2023年甘肃省张掖市山丹县中考数学第一次联考试卷（含解析）

2023年甘肃省张掖市山丹县中考数学第一次联考试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  脱贫攻坚成果举世瞩目，万农村贫困人口实现脱贫：粮食年产量连续五年稳定在一万三千亿斤以上，万这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  二次函数的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，内接于，是的直径，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，矩形的顶点、分别在直线、上，且，，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是的中线，，分别是，的中点，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  我国古代数学名著孙子算经中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行问人与车各多少？设有人，辆车，则所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  对于实数、，定义一种新运算“”：，这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在长方形中，点为上一点，且，，，动点从点出发，沿路径运动，则的面积与点运动的路径长之间的关系用图象表示大致为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  不等式的解集是______ ．

13.  已知∽，相似比为，且的面积为，则的面积为______ ．

14.  在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．

15.  关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是        ．

16.  如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为          结果保留．

17.  如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为          ．

 

18.  下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成依此规律，第个图案中小正方形的个数为______ 个

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
平移，使点移到点，画出平移后的；
将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出、的坐标．

22.  本小题分
太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯如图，某种型号太阳能路灯的支架与灯柱的夹角，支架米，小明同学在距灯柱米的处，用测角仪测得路灯的仰角为，已知测角仪的高度为米，求路灯距地面的高度结果精确到米，参考数据：，，，
 

23.  本小题分
中国古典长篇小说四大名著是指水浒传、三国演义、西游记、红楼梦这四部巨著，它们承载着无数文化精华，代表了中国古典小说的巅峰，是悠悠中国文学史上灿烂辉煌的一笔甲、乙两人从四大名著中随机选择一本进行研读，假设选择时不受四本名著封面厚度等影响，且每一本被选到的可能性相同．
求甲选择研读三国演义的概率；
若甲先从四本名著中随机选择一本不放回，乙从剩余三本中随机选择一本，求甲、乙两人选到的是三国演义和红楼梦的概率．

24.  本小题分
随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制如图所示的两幅不完整的统计图．

请结合图中所给出的信息解答下列问题：
本次抽样调查的样本容量是______．
补全条形统计图；
若某商场一天内有人次支付记录，估计选择微信支付的人数．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．
 

求反比例函数的表达式；

设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积．

26.  本小题分
如图，在中，，以为直径的与相交于点，过点作，交于点．
求证：是的切线；
若的直径为，，求的长．

27.  本小题分
【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点，试猜想与的数量关系，并加以证明．
【思考尝试】：有同学发现，取的中点，连接可以解决这个问题请在图中补全图形，解答老师提出的问题；
【实践探究】：有同学受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图，在正方形中，为边上一动点点与不重合，当是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．

28.  本小题分
如图，直线与，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，且交轴于另一点．

求，两点的坐标及该抛物线所表示的二次函数的表达式；
如图，若直线为抛物线的对称轴，请在直线上找一点，使得最小，求出点的坐标；
如图，若在直线上方的抛物线上有一动点与，两点不重合，过点作轴于点，与线段交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最小的数是．
故选：．
先根据有理数的大小比较法则比较数的大小，即可得出结论．
本题主要考查了有理数的大小比较，熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：和不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意；
，故选项B符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意；
故选：．
根据同类项的知识可以判断，根据幂的乘方可以判断，根据单项式除以单项式可以判断，根据完全平方公式可以判断．
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：万，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：二次函数可化为，
二次函数的最小值是；
故选B．
把此二次函数化为顶点式或直接用公式法求其最值即可．
此题考查了二次函数的最值，求二次函数的最大小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
．
故选：．
由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出，根据直角三角形两锐角互余得到与互余，即可求得的度数，继而求得的度数．
此题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
首先过点作，由，可求得的度数，易得，继而求得答案．
【解答】
解：过点作，

四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
，
是的中线，
，
故选：．
由题意可知是的中位线，由此可求出的长，再根据中线的定义即可求出的长．
此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
 

8.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据“若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故选：．
根据定义的新运算可得：，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，解分式方程，理解定义的新运算是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：长方形中，
，，
，
，
当点在上运动时，
；
当点在上运动时，
，则，


，
即；
当点在上运动时，
，

即．
所以的面积与点运动的路径长之间的关系用图象表示大致为选项C．
故选：．
根据动点的运动过程可以分三种情况讨论：当点在上运动时，可得；当点在上运动时，可得；当点在上运动时，可得进而对照选项即可判断．
本题考查了用图象表示变量之间的关系，三角形面积，解决本题的关键是根据动点的运动过程分三种情况讨论．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：移项，得：，
合并同类项，得：，
解得：，
故答案为：．
先移项，再合并同类项即可得．
本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：∽，相似比为，
，
的面积为，
，
．
故答案为：．
根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可．
本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

