2022-2023学年河北省石家庄四十中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄四十中七年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  若关于的不等式的解集是，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  数据用科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各式中，计算结果为的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在解关于、的二元一次方程组时，若可以直接消去未知数，则和的关系是(    )

A. 互为倒数 B. 互为相反数 C. 大小相等 D. 无法确定

6.  如图，，，，点是线段上的动点，则、两点之间的距离可能是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，能判定的条件是(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  如图，平移得到，其中点的对应点是点，则下列结论中不成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，直线，相交于点，，垂足为点若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如果的乘积中不含的一次项，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

11.  算式的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  当为自然数时，一定能被下列哪个数整除(    )

A.  B.  C.  D.

13.  已知，为任意有理数，记，，则与的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

14.  关于，的方程组的解中与的差不小于，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

15.  利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图方式放置，再交换两木块的位置，按图方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是(    )

A.  B.  C.  D.

16.  数学课上，老师要求同学们利用三角板画出两条平行线，老师展示了甲、乙两位同学的画法如下：
甲的画法：

乙的画法：

请你判断两人的作图的正确性(    )

A. 甲正确，乙错误 B. 甲错误，乙正确 C. 两人都正确 D. 两人都错误

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

17.  已知是方程的解，则代数式的值为______．

18.  如图，已知直线，，则______．
 

19.  如图，将长方形的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为，面积之和为，则长方形的面积为______ ．

20.  如图，在三角形中，，，边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置即旋转角，在旋转过程中图，当时，旋转角为______度；当所在直线垂直于时，旋转角为______度．
 

三、解答题（本大题共5小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
；
；
运用整式乘法公式进行计算：；
解不等式组，并求其整数解．
先化简，再求值：，其中，．

22.  本小题分
已知：如图，，，，，求证：．
证明：，已知，
，垂直定义，
，
______ ，
______ ______ ，
已知，
______ 等量代换，
______ ，
______ ______ ，
已知，
垂直定义，
______ 等量代换，
垂直定义．

23.  本小题分
两个边长分别为和的正方形如图放置图，其未叠合部分阴影面积为若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形图，两个小正方形叠合部分阴影面积为．

直接用含，的代数式分别表示图、：则： ______ ， ______ ；
若，，求的值；
当时，求出图中阴影部分的面积．

24.  本小题分
骑行过程中佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害某商店经销进价分别为元个、元个的甲、乙两种安全头盔，表是近两天的销售情况：进价、售价均保持不变，利润售价进价

求甲、乙两种头盔的销售单价．
若某企业计划恰好用元在该商店购进甲、乙两种头盔两种均买作为员工福利发放，请问该企业有几种采购方案？
若商店准备用不多于元的资金再购进这两种头盔共个，最多能购进甲种头盔多少个？
在的条件下，商店销售完这个头盔能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的进货方案；若不能，请说明理由．

25.  本小题分
已知直线分别交直线，于点，，且．

如图，求证：；
如图，点、分别在射线、上，点、分别在射线、上，连接，，且，分别延长，交于点，求证：；
如图，在的条件下，连接，平分，且平分，若，直接写出的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示如下：
．
故选：．
先求出一元一次不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可．
本题主要考查解一元一次不等式组以及在数轴上表示解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤，学会在数轴上表示不等式组的解，是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：的解集是，
原不等式两边同时除以，不等号方向改变，
，解得．
故选：．
根据不等式的解集是，得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质，是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边起第一个不为零的数是，其前面有个零，因此．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，符合题意，故选项正确．
B、，不符合题意，故选项错误．
C、，不符合题意，故选项错误．
D、，不符合题意，故选项错误．
故选：．
根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则以及合并同类项的知识分别计算，即可判断．
本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则以及合并同类项，属于基础题，掌握运算法则是解题的必要能力．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
可以直接消去未知数，
，
则和的关系是互为相反数，
故选：．
根据加减消元法即可得．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，点是线段上的动点，
，
．
故选：．
点是线段上的动点，根据垂线段最短以及的长，可得，进而可得答案．
本题主要考查了垂线段的性质，解题的关键是掌握垂线段最短．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，根据内错角相等，两直线平行，可以得出，故本选项正确．
B、不能判断出，故本选项错误；
C、只能判断出，不能判断出，故本选项错误；
D、不能判断出，故本选项错误；
故选：．
在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
 

8.【答案】 

【解析】解：平移得到，
，，，，
故D项不成立．
故选：．
利用平移的性质得到，，，．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行或共线且相等．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了角的计算，垂线以及对顶角，正确得出的度数是解题关键．
首先利用垂直的定义得，则可求的度数，再根据对顶角的性质即可得出答案．
【解答】
解：，
，
，
，
．
故选B．  

10.【答案】 

【解析】解：的乘积中不含的一次项，
中，，
，
故选：．
直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为，求解即可．
本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算．
 

