划吸收一名新球员，组织了4轮技能考试，其中小文和小俊的成绩（百分制）较为突出，具体如下：
姓名
第1轮
第2轮
第3轮
第4轮
小文
90
88
92
90
小俊
89
92
86
93
若教练要从中选出一名技术稳定的球员，则被选中的是 _______．
15．如图，在边长为的正方形中，点E为对角线上的一个动点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，连接，点G为的中点，则点E从点C运动到点A的过程中，点G的运动路径长为__________．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．(1)计算；



(2)解方程：．



17．以下是圆圆同学化简的解答过程：
解：原式，
圆圆的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．



18．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，成都将以年轻的笑脸、奔放的热情、周到的服务、完善的设施迎接大运会．某校数学兴趣小组以“爱成都，迎大运”为主题，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，了解学生参加A（羽毛球）、B（乒乓球）、C（篮球）、D（排球）四类球运动的情况（参加调查学生必选且只能选择其中一项），根据统计结果绘制了如下统计图表．请根据统计图表信息，解答下列问题：
经常参加的球类运动
A
B
C
D
人数（单位：人）
9

18
6
所占百分比





(1)求参与调查的学生中，经常参加乒乓球运动的学生人数；
(2)若从参与调查的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两名学生恰好是相同性别的概率．



19．某校组织学生参与劳动实践活动，休息时小明发现，坡角为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的树（如图），当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为m，于是就提出一个数学问题：如何求树的高？若，，请你解决这个问题．（参考数据：，）





20．山西老陈醋是中国四大名醋之一，已有3000余年的历史，素有“天下第一醋”的盛誉，以色、香、醇、浓、酸五大特征著称于世．某商家购进A，B两种品牌的老陈醋，每斤A品牌老陈醋比每斤B品牌老陈醋贵0.5元，花90元购进A品牌老陈醋的质量与花80元购进B品牌老陈醋的质量相同．

(1)分别求A，B品牌老陈醋的单价．
(2)该商户计划用不超过3350元购进A，B两种品牌老陈醋共800斤，求至少应购进B品牌老陈醋多少斤．


21．如图，在中，的平分线交于点D．

(1)尺规作图：作的平分线交于点O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求的度数．



22．综合与实践：图形的几何变换
复习课上，老师对一张平行四边形纸片进行如下操作：

(1)如图1，折叠该纸片，使边恰好落在边上，边恰好落在边上，得到折痕和，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)老师沿折痕将和剪下，得到两个全等的等腰三角形，已知等腰三角形的腰长为5，底边长为6，底角度数为a，通过不同的摆放方式，三个学习小组利用几何变换设置了几个问题，请一一解答．
①善思小组：将两个三角形摆放成如图2的位置，使边与边重合，然后固定，将沿着射线的方向平移（如图3），当四边形为矩形时，求平移的距离．
②勤学小组：将两个三角形摆成如图4的位置，使与重合，取的中点O，固定，将绕着点O按逆时针方向旋转（旋转角），如图5，在旋转过程中，四边形的形状是______．
③奋进小组：在②勤学小组的旋转过程中，利用图6进行探究，当与的重叠部分为等腰三角形时，旋转角为______（用含的代数式表示），此时重叠部分的面积为_____．



23．如图，二次函数经过点，点是轴正半轴上一个动点，过点作垂直于轴的直线分别交抛物线和直线于点和点．设点的横坐标为．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若、、三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求的值．
(3)点在线段上时，
①连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
②若以、、为顶点的三角形与相似，求的值；






























山西省2023年中考数学模拟预测黑马卷
试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的绝对值是（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【详解】解：的绝对值是，
故选C．
2．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为(   )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数。本题小数点往左移动到的后面，所以
【详解】解：
故选A．
3．将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴的性质“实心圆点包括该点用“”，“”表示，空心圆圈不包括该点用“<”，“>”表示，大于向右小于向左．”画出数轴即可．
【详解】解：将不等式组的解集表示在数轴上，如图，

故选A．
4．如图，一个正方体骰子的六个面上分别标有1至6共六个数字，且相对面数字之和相同，将骰子按如图所示方式放置并按箭头方向无滑动翻转后停止在M处，则停止后骰子朝上面的数字为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据题意可知，1的对面是6，3的对面是4，2的对面是5，翻转后停止在M处时1在底面，据此即可求解．
【详解】解：由题意可知，1的对面是6，3的对面是4，2的对面是5，
按图所示方式翻转后停止在M处，1在底面，则6朝上时．
故选：D．
5．“疫情就是命令，防控就是黄任”，面对疫情，学校积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识图片，其中图案是轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
6．小李广花荣是《水浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为．将一枝箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算正方形与圆的面积比即可．
【详解】解：设圆的直径为，则正方形的对角线长为，
∴圆的面积为，正方形的面积为，
∴箭穿过正方形孔的概率为，
故选：B．
7．如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O重合，且，则阴影部分面积与圆的面积之比为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，设正六边形的边长为1，进而求出圆的面积以及圆的内接正六边形面积，进一步计算可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，，

