2023年北京东城区高三二模数学试题及答案解析

这是一份2023年北京东城区高三二模数学试题及答案解析，共18页。试卷主要包含了01 ,等内容，欢迎下载使用。
2023 北京东城高三二模
数 学
2023.5

本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A = {x Î N -1 < x < 5}， B = {0,1, 2, 3, 4, 5}，则
(A) A ⫋ B (B) A = B
(C) B Î A (D) B Í A
1
m
（2） 已知椭圆 x2 + y2 = 的一个焦点的坐标是( - 2, 0 ) ，则实数 的值为
3m m
（A）1 （B） 2
（C） 2 （D） 4
（3） 已知数列{a } 中， a = 1 ， 2 - 1 =0 ， S 为其前n 项和，则S =

1
n
5
n

11
（A）
16


an an+1
（B） 31
16

OZ
（C）11 （D） 31

OZ
（4） 在复平面内， O 是原点，向量
p ，则所得向量对应的复数为
4
对应的复数是-1+ i ，将
绕点O 按逆时针方向旋转

(A) - 2
(C) -1
(B) -
2i
(D) -i

（5） 已知点M (1 , 3) 在圆C : x2 + y2 = m 上，过 M 作圆C 的切线l ，则l 的倾斜角为
（A） 30 （B） 60
（C）120 （D）150
（6） 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有
（A）13 种 （B） 14 种
（C）15 种 （D）16 种

ì2x ,
î
（7） 设函数 f (x) = íx2 ,
x £ a, x > a.
若 f (x) 为增函数，则实数a 的取值范围是

（A） (0, 4] （B）[2, 4]
（C）[2, +¥) （D）[4, +¥)
（8） “ cosq = 0 ”是“函数 f (x) = sin(x + q ) + cos x 为偶函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C） 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9） 已知三条直线l1 : x - 2 y + 2 = 0 ， l2 : x - 2 = 0 ， l3 : x + ky = 0 将平面分为六个部分，则满足

条件的k 的值共有
（A）1 个 （B）2 个
（C） 3 个 （D）无数个

（10）设a = e0.01 ,
（A） a > b > c
（C） b > c > a
b = 1.01 ,
c = ln1.01，其中e 为自然对数的底数，则
（B） b > a > c
（D） a > c > b


第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题 共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。


（11） 已知向量a, b 满足 a
= 2, b = 1， a 与b 的夹角为p ，则a × b = ; a - 2b = ．
3

（12） 函数 f (x) = sin(wx+j) (w > 0, j
< p) 在一个周期内的部分取值如下表：
2

x
- p
12
p

12
p

4
5p

12
7p

12
f (x)
a
1
a
-a
-1

则 f (x) 的最小正周期为 ； a = ．
（13） 若{x|0 £ x £ 1} {x|x2 - 2x + m > 0}=Æ ，则实数m 的一个取值为 .
（14） 如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E 是 A1B1 的中点，
平面 ACE 将正方体分成体积分别为V1 ，V2 (V1 £ V2 ) 的两部
分，则 V1 = .
V2
（15） 定义在区间[1, +¥) 上的函数 f (x) 的图象是一条连续不断的曲
线， f (x) 在区间[2k -1, 2k] 上单调递增，在区间[2k, 2k +1] 上单调递减， k = 1, 2, . 给出下列四个结论：
① 若{ f (2k )} 为递增数列，则 f (x) 存在最大值；
② 若{ f (2k +1)} 为递增数列，则 f (x) 存在最小值；


③ 若 f (2k ) f (2k + 1) > 0 ，且 f (2k ) + f (2k + 1) 存在最小值，则
④ 若 f (2k ) f (2k + 1) < 0 ，且 f (2k ) - f (2k +1) 存在最大值，则其中所有错误结论的序号有 ．
f (x) 存在最小值；
f (x) 存在最大值.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
在△ ABC 中， b sin A - a cos B = 0 .
2
（Ⅰ）求ÐB ；
（Ⅱ）若b = 3 ，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③这三个条件中选择一个作为已知，使△ ABC
存在且唯一确定，求a 及△ ABC 的面积.

