陕西省西安市碑林区2023年中考数学模拟试卷

这是一份陕西省西安市碑林区2023年中考数学模拟试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。



陕西省西安市碑林区2022-2023年中考数学零模试卷
一、选择题
1.的绝对值是（   ）
A. ﹣4      B.       C. 4  D. 0.4
2.下列几何体中，正视图是矩形的是（   ）
A.     B.     C.     D. 
3.下列运算正确的是（   ）
A. a3+a4=a7   B. （2a4）3=8a7   C. 2a3•a4=2a7   D. a8÷a2=a4
4.如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（   ）

A. 40°   B. 50°   C. 60°   D. 140°
5.在一次函数y= ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（   ）
A.  B.  C.  D. 
6.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（   ）

A.     B.     C.     D. 
7.如图，直线l：y=x+2与y轴交于点A，将直线l绕点A旋转90°后，所得直线的解析式为（   ）

A. y=x﹣2  B. y=﹣x+2  C. y=﹣x﹣2  D. y=﹣2x﹣1
8.如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=2AB=4，点H、G分别是边AD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（   ）

A. 1 B. ﹣1 C.  D. 2﹣
9.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（   ）

A. 80°    B. 50°    C. 40°    D. 20°
10.二次函数y=（x﹣1）2+（x﹣3）2与y=（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称，则（a+1）2+（1+b）2的值为（   ）
A. 9      B. 10      C. 20      D. 25
二、填空题
11.分解因式：x2﹣4（x﹣1）=________．
12.一个七边形的外角和是________．
13.计划在楼层间修建一个坡角为35°的楼梯，若楼层间高度为2.7m，为了节省成本，现要将楼梯坡角增加11°，则楼梯的斜面长度约减少________ m．（用科学计算器计算，结果精确到0.01m）．
14.如图，在平面直角坐标系中，点M、N分别为反比例函数y= 和y= 的图象上的点，顺次连接M、O、N，∠MON=90°，∠ONM=30°，则k=________．

15.如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是________．

三、解答题
16.（﹣ ）﹣2﹣（2018﹣π）0﹣| ﹣2|+2sin60°．
17.化简： ．
18.如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）

19.咸阳市教育局为了了解七年级学生参加社会实践活动情况，随机抽取了泰郡区部分七年级学生2015﹣2016学年第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a=________%，并写出该扇形所对圆心角的度数为________，并补全条形图________．
（2）在本次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该区共有七年级学生约4000人，请你估计活动时间不少于6天的学生人数大约有多少？
20.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．

（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
21.给窗户装遮阳棚，其目的为最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，现请你为我校新建成的高中部教学楼朝南的窗户设计一个直角形遮阳蓬BCD，如图，已知窗户AB高度为h=2米，本地冬至日正午时刻太阳光与地面的最小夹角α=32°，夏至日正午时刻太阳光与地面的最大夹角β=79°，请分别计算直角形遮阳蓬BCD中BC，CD的长（结果精确到0.1米）

22.市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买A，B两种风景树共900棵．A，B两种树的相关信息如表：
品种项目
单价（元/棵）
成活率
A
80
92%
B
100
98%
若购买A种树x棵，购树所需的总费用为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若希望这批树的成活率不低于94%，且使购树的总费用最低，应选购A、B两种树各多少棵？此时最低费用为多少？
23.现有一项资助贫困生的公益活动由你来主持，每位参与者需交赞助费5元，活动规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成6个相等的扇形，参与者转动这两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数字，（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一数字为止），若指针最后所指的数字之和为12，则获得一等奖，奖金20元；数字之和为9，则获得二等奖，奖金10元；数字之和为7，则获得三等奖，奖金为5元；其余均不得奖；此次活动所集到的赞助费除支付获奖人员的奖金外，其余全部用于资助贫困生的学习和生活；

（1）分别求出此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；
（2）若此次活动有2000人参加，活动结束后至少有多少赞助费用于资助贫困生？
24.如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．
25.如图已知点A （﹣2，4）和点B （1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．

