北京市东城区2023届高三二模数学试题 Word版无答案

北京市东城区2022-2023学年度第二学期高三综合练习（二）

数学

2023.5

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1 已知集合，，则（    ）

A. ⫋ B.  C.  D.

2. 已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知数列中，，，为其前项和，则（    ）

A  B.  C.  D.

4. 在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（    ）

A 种 B. 种 C. 种 D. 种

7. 设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（    ）

A  B.

C.  D.

8. “ ”是“函数为偶函数”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（    ）

A. 个 B. 2个 C. 个 D. 无数个

10. 设，其中为自然对数的底数，则（    ）

A.  B.

C.  D.

第二部分（非选择题   共110分）

二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分.

11. 已知向量满足，与的夹角为，则______;______

12. 函数在一个周期内的部分取值如下表：

则的最小正周期为_______； _______．

13. 若，则实数的一个取值为__________.

14. 如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则_______   

15. 定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，给出下列四个结论：

①若为递增数列，则存在最大值；

②若为递增数列，则存在最小值；

③若，且存在最小值，则存在最小值；

④若，且存在最大值，则存在最大值.

其中所有错误结论的序号有_______．

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 在中,.

（1）求;

（2）若,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,求及的面积.

条件①:;

条件②:;

条件③:.

17. 如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点.

（1）设为的中点，求证：；

（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求的值.

18. 某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：

（1）从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；

（2）设表示第名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据，定义随机变量，如下：

（i）求的分布列和数学期望；

（ii）设随机变量，的的方差分别为，，试比较与的大小．（结论不要求证明）

19. 已知焦点为的抛物线经过点．

（1）设为坐标原点，求抛物线的准线方程及△的面积；

（2）设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

20. 已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求在区间上的最大值；

（3）设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.

21. 已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）.

（1）若，求及；

（2）若，求证：互不相同；

（3）已知，若对任意正整数都有或，求的值.