条件 ①： sin A + sin C = 2 sin B ；
条件 ②： c = 3 ；
条件 ③： ac = 10 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

（17）（本小题 14 分）
如图，直角三角形 ABC 和等边三角形 ABD 所在平面互相垂直， AB = AC = 2 ， E 是线段 AD 上一点.
（I） 设 E 为 AD 的中点，求证： BE ^ CD ；
（II） 若直线CD 和平面 BCE 所成角的正弦值为 10 ，
10
求 AE 的值.
AD




（18）（本小题 13 分）
某数学学习小组的 7 名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次
考试．两次考试的成绩如下表所示（满分 100 分）：

学生 1
学生 2
学生 3
学生 4
学生 5
学生 6
学生 7
第一次
82
89
78
92
92
65
81
第二次
83
90
75
95
93
61
76
（I） 从数学学习小组 7 名学生中随机选取 1 名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；
（II） 设 xi ( i = 1, 2 , , 7 ) 表示第i 名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差．从数学学习小 组 7 名学生中随机选取 2 名，得到数据 xi , x j (1≤ i, j ≤ 7, i ¹ j) ，定义随机变量 X ， Y 如下：
ì0, 0≤ xi - xj ＜2,
ì0, 0 ≤| x - x |< 3, ï
ï i j ï1, 2≤ xi - xj ＜4,
X = í1, 3 ≤| xi - x j |< 6, Y = í

ï2, | x
- x |≥ 6，
ï2, 4≤ xi - x j ＜6,

ïî i j
ï
ïî3,
xi - xj ≥6.

（i） 求 X 的分布列和数学期望 EX ；
（ii） 设随机变量 X ， Y 的的方差分别为 DX ， DY ，试比较 DX 与 DY 的大小．（结论不要求证明）

（19）（本小题 15 分）
已知焦点为 F 的抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 经过点M (1, 2) ．
（I） 设O 为坐标原点，求抛物线C 的准线方程及△ OFM 的面积；
（II） 设斜率为 k (k ¹ 0) 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点 A, B ，若以 AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．

（20）（本小题 15 分）
已知函数 f (x) = ex sin x - 2x .
（I） 求曲线 y = f ( x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程；
（II） 求 f ( x) 在区间[-1,1] 上的最大值；
（III） 设实数a 使得 f ( x) + x > a ex 对 x Î R 恒成立，写出a 的最大整数值，并说明理由.

（21）（本小题 15 分）
已知有穷数列 A : a1，a2， ，an (n ³ 3) 中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1 £ m £ n 的整数 m ，令集合 A(m) = {k ak = m ，k = 1，2 ， ，n } .记集合 A(m) 中元素的个数为 s(m) (约定空集的元素个数为 0).
（Ⅰ）若 A : 6 ，3，2 ，5 ，3 ，7 ，5 ，5 ，求 A(5) 及s(5) ；

（Ⅱ）若 1 + 1
+
= n ，求证： a , a
,
互不相同；


+
1
s(an )
, an
s(a ) s(a ) 1 2
1 2
（III） 已知a1 = a , a2 = b ，若对任意的正整数i，j(i ¹ j，i + j £ n) 都有i + j Î A(ai ) 或i + j Î A(aj ) ，求a1 + a2 + + an 的值.

参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）A （2）C （3）B （4）A （5）D
（6）C （7）B （8）C （9）C （10）A
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
1
p
2 1
2
（13） m = 0 (答案不唯一) （14） 7 17
（15）① ③ ④
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
解：（Ⅰ）由正弦定理得b sin A = a sin B ，由题设得a sin B - a cos B = 0 ，
2
B B B
2a sin cos - a cos = 0
2 2 2

0 < B < p
2 2
a cos B ¹ 0.
2

1
sin B = .
2 2
B p p
= , B = . 6
2 6 3
sin A + sin C = 2 sin B.

b = 3, B = p
3
sin A + sin C = 2 sin B.

由正弦定理得 a + c = 2b = 6 ，由余弦定理得9 = a2 + c2 - ac = (a + c)2 - 3ac ，解得 ac = 9 .

所以 S△ABC
ìac = 9,
由
= 1 ac sin B = 9 3 ．
2 4

解得 a = 3 . ………13 分

î
ía + c = 6,


选条件②： c = 3 ．


已知 B = p , b = 3, c =

3, 由正弦定理得sin C = sin B = ，

c 1
3 b 2
p
2
b2 + c2
因为c < b ，

C
6
= p
A =
a =
= 2 3.