（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′，C，D为顶点的三角形与△ABC相似．
26.已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=________；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；
（3）如图3，若∠ABC=30°，∠ACD=45°，AC=2，B、D之间距离是否有最大值？如有求出最大值；若不存在，说明理由．

答案解析部分
一、选择题
1.【答案】B
【考点】绝对值
【解析】【解答】 的绝对值是 ．
故答案为：B
【分析】依据负数的绝对值是它的相反数求解即可.
2.【答案】B
【考点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、球的正视图是圆，A不符合题意；
B、圆柱的正视图是矩形，B符合题意；
C、圆锥的正视图是等腰三角形，C不符合题意；
D、圆台的正视图是等腰梯形，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】正视图是从几何体的正面观察所得得到的图形.
3.【答案】C
【考点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】A、不是同底数幂的乘法指数不能相减，A不符合题意；
B、积的乘方等于乘方的积，B不符合题意；
C、单项式乘单项式系数乘系数同底数的幂相乘，C符合题意；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】依据同类项与合并同类项法则可对A作出判断；依据积的乘方法则可对B作出判断；依据单项式乘单项式法则可对C作出判断；依据同底数幂的除法法则可对D作出判断.
4.【答案】B
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】

∵AB∥CD，∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°，
∵DB⊥BC，
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣40°=50°．
故答案为：B．
【分析】首先依据平行线的性质可求得∠3的度数，然后在Rt△CBD中，依据直角三角形两锐角互余求解即可.
5.【答案】B
【考点】一次函数的图象
【解析】【解答】由y= ax﹣a中，y随x的增大而减小，得a＜0，﹣a＞0，
故答案为：B．
【分析】先依据一次函数的性质可得到a＜0，从而可求得a的范围，然后可得到-a＞0，最后，依据一次函数的性质确定出函数图象经过的象限，从而可得到问题的答案.
6.【答案】C
【考点】全等三角形的性质，等腰三角形的性质
【解析】【解答】连接AD，

∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD= ×10=5
∴AD= =12．
∵△ABC的面积是△ABD面积的2倍．
∴2• AB•DE= •BC•AD，
DE= = ．
故答案为：C．
【分析】连接AD，依据等腰三角形的性质可得到AD⊥BC，然后依据勾股定理可求得AD的长，然后再△ABD中利用面积法可求得DE的长.
7.【答案】B
【考点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】∵直线l：y=x+2与y轴交于点A，
∴A（0，2）．
设旋转后的直线解析式为：y=﹣x+b，
则：2=0+b，
解得：b=2，
故解析式为：y=﹣x+2．
故答案为：B．
【分析】先求得点A的坐标为（0，2），由题意可知旋转前后的两条直线相互垂直，依据相互垂直的两条直线的一次项系数乘积为-1可设设旋转后的直线解析式为：y=﹣x+b，最后，将点A的坐标代入求得b的值即可.
8.【答案】C
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．

∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠D=180°﹣∠BCD=60°，AB=CD=2，
∵AM=DM=DC=2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AC=2 ，
在Rt△ACN中，∵AC=2 ，∠ACN=∠DAC=30°，
∴AN= AC= ，
∵AE=EH，GF=FH，
∴EF= AG，
易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为2 ，最小值为 ，
∴EF的最大值为 ，最小值为 ，
∴EF的最大值与最小值的差为 ．
故答案为：C．
【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明出△CDM是等边三角形，从而可得到∠ACD=90°，然后再求出AC，AN，依据三角形中位线定理，可知EF=AG，然后求出AG的最大值以及最小值，从而可得到EF的最大值和最小值.
9.【答案】D
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，
∴ （垂径定理），
∴∠DCF= ∠EOD（等弧所对的圆周角是圆心角的一半），
∴∠DCF=20°．
故答案为：D．
【分析】依据垂径定理的推理可知，最后，再依据圆周角定理可求得∠DCF的度数.
10.【答案】C
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】∵二次函数y=（x﹣1）2+（x﹣3）2与y=（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称，
∴y=（x+a）2+（x+b）2的解析式为：y=（﹣x﹣1）2+（﹣x﹣3）2=（x+1）2+（x+3）2 ，
∴a=1，b=3.
∴（a+1）2+（1+b）2=22+42=20．
故答案为：C．
【分析】依据关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等可得到y=（x+a）2+（x+b）2的函数关系式，从而可得到a、b的值，然后代入计算即可.
二、填空题
11.【答案】（x﹣2）2
【考点】因式分解-运用公式法
【解析】【解答】解：x2﹣4（x﹣1）
=x2﹣4x+4
=（x﹣2）2 ．
故答案为：（x﹣2）2 ．
【分析】先去括号，然后依据完全平方公式进行分解即可.
12.【答案】360°
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：一个七边形的外角和是360°，
故答案为：360°．
【分析】依据任意多边形的外角和为360°求解即可.
13.【答案】0.95
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坡角为35°，楼层间高度为2.7m，
∴楼梯的斜面长度= = ≈4.703（m），
∵将楼梯坡角增加11°后，楼梯的斜面长度= ≈3.755（m），
∴楼梯的斜面长度约减少4.703﹣3.755≈0.95（m），
故答案为：0.95
【分析】根据三角函数的定义分别求出坡角为35°和46°时，楼梯的斜面长度，然后再相减即可.
14.【答案】﹣6
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：分别过M，N作MA⊥x轴于A，NB⊥x轴于B，