设正六边形的边长为1，则，，
∴为等边三角形，则，，，
∴，
又∵，
∴，则，
∴，即圆的半径为，
所以圆的面积为，正六边形的面积为，
则阴影部分面积与圆的面积之比为，
故选：B．
8．已知点，在的图象上，下列说法错误的是（    ）
A．当时，二次函数与轴总有两个交点
B．若，且，则
C．若，则
D．当时，的取值范围为
【答案】D
【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．
【详解】解：由，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
A.当时，，所以，二次函数与轴总有两个交点，说法正确，故选项A不符合题意；
B.当时，对应点为，关于对称轴对称的点为，即；当时，图象在和之间，所以，，故选项B说法正确，不符合题意；
C.若，则，当时，则两点连线的中点在对称轴右侧，所以，，故选项C说法正确，不符合题意；
D.当 时，，当时，最高点为，所以，，故选项D说法错误，符合题意，
故选：D
9．如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中，，，保持三角板不动，三角板可绕点C旋转，则下列结论：

①；②随着的交化而变化；③当时，则或；④当时，一定垂直于．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】①依据，，可得；
②依据，即可得到；
③画出图形，根据平行线的判定，即可得到当等于或时，；
④画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系．
【详解】解：①，，
；
故①正确．
②，


，
，是定值；
故②错误．
③如图1所示，

当时，，

，
如图2所示，

当时，，


，
当时，则或；
故③错误．
④设，则．
如图

由（1）可知，，
，
解得：，
即，
，
；
如图

由（1）得：，
，
，
，
，

．
此时或；
故④错误．
综上所述：只有①正确，所以正确的个数有个．
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，轴，垂足为F．若，．以下结论正确的个数是（    ）
①；②AE平分；③点C的坐标为；④；⑤矩形ABCD的面积为．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定得出，利用相似三角形的性质及已知，的值即可判断结论①；由①分析得出的条件，结合相似三角形、矩形的性质（对角线）即可判断结论②；根据直角坐标系上点的表示及结论①，利用勾股定理建立等式求解可得点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标得出点坐标，即可判断结论③；由③可知，进而得出的值，根据矩形的性质即可判断结论④；根据矩形的性质及④可知，利用三角形的面积公式求解即可判断结论⑤．
【详解】解：∵矩形ABCD的顶点A在第一象限，轴，垂足为F，
,，．
，
．
，，
，即．（①符合题意）
，，
，．
．
AE平分．（②符合题意）
，
点的横坐标为4．
，
，即．
，点的纵坐标为．
．
点与点关于原点对称，
．（③符合题意）
，
．（④不符合题意）
，
．（⑤符合题意）
结论正确的共有4个符合题意．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算的结果是__________．
【答案】5
【分析】根据二次根式的性质解答．
【详解】解：根据二次根式的性质，可得．
故答案为：5
12．如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的 ．已知这个铁钉被敲击 次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是 ，若铁钉总长度为 ，则 的取值范围是_______________．

【答案】
【分析】求钉子的总长度只需要分别求出每次钉入木板的长度,相加即可.
【详解】解：第一次是 ，第二次是1cm,第三次不会超过0.5cm,
故铁钉总长度为.
13．由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，已知电源电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值R（始终保持），发现通过滑动变阻器的电流I与滑动变阻器的电阻R成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过，则滑动变阻器阻值的范围是__________．

【答案】
【分析】根据反比例函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：由图象可知，随着的增大而减小，当时，，
∴若使得通过滑动变阻器的电流不超过，则滑动变阻器阻值的范围是；
故答案为：．
14．2023年亚洲杯足球联赛将在中国举行，掀起学校足球运动热潮，某校足球队计划吸收一名新球员，组织了4轮技能考试，其中小文和小俊的成绩（百分制）较为突出，具体如下：
姓名
第1轮
第2轮
第3轮
第4轮
小文
90
88
92
90
小俊
89
92
86
93
若教练要从中选出一名技术稳定的球员，则被选中的是 _______．
【答案】小文
【分析】分别计算两人的平均成绩与成绩的方差，再作比较即可．
【详解】解：小文的平均成绩为：；
小俊的平均成绩为：；
小文成绩的方差为：；
小俊成绩的方差为：；
∵，
∴小文的成绩更为稳定；
故答案为：小文．
15．如图，在边长为的正方形中，点E为对角线上的一个动点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，连接，点G为的中点，则点E从点C运动到点A的过程中，点G的运动路径长为__________．