1 3 3
所以 S△ABC = 2 bc = 2 ．

解：（I）由题设知 AB ^ AC.
因为平面 ABC ^ 平面 ABD ，平面 ABC 平面 ABD = AB ，，所以 AC ^ 平面 ABD ．
因为 BE Ì 平面 ABD ，所以 AC ^ BE .
因为△ABD 为等边三角形， E 是 AD 的中点，所以 AD ^ BE .
因为 AC AD = A ，所以 BE ^ 平面 ACD ．
所以 BE ^ CD . 6 分
（II）设 AE = l ， l Î[0,1].
AD
取 AB 的中点O ， BC 的中点 F ，连接OD ， OF ，则OD ^ AB ， OF AC .
由（I）知 AC ^ 平面 ABD ，所以OF ^ 平面 ABD ，
所以OF ^ AB ， OF ^ OD .
如图建立空间直角坐标系O - xyz ，则
A(-1, 0, 0) ， B(1, 0, 0) ， C(-1, 2, 0) ， D(0, 0, 3) ．


所以 BA = (-2, 0, 0) ，
CD = (1, -2, 3) ，
AD = (1, 0, 3) ，
BC = (-2, 2, 0) ，

BE = BA + AE = BA + l AD = (l
- 2, 0, 3l) .
设平面 BCE 的法向量为 n = (x, y, z) ，


ìïn × BC = 0, ìï
则í 即í
-2x + 2 y = 0,

ïîn × BE = 0,
îï(l - 2)x +
3l z = 0.

令 x =
3l ，则 y =
3l ， z = 2 - l .于是 n = ( 3l, 3l, 2 - l) .


因为直线CD 和平面 BCE 所成角的正弦值为 10 ，
10


所以| cos < CD, n >|=
| CD × n |
=
| 2 3(1- l) |
2
=
2 3l 2 + 3l 2 + (2 - l)2
10
，
| CD || n | 10

整理得8l 2 - 26l + 11 = 0 ，

1 11
解得l = 或l = .

2 4
因为l Î[0,1] ，
1
所以l = ，即 AE
2 AD
（18）（共 13 分）

= 1 . 14 分
2

解：（Ⅰ）根据表中数据，可知这 7 名学生中有 4 名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生 1，


率为 4 .
7
学生 2，学生 4，学生 5，
则从数学学习小组 7 名学生中随机选取 1 名，该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概
………3 分

（Ⅱ）（i）随机变量 X 可能的取值为 0，1，2．
这 7 名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为 1，1， -3 ，3，1， -4 ， -5 .

P( X = 0) =

P( X = 1) =

P( X = 2) =
9 3 ；
C
7
=
2
7
C
7
=
6 2 ；
2
7
C
7
=
6 2 ．
2
7

则随机变量 X 的分布列为：
X
0
1
2
P
3

7
2

7
2

7
X 的数学期望 EX = 0 ´ 3 + 1´ 2 + 2 ´ 2 = 6 ． ………11 分
7 7 7 7
（ii） DX < DY 13 分
（19）（共 15 分）
解：（Ⅰ）因为抛物线 y2 = 2 px( p > 0) 过点(1, 2) ，所以2 p = 4 ，即 p = 2 ．

故抛物线C 的方程为 y2 = 4x ，焦点 F (1, 0)
1
，准线方程为 x = -1 .

所以 S△OFM
= ´1´ 2 = 1.
2
… 6 分

（Ⅱ）设直线l 的方程为 y = kx + m (k ¹ 0) ．

ìï y2 = 4x,


2 2 2

î
由 ïí y = kx + m
得 k x + (2km - 4)x + m
= 0 ．

由D > 0 有1 - km > 0 ．设 A(x1, y1 ) , B(x1, y1 ),
4 - 2km m2
k
则 x1 + x2 = 2 ， x1 x2 = k 2 ．

设 AB 的中点为 N (x , y ) ，则 x
= x1 + x2 = 2 - km .


0 0 0 2 k 2

N 到准线的距离 d = x0 +1 =
k 2 - km + 2
，
k 2


1+ k 2 (x + x )2 - 4x x
1 2
1 2
4 1+ k 2

1+ k 2
AB =
x1 - x2
=
= 1- km,
k 2





依题意有
2

= d ，

AB
2 1+ k 2 k 2 - km + 2
即 1- km = ，
k 2 k 2
整理得 k 2 + 2km + m2 = 0 ，解得 k + m = 0 ，满足D > 0 ．
所以直线 y = kx + m (k ¹ 0) 过定点(1, 0) ． 15 分