∵∠MON=90°，∠ONM=30°，
∴ =tan30°= ，
∵N在第四象限，
∴k＜0，∵∠BON=∠OMA=90°﹣∠MOA，∠MAO=∠OBM=90°，
∴△MOA∽△ONB，
∴ = = = ，
∴BN= OA，OB= MA，
∴k=﹣BM•OB=﹣3OA•MA=﹣3×2=﹣6，
故答案为：﹣6．
【分析】过点M作MA⊥x轴垂足为A，过点N作NB⊥x轴垂足为B，根据30°的正切函数值得到=tan30°，然后再证明△MOA∽△ONB，依据相似三角形的性质可求得BN=OA，OB=MA，由k的几何意义可知k=-BM•OB=-3OA•MA，从而可求得问题的答案.
15.【答案】1
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长EP交BC于点F，

∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，
∴∠EPC=150°，
∴∠CPF=180°﹣150°=30°，
∴PF平分∠BPC，
又∵PB=PC，
∴PF⊥BC，
设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则
CF= CP= b，a2+b2=22=4，
∵△APE和△ABD都是等边三角形，
∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，
∴∠EAD=∠PAB，
∴△EAD≌△PAB（SAS），
∴ED=PB=CP，
同理可得：△APB≌△DCB（SAS），
∴EP=AP=CD，
∴四边形CDEP是平行四边形，
∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a× b= ab，
又∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2≥0，
∴2ab≤a2+b2=4，
∴ ab≤1，
即四边形PCDE面积的最大值为1．
故答案为：1【分析】延长EP交BC于点F，先证明PF⊥BC，然后，再证明四边形CDEP为平行四边形，则四边形CDEP的面积=EP×CF，设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则CF=CP=b，依据勾股定理可知：a2+b2=22=4，于是可判定出ab的最大值.
三、解答题
16.【答案】解：原式=4﹣1﹣2+ + =1+2 ．
【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先依据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质、特殊锐角三角函数值进行化简，然后，再依据实数的加减法则进行计算即可.
17.【答案】解：原式=（ ﹣ ）•
= ﹣
=
=﹣2
【考点】分式的混合运算
【解析】【分析】先将除法转化为乘法，然后再利用平方差公式进行分解，接下来，利用乘法的分配律进行计算，最后，再合并同类项即可.
18.【答案】解：如图，
△ABC为所求作的直角三角形．