11.【答案】 

【解析】解：


．
故选：．
直接利用乘法的意义，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：


，
当为自然数时，一定能被整除，
故选：．
先将代数式分解因式，进而可求解．
本题主要考查因式分解的应用，将整式分解因式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】分析
首先求出，进而判断与的大小关系．
此题主要考查了完全平方公式的应用以及偶次方的性质，得出是解题关键．
详解
解：，，
，
，
．
故选B．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
根据题意得：，
解得：．
故选：．
由两式相减，得到，再根据 与  的差不小于列出不等式即可求解．
本题考查二元一次方程组的解和解一元一次不等式，将两式相减得到与的差是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设长方体长，宽，桌子的高为，由题意，得
，
解得：，
．
故选：．
设长方体长，宽，桌子的高为，由图建立方程组求出其解就可以得出结论．
本题考查了运用列三元一次方程组解决实际问题的运用及方程组的解法的运用，在解答时设参数建立方程是关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：对于甲的画法：通过平移含角的三角尺得到同位角相等，则可判断，所以甲的作图正确；
对于乙的画法：利用画法得到内错角相等，则可判断，所以乙的作图正确．
故选：．
根据平移的性质，利用同位角相等两直线平行可对甲的画法的正确性进行判断；利用内错角相等两直线平行可对乙的画法的正确性进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与平移的性质．
 

17.【答案】 

【解析】解：把代入得：，
则原式


．
故答案为：．
把与的值代入方程计算得到的值，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了二元一次方程的解，以及代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

18.【答案】 

【解析】解：在中，，，
则，
，


又
，
故答案为：．
根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是平行线的性质、直角三角形的性质，掌握两直线平行、同位角相等是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：设，，
由题意得：，
化简得：，
将两边平方再减去得：，
，即长方形的面积为，
故答案为：．
设，，由题中周长和面积的关系，得关于和的二元二次方程组，根据完全平方公式及方程之间的关系，可得答案．
本题考查了完全平方公式在几何问题中的应用，根据题意正确列方程组并运用完全平方公式化简是解题的关键．
 

20.【答案】或  或 

【解析】解：在三角形中，，，
，
如图，当时，旋转角，当时，，
旋转角，
综上所述，当时，旋转角为或；
如图，当时，，
旋转角，
当时，旋转角，
综上所述，当时，旋转角为或；
故答案为：或；或．
在三角形中，根据三角形的内角和得到，如图，当时，根据平行线的性质即可得到结论；如图，当时根据垂直的定义和周角的定义即可得到结论．
本题考查了多边形的内角和外角，平行线的性质，正确的画出图形是解题的关键．
 

21.【答案】解：

；




；


；
解不等式，得：；
解不等式，得：；
该不等式组的解集为，
满足该不等式组的整数解为，，，．
原式

；
当，时，
原式． 

【解析】先运算幂的乘方，然后合并解题；
按照实数的运算法则解题即可；
先用平方差公式计算，再合并解题即可；
先解不等式组求解集，然后写出符合的整数即可；
运用整式的乘法公式化简，然后代入数值计算．
本题考查整式的乘法，解不等式组，实数的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
 

22.【答案】同旁内角互补，两直线平行    两直线平行，内错角相等    同位角相等，两直线平行    两直线平行，同位角相等   

【解析】证明：，已知，
，垂直定义，
，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
已知，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
已知，
垂直定义，
等量代换，
垂直定义．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行，，两直线平行，内错角相等，，同位角相等，两直线平行，，两直线平行，同位角相等，．
利用平行线的判定和性质，进行作答即可．
本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：由图可得，，；
故答案为：，；
根据题意由图可知：；
，，
；
根据题意由图可知：，
，
．
根据题意由图可知：，；
根据题意由已知可得；
根据题意由图可知：，再由即可求解．
本题考查整式的混合运算，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式，并能灵活运用公式是解题的关键．
 

24.【答案】解：设甲、乙两种头盔的售价分别是元个、元个，
则，
整理得：，
解得，
答：甲、乙两种头盔的售价分别是元个，元个；
设企业恰好用元在该商店购进个甲头盔、个乙头盔，
根据题意得：，
整理得：，即，
两种头盔均要买，
，均为正整数，
，或，或，或，
该企业有种采购方案；
设购进甲种头盔个，则购进乙种头盔个，
则，解得．
答：甲种头盔最多购进个；
不能实现获利元的目标，理由如下：
设购进甲种头盔个，则解得．
根据中甲种头盔最多购进个，
不能实现利润为元的目标． 

【解析】设甲、乙两种头盔的售价分别是元个、元个，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
设企业恰好用元在该商店购进个甲头盔、个乙头盔，即可得二元一次方程：，根据，均为正整数，即可求解；
设购进甲种头盔个，则购进乙种头盔个，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解；
设购进甲种头盔个，列出一元一次方程，解方程即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用等知识，明确题意，正确列出相应的方程或不等式，是解答本题的关键．
 

25.【答案】证明：，，
，
；
证明：过点作，如图，

，，
，
，，
，
，
即，
；
．
理由如下：过作，过作，如图，

，，，
，
平分，，
，
，
设，，
平分，

，，
，
，
，
，，
，
即，解得，
． 

【解析】利用，再利用等量代换，即可解决；
过作，因为，所以，则，代入即可解决．
过作，过作，可以得到，设，，利用平行线的性质，用含的代数式表示出各个角，利用方程思想解决问题．
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质进行计算．