（20）（共 15 分）
解：（Ⅰ） f ¢(x) = ex (sin x + cos x) - 2 ，
f ¢(0) = -1 ， f (0) = 0 .
所以曲线 y = f ( x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程为 y = -x 5 分
（II） 令 g(x) = f ¢(x) = ex (sin x + cos x) - 2 ，则 g¢(x) = 2 ex cos x ，
当 x Î[-1,1] 时， g¢(x) > 0 ， g ( x) 在[-1,1] 上单调递增.因为 g(0) = -1 < 0 ， g(1) = e(sin1 + cos1) - 2 > 0 ，
所以$x0 Î(0,1) ，使得 g (x0 ) = 0 .
所以当 x Î(-1, x0 ) 时， f ¢(x) < 0 ， f ( x) 单调递减；当 x Î(x0 ,1) 时， f ¢(x) > 0 ， f ( x) 单调递增．
f (1) = esin1- 2 < e- 2 < 1 ， f (-1) = 2 - sin1 > 1，
e

所以 f ( x)


max
= f (-1) = 2 - . 11 分
sin1
e

（Ⅲ）满足条件的 a 的最大整数值为-2 .



不等式 f ( x) + x > a ex 恒成立等价于 a < sin x - x
ex

x
令j(x) = sin x - ，
ex

恒成立.



当 x £ 0 时， - x
ex
³ 0 ，所以j(x) > -1恒成立.

当 x > 0 时，令h(x) =- x
ex
h¢(x) 与 h(x) 的情况如下：
， h(x) < 0 ， h¢(x) = x -1 ，
ex


x
(0,1)


(1, +¥)
h¢(x)
-
0
+


h(x)

- 1
e

1
所以 h(x)min = h(1) = - e .
当 x 趋近正无穷大时， h(x) < 0 ，且 h(x) 无限趋近于 0，
所以 h(x) 的值域为[- 1 , 0) .
e
因为sin x Î[-1,1] ，
所以j (x) 的最小值小于-1且大于-2 ．
所以 a 的最大整数值为-2 . 15 分
（21）（共 15 分）
解：（Ⅰ）由题设知 A(5) = {4 ，7 ，8} ， s(5)=3 . 4 分
（Ⅱ）依题意 s(ai ) ³ 1 (i = 1，2， ，n) ，

则有 1
+
1
s(ai )
£ 1 .

s(a1 )
1
s(a1 )
因此 1
+ 1
s(a2 )
+
£ n.

+ 1
s(a2 )
+
= n，

s(an )
+
1
s(an )
所以 s(ai ) = 1.
所以 a1 , a2 , , an 互不相同. 9 分
（III） 依题意 a1 = a, a2 = b.
由i + j Î A(ai ) 或i + j Î A(aj ) ，知 ai+ j = ai 或 ai+ j = a j .
令 j = 1 ，可得 ai +1 = ai 或 ai +1 = a1 ，对于i = 2, 3, n - 1 成立，
故 a3 = a2 或 a3 = a1 .
①当 a = b 时，
a3 = a4 = = an = a ，
所以 a1 + a2 + + an = na .
②当 a ¹ b 时，
a3 = a 或 a3 = b .
当 a3 = a 时，由 a4 = a3 或 a4 = a1 ，有 a4 = a ，.
同理 a5 = a6 = = an = a ，
所以 a1 + a2 + + an = (n - 1)a + b .
当 a3 = b 时，此时有 a2 = a3 = b ，
令i = 1，j = 3 ，可得4 Î A(a) 或4 Î A(b) ，即 a4 = a 或 a4 = b .
令i = 1，j = 4 ，可得5 Î A(a) 或5 Î A(b) . 令i = 2，j = 3 ，可得5 Î A(b) .
所以 a5 = b .
若 a4 = a ，则令i = 1，j = 4 ，可得 a5 = a ，与 a5 = b 矛盾.所以有 a4 = b .
不妨设 a2 = a3 = = ak = b(k ³ 5) ，
令i = t，j = k + 1 - t(t = 2,3, , k - 1) ，可得 k + 1Î A(b) ，因此 ak +1 = b .
令i = 1, j = k ，则 ak +1 = a 或 ak +1 = b .
ak +1 = b .
所以 a1 + a2 + + an = (n - 1)b + a .

综上， a = b 时， a1 + a2 + + an = na .
a3 = a ¹ b 时， a1 + a2 + + an = (n - 1)a + b .
a3 = b ¹ a 时， a1 + a2 + + an = (n - 1)b + a 15
分