【考点】作图—复杂作图
【解析】【分析】作线段AC=b，再过点C作AC的垂线，然后以点A为圆心，以a为半径画弧交此垂线于B，则△ABC就是所要求作的三角形.
19.【答案】（1）10；36°；
（2）解：抽样调查中总人数为100人，
结合条形统计图可得：众数是5，中位数是6．
（3）解：根据题意得：
4000×（25%+10%+5%+20%）=2400（人），
活动时间不少于6天的学生人数大约有2400人．
【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图
【解析】【解答】解：（1）扇形统计图中a=1﹣5%﹣40%﹣20%﹣25%=10%，
该扇形所对圆心角的度数为360°×10%=36°，
参加社会实践活动的天数为8天的人数是： ×10%=10（人），
（2）抽样调查中总人数为100人，
结合条形统计图可得：众数是5，中位数是6．
（3）根据题意得：4000×（25%+10%+5%+20%）=2400（人），
活动时间不少于6天的学生人数大约有2400人．
故答案为：（1）10；36°；（2）众数是5，中位数是6；（3）2400人.
【分析】（1）再扇形统计图中各扇形所占的百分比之和为1，故此可求得a的值，然后依据圆心角的度数=360°×百分比求解即可；，用360°乘以它所占的百分比，根据6天的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以8天的人数所占的百分比，即可补全统计图；
（2）这组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数，将这组数据按照从小到大的顺序排列，中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；
（3）用总人数乘以活动时间不少于6天的人数所占的百分比即可求出答案.
20.【答案】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE=DF；
（2）证明：若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形.
由（1）可知：四边形AEDF为平行四边形.
∴∠FDA=∠EAD.
又∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠DAF=∠FDA．
∴AF=DF．
∴平行四边形AEDF为菱形．
【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的判定
【解析】【分析】（1）先依据平行四边形的定义可知四边形AEDF是平行四边形，然后再依据平行四边形的对边相等进行证明即可；
（2）由（1）可知四边形AEDF是平行四边形，则∠FDA=∠EAD.，再利用AD是角平分线，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AF=DF，从而可证▱AEDF为菱形.
21.【答案】解：根据内错角相等可知，∠BDC=α，∠ADC=β．
在Rt△BCD中，tanα= ．①
在Rt△ADC中，tanβ= ．②
由①、②可得： ．
把h=2，tan32°=0.64，tan79°=7.60代入上式，得BC≈0.2（米），CD≈0.3（米）．
所以直角遮阳蓬BCD中BC与CD的长分别是0.2米和0.3米．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】在Rt△BCD和Rt△ADC中，依据正切函数的定义列出方程组，从而可求得BC和CD的长.
22.【答案】（1）解：由题意，得：y=80x+100（900﹣x）
化简，得：y=﹣20x+90000（0≤x≤900且为整数）；
（2）解：由题意得：92%x+98%（900﹣x）≥94%×900，
解得：x≤600．
∵y=﹣20x+90000随x的增大而减小，
∴当x=600时，购树费用最低为y=﹣20×600+90000=78000．
当x=600时，900﹣x=300，
故此时应购A种树600棵，B种树300棵，最低费用为78000元．
【考点】一次函数的应用
【解析】【分析】（1）设购买A种树x棵，购买B种树（900-x）棵，根据购树的总费用=买A种树的费用+买B种树的费用可得出y与x的函数关系式；
（2）先根据A种树成活的数量+B种树成活的数量≥树的总量×平均成活率列出不等式，得出x的取值范围，然后根据一次函数的性质判断出最佳的方案.
23.【答案】（1）解：列表得：
和
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
∴一共有36种情况，此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的分别有1，4，6种情况，
∴P（一等奖）= ；P（二等奖）= ，P（三等奖）=
（2）解：（ ×20+ ×10+ ×5）×2000=5000，
5×2000﹣5000=5000，
∴活动结束后至少有5000元赞助费用于资助贫困生．
【考点】列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）先依据题意列出表格，列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
（2）总费用减去奖金即为所求的金额.
24.【答案】（1）证明：连接OD与BD.