【答案】1
【分析】取中点H，连接，，证明，得出，，从而确定F在过点A，且垂直与的直线上运动，当E和C重合时，F和A重合，G和H重合，当E和A重合时，F为M重合（M为与的交点），此时G在中点N处，然后根据三角形中位线定理可，利用勾股定理求出，即可解答．
【详解】解：取中点H，连接，，

∵正方形的边长为，
∴，，，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点F在过点A，且垂直与的直线上运动，当E和C重合时，F和A重合，G和H重合，当E和A重合时，F为M重合（M为与的交点），此时G在中点N处，
如图，
  
∴G的运动轨迹是线段，
∵为中点，为中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即点G的运动路径长为1．
故答案为：1．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．
(1)计算；
(2)解方程：．
【答案】(1)；
(2)，；

【分析】（1）根据负指数幂，特殊角三角函数，二次根式的性质直接计算即可得到答案；
（2）移项，配方，直接开平方即可得到答案.
【详解】（1）解：原式

；
（2）解：移项得，
，
配方得，
，
两边开平方得，
，
∴方程的解为：，．
【点睛】本题考查了负指数幂，特殊角三角函数，二次根式的性质及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握及一元二次方程的解法、特殊三角函数值．
17．以下是圆圆同学化简的解答过程：
解：原式，
圆圆的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】解答有错误；正确过程见解析
【分析】先利用异分母分式的加减法法则计算，再根据计算结果判断解答是否有错误．
【详解】解：解答有错误．
正解：原式



．
【点睛】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
18．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，成都将以年轻的笑脸、奔放的热情、周到的服务、完善的设施迎接大运会．某校数学兴趣小组以“爱成都，迎大运”为主题，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，了解学生参加A（羽毛球）、B（乒乓球）、C（篮球）、D（排球）四类球运动的情况（参加调查学生必选且只能选择其中一项），根据统计结果绘制了如下统计图表．请根据统计图表信息，解答下列问题：
经常参加的球类运动
A
B
C
D
人数（单位：人）
9

18
6
所占百分比





(1)求参与调查的学生中，经常参加乒乓球运动的学生人数；
(2)若从参与调查的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两名学生恰好是相同性别的概率．
【答案】(1)参与调查的学生中，经常参加乒乓球运动的学生人数为27人；
(2)

【分析】（1）利用D类球运动的人数除以其所占百分比，得出参与调查的学生总人数，再乘以B类球运动的人数所占百分比即可；
（2）根据题意列出表格表示出所有等可能得情况，再找出符合两名学生恰好是相同性别的情况，最后根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：参与调查的学生总人数为人，
∴参与调查的学生中，经常参加乒乓球运动的学生人数为人；
（2）解：根据题意，可列表格如下，

男1
男2
女1
女2
男1

男1，男2
男1，女1
男1，女2
男2
男2，男1

男2，女1
男2，女2
女1
女1，男1
女1，男2

女1，女2
女2
女2，男1
女2，男2
女2，女1

根据表格可知共有12种等可能得情况，其中抽取到的两名学生恰好是相同性别的情况有4种，
∴抽取到的两名学生恰好是相同性别的概率为．
【点睛】本题考查扇形统计图，列表法或树状图法求概率．读懂题意，根据表格和扇形统计图得出必要的信息和数据以及正确的列出表格或画出树状图是解题关键．
19．某校组织学生参与劳动实践活动，休息时小明发现，坡角为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的树（如图），当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为m，于是就提出一个数学问题：如何求树的高？若，，请你解决这个问题．（参考数据：，）


【答案】
【分析】过点C作水平地面的平行线，交的延长线于D，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：

过点C作水平地面的平行线，交的延长线于D，
则，
在中，，，
则，，
在中，，
则，
∴，
∵，，
∴，
答：树的高为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．山西老陈醋是中国四大名醋之一，已有3000余年的历史，素有“天下第一醋”的盛誉，以色、香、醇、浓、酸五大特征著称于世．某商家购进A，B两种品牌的老陈醋，每斤A品牌老陈醋比每斤B品牌老陈醋贵0.5元，花90元购进A品牌老陈醋的质量与花80元购进B品牌老陈醋的质量相同．