15.【答案】且 

【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且，
的取值范围为且．
故答案为：且．
根据一元二次方程的定义和判别式，得出且，解出不等式，即可得到的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系．一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
      连接，由扇形面积三角形面积求解．本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形为等边三角形与扇形面积的计算．
【解答】解：连接，

，
，
，
为等边三角形，
，，

，
阴影部分的面积为．
故答案为：．  

17.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形为矩形，
，，，
，
又，
∽，
，
是边的中点，，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理的应用．
根据矩形的性质可得出，进而可得出，结合，可得出∽，利用相似三角形的性质可得出，即，利用勾股定理可求出的长度，即可求出的长．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意得：第个图形的小正方体的个数的平方的平方，
故第个图案中小正方形的个数为个．
故答案为：．
分析数据可得：第个图案中小正方形的个数为；第个图案中小正方形的个数为；第个图案中小正方形的个数为；故第个图案中小正方形的个数为个．则第个图形的小正方体的个数的平方的平方
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】先计算乘方，并把特殊三角函数值代入、去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可．
本题考查实数运算，特殊角三角函数，绝对值，熟练掌握实数运算法则与熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
 

20.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】首先运用分式除法法则计算，再运用分式减法法则计算，然后把代入化简式计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图所示：

如图：
，． 

【解析】根据平移的性质作图，即可得出答案；
根据旋转的性质作图，即可得出答案．
本题考查作图平移变换、旋转变换、坐标与图形，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示，过点作于，过点作于，过点作于，则四边形和四边形都是矩形，

，，，
，
，
又，
米，
米，
米，
米，
米，
路灯距地面的高度为米． 

【解析】如图所示，过点作于，过点作于，过点作于，则四边形和四边形都是矩形，先解直角三角形求出的长洁儿求出的长，解直角三角形求出的长即可得到答案．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

23.【答案】解：甲选择研读三国演义的概率为；
把水浒传、三国演义、西游记、红楼梦这四部巨著分别记为、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两人选到的两本名著是三国演义和红楼梦的结果有种，
甲、乙两人选到的两本名著是三国演义和红楼梦的概率为． 

【解析】直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲、乙两人选到的两本名著是三国演义和红楼梦的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用概率公式和用树状图法或列表法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】 

【解析】解：人，
挂答案为：，
现金支付的人数：人，
其它支付的人数：人，补全的条形统计图如图所示：
人，
答：选择微信支付的人数由人．
从统计图中可以得到使用支付宝的人数有人，占调查人数的，可求出调查人数，即样本容量，
求出现金支付人数，其它方式支付人数，即可补全条形统计图，
样本估计总体，样本中使用微信支付的占，估计总体中微信支付的占比也是，用总人数乘以这个占比即可．
考查条形统计图、扇形统计图的制作方法，两个统计图结合起来获取数量和数量之间的关系式解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

25.【答案】解：由得，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式是；
解得或，
，
由直线的解析式为得到直线与轴的交点为，
． 

【解析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，通过方程组求得交点坐标是解题的关键．
联立方程求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
联立方程求得交点的坐标，进而求得直线与轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．
 

26.【答案】证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
半径，
是的切线；
解：如图，

连接，
是的直径，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
的长是． 

【解析】连接，由，，根据等腰三角形的性质可得出：，，进而得出，可证明，进而得证；
连接，可得，根据勾股定理求得，在中，根据三角形的面积公式，列出，进而求得．
本题考查切线的判定，等腰三角形性质，勾股定理以及三角形的面积公式等知识，解决问题的关键是熟练掌握切线相关知识．
 

27.【答案】解：，
理由如下：取的中点，连接，
，分别为，的中点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
如图所示：在上取，连接，

由同理可得，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】，理由如下：如图所示，取的中点，连接，根据已知条件可证明≌，即可得出结论．
如图所示，在上取，连接，根据条件可证≌，得出，由，可得出，即可得出结论．
本题主要考查了三角形全等，等腰直角三角形，熟练掌握三角形全等的判定定理是解此题的关键．
 

28.【答案】解：令，得，即：
令，得，解得，
即：，
把，两点坐标代入得，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
设直线交直线于点，由对称性可知，当，，三点共线时，取得最小值，故直线与直线的交点即为所求，
联立，
解得，
；
设，则，，
，，
由题意可知：点是线段的三等分点，
或
当时，，
即：，
解得：，
经检验：不合题意舍去，
；
当时，
，
即：，
解得：，，
经检验：不合题意舍去，
，
由可知：当点是线段的三等分点时，点的坐标为或． 

【解析】令，可求出点的坐标，令，可求出点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
设直线交直线于点，由对称性可知，当，，三点共线时，取得最小值，故直线与直线的交点即为所求；
设，则，，则，，由题意可知：点是线段的三等分点，分或两种情况讨论即可．
本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求解析式、线段和最值问题、动点问题，解题的关键是表示的坐标及列方程解决问题．