∵△BDC是Rt△，且E为BC中点，
∴∠EDB=∠EBD．
又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，

若要四边形AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，
又∵BD⊥AC，
∴△ABC为等腰直角三角形．
∴∠CAB=45°．
过E作EH⊥AC于H，
设BC=2k，则EH= ，
∴sin∠CAE= ．
【考点】平行四边形的判定，切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OD与BD，依据直径所对的圆周角为直径可得到∠ADB=90°，然后可证明△BCD为直角三角形，依据直角三角形斜边上中线的性质可得到DE=EB，从而可证明∠EDB=∠EBO，然后再由∠ODB=∠OBD可证明∠ODE=∠EBO=90°；
（2）要证AOED是平行四边形，则DE∥AB，然后再证明△ABC为等腰直角三角形，从而可得到∠CAB=45°，再利用此结论，过E作EH⊥AC于H，求出EH、AE，即可求得sin∠CAE的值.
25.【答案】（1）解：由于抛物线经过A （﹣2，4）和点B （1，0），则有：
，解得 ；
故m=﹣ ，n=4．
（2）解：由（1）得：y=﹣ x2﹣ x+4=﹣ （x+1）2+ ；
由A （﹣2，4）、B （1，0），可得AB= =5；
若四边形A A′B′B为菱形，则AB=BB′=5，即B′（6，0）；
故抛物线需向右平移5个单位，即：
y=﹣ （x+1﹣5）2+ =﹣ （x﹣4）2+ ．
（3）解：由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4；

∵A（﹣2，4），B′（6，0），
∴直线AB′：y=﹣ x+3；
当x=4时，y=1，故C（4，1）；
所以：AC=3 ，B′C= ，BC= ；
由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C；
若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，则：
①∠B′CD=∠ABC，则△B′CD∽△ABC，可得：
，即 ，B′D=3，
此时D（3，0）；
②∠B′DC=∠ABC，则△B′DC∽△ABC，可得：
，即 ，B′D= ，
此时D（ ，0）；
综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（3，0）或（ ，0）．
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得m，n的值，从而可得到抛物线的解析式；
（2）先求得直线AB的解析式，根据平移的性质可得到四边形A A′B′B为平行四边形，若四边形A A′B′B为菱形，则AB=BB′，由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式．
（3）先求得直线AB′的解析式，然后可求得点C点的坐标，接下来，再求出AB、BC、AC、B′C的长；在（2）题中已经证得AB=BB′，那么∠BAC=∠BB′C，即A、B′对应，若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，可分两种情况考虑：①∠B′CD=∠ABC，此时△B′CD∽△ABC，②∠B′DC=∠ABC，此时△B′DC∽△ABC，最后，再根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的BD长，从而可求得D点的坐标.
26.【答案】（1）45°
（2）解：如图2，以AB为边在△ABC外作等边三角形△ABE，连接CE．

∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．
即∠EAC=∠BAD
∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5．
∴BD=5．
（3）解：如图3中，在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O．

∵∠ABC= ∠AOC=30°，
∴点B在⊙O上运动，
作OE⊥DA交DA的延长线于E．
在Rt△AOE中，OA=AC=2，∠EAO=30°，
∴OE= OA=1，AE= ，
在Rt△ODE中，DE=AE+AD=2+ ，
∴DO= = = + ，
当B、O、D共线时，BD的值最大，最大值为OB+OD=2+ + ．
【考点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）解：（1）如图1中，

∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．∠DAB+∠ABC=180°．
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC．
∵∠DAC=2∠ABC，
∴2∠ABC+2∠ABC=180°，
∴∠ABC=45°
（2）如图2，以AB为边在△ABC外作等边三角形△ABE，连接CE．

∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．
即∠EAC=∠BAD
∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5．
∴BD=5．
（3）如图3中，在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O．

∵∠ABC= ∠AOC=30°，
∴点B在⊙O上运动，
作OE⊥DA交DA的延长线于E．
在Rt△AOE中，OA=AC=2，∠EAO=30°，
∴OE= OA=1，AE= ，
在Rt△ODE中，DE=AE+AD=2+ ，
∴DO= = = + ，
当B、O、D共线时，BD的值最大，最大值为OB+OD=2+ + ．
故答案为：（1）45；（2）5；（3）2++.
【分析】（1）依据等角对等边的性质可得到∠D=∠ACD，然后平行四边形的性质得∠D=∠ABC，接下来，在△ACD中，由内角和定理求解即可；
（2）在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE；
（3）在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O．首先说明点B在⊙O上运动，当B、O、D共线时，BD的值最大，求出OD即可解决问题.