(1)分别求A，B品牌老陈醋的单价．
(2)该商户计划用不超过3350元购进A，B两种品牌老陈醋共800斤，求至少应购进B品牌老陈醋多少斤．
【答案】(1)A，B两种品牌老陈醋的单价分别为4.5元/斤、4元/斤
(2)500斤

【分析】（1）设B品牌老陈醋的单价为元/斤，则A品牌老陈醋的单价为元/斤．根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设购进B品牌老陈醋斤，则购进A品牌老陈醋斤，根据题意列出一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）设B品牌老陈醋的单价为元/斤，则A品牌老陈醋的单价为元/斤．
根据题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
∴（元/斤）
答：A，B两种品牌老陈醋的单价分别为4.5元/斤、4元/斤．
（2）设购进B品牌老陈醋斤，则购进A品牌老陈醋斤．
根据题意，得．   
解得．
答：至少应购进B品牌老陈醋500斤．
【点睛】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
21．如图，在中，的平分线交于点D．

(1)尺规作图：作的平分线交于点O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据角平分线的作法即可作的平分线交于点；
（2）根据内角和定理求出，再根据角平分线定义求出，，再利用外角的性质求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2），，
，
平分，平分，
，，
．
【点睛】本题考查了作图基本作图，三角形内角和定理和外角的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
22．综合与实践：图形的几何变换
复习课上，老师对一张平行四边形纸片进行如下操作：

(1)如图1，折叠该纸片，使边恰好落在边上，边恰好落在边上，得到折痕和，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)老师沿折痕将和剪下，得到两个全等的等腰三角形，已知等腰三角形的腰长为5，底边长为6，底角度数为a，通过不同的摆放方式，三个学习小组利用几何变换设置了几个问题，请一一解答．
①善思小组：将两个三角形摆放成如图2的位置，使边与边重合，然后固定，将沿着射线的方向平移（如图3），当四边形为矩形时，求平移的距离．
②勤学小组：将两个三角形摆成如图4的位置，使与重合，取的中点O，固定，将绕着点O按逆时针方向旋转（旋转角），如图5，在旋转过程中，四边形的形状是______．
③奋进小组：在②勤学小组的旋转过程中，利用图6进行探究，当与的重叠部分为等腰三角形时，旋转角为______（用含的代数式表示），此时重叠部分的面积为_____．
【答案】(1)平行四边形，理由见解析
(2)①；②矩形；③或；

【分析】（1）根据折叠的性质可得，，从而得出，即可得出结论；
（2）①作垂直于点G，由三线合一性质可得，求出的长度，最后根据即可求解；②通过证明，，即可得出结论；③分两种情况进行讨论：当点C在边上时，当点F在边上时．
【详解】（1）解：四边形为平行四边形．理由如下：
在平行四边形中，，，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由，得，
∴四边形为平行四边形．
（2）①如图，作垂直于点G，

∵，由三线合一性质可得，
∴，
当四边形为矩形时，，
则，
解得：，
∴
即平移的距离为．
②∵与重合，
∴
∵点O为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形．
故答案为：矩形．

③如图：连接，过点E作于点M，
∵点O为中点，，
∴，，
根据勾股定理可得：，
∵，
∴，即，解得：，
∴，

当点C在边上时，
∵，
∴为等腰三角形，
此时旋转角为，
过点O作与点G，
∵，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
∴重叠部分面积，

当点F在边上时，
∵，
∴为等腰三角形，
∵，
此时旋转角为，
过点O作于点H，
∵，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
∴重叠部分面积，

综上：旋转角为或；重叠部分面积为；
故答案为：或，．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关内容并灵活运用．
23．如图，二次函数经过点，点是轴正半轴上一个动点，过点作垂直于轴的直线分别交抛物线和直线于点和点．设点的横坐标为．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若、、三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求的值．
(3)点在线段上时，
①连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
②若以、、为顶点的三角形与相似，求的值；
【答案】(1)
(2)
(3)①E（2，5）；②m的值是或．

【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）先求得直线的解析式为，从而有，，根据为线段的中点时，得方程，解方程即可；
（3）①设出，，列出与的函数关系式即可得解；②由，分当为直角时与为直角时两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：把（，）、（，）代入
得，解得
∴
（2）解：∵（，）、（，）
∴直线的解析式为
∵，则，
∴，
当为线段的中点时，则有
即：
解得（三点重合，舍去）或
∴
（3）解：①∵（，），
∴
∵，
∴
∴
∴当时，的最大值为，此时（，）
②∵，，∴
由（）可知：（，）、、
∵
∴以、、为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论：
①当为直角时，则
∴，即：
∴，即：
解得：（舍去），
②当为直角时，则
∴，即：
∴，即：
解得，（舍去）
综上所述，的值是或．