冲刺模拟试卷06-2023年高考数学考前高分冲刺模拟卷（新高考专用）

2023年高考数学考前冲刺模拟试卷06

全解全析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】因为，

所以复数在复平面内对应的点为，该点在第四象限.

故选：D.

2．设，已知两个非空集合，满足则（    ）

A．          B．               C．            D．

【答案】B

【解析】如图所示P，Q，

满足＝R，即PQ

故选：B

3．平面向量满足，且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】因为，

所以，

因为，

所以，

故选：C

4．数学中有些优美的曲线显示了数学形象美､对称美､和谐美，曲线：就是四叶玫瑰线，则不等式表示区域所含的整点(即横､纵坐标均为整数的点)个数为（    ）

A．1 B．4 C．5 D．9

【答案】C

【解析】因为，所以可化为，

得，圆含9个整点，

经检验，只有和共5个整点满足.

故选：C

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，

∴，

故选：A.

6．已知，，，则p，q，r的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】，，，

，，，

，

由基本不等式可得：，

则，

，

，则，

，

，

故选：D.

7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，

则，所以，

又，则，所以，

所以甲圆锥的高，

乙圆锥的高，

所以.

故选：A.

8．已知，，，则（    ）

A. a＞b＞c B. a＞c＞b

C. b＞c＞a D. c＞b＞a

【答案】A

【解析】，，两边取对数得：，，，

令，，

则，

令，，

则在上恒成立，

所以在上为增函数，

因为当时，恒成立，

所以在上恒成立，

故在上恒成立，

故在上单调递增，

所以，故，

即，

因为在上单调递增，所以.

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的是（    ）

A. 当总体是由差异明显的几个部分组成时，通常采用分层抽样的方法抽样

B. 若的二项展开式共有9项，则该展开式中各项二项式系数之和为256

C. 10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为

D. 已知一组数据的方差为4，则数据的标准差为8

【答案】ABD

【解析】对于A, 根据分层抽样的定义可知，当总体是由差异明显的几个部分组成时，通常采用分层抽样的方法抽样,故A正确；

由于的二项展开式共有9项，故，故各项二项式系数之和为，故B正确；

对于选项C，恰好取到1件次品的概率为，故C错误；

一组数据的方差为4，则数据的方差为，故标准差为8，故选项D正确.

故选：ABD.

10． 已知是函数的一个零点，则（    ）

A. 在区间单调递减

B. 在区间只有一个极值点

C. 直线是曲线的对称轴

D. 直线是曲线的切线

【答案】ABD

【解析】由题意得，所以，，即，，

又，所以时，，故，

选项A：当时，，由正弦函数图象可得在上单调递减，正确；

选项B：当时，，由正弦函数图象可得只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点，正确；

选项C，当时，，，故直线不是对称轴，错误；

选项D，由得，

所以或，，解得或，，

所以函数在点处的切线斜率为，

切线方程为即，正确；

故选：ABD

11．已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（    ）

A. 四边形面积的最大值为2 B. 四边形周长的最大值为

C. 为定值 D. 四边形面积的最小值为8

【答案】AB

【解析】依题意，，解得，即抛物线：，焦点，直线，与坐标轴不垂直，

因为，，则四边形为矩形，则，

由，得，当且仅当时，等号成立，

所以四边形面积的最大值为2，故A正确．

由，当且仅当时，等号成立，得，

所以四边形周长的最大值为，故B正确．

设直线的方程为，，，，

联立消得，则

则，

同理，所以，故C不正确．

，所以，当且仅当时，等号成立，此时，故D不正确．

故选：AB.

12．如图，正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，则下列结论正确的有（    ）

A. 沿正方体的表面从点到点的最短路程为

B. 保持与垂直时，点的运动轨迹长度为

C. 若保持，则点的运动轨迹长度为

D. 当在点时，三棱锥的外接球表面积为

【答案】BD

【解析】对于，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，

连接，则，故错误；

对于，因为平面，平面，，又，平面，

所以平面，平面，

所以，同理可得，平面，

所以平面，

所以过点作交交于，过作交交于，

由，可得，平面，平面，

所以平面，同理可得平面，，

则平面平面，

设平面交平面于，则的运动轨迹为线段，

由点在棱上，且，可得，

所以，故B正确；

对于，若，则在以为球心，为半径的球面上，

过点作平面，则，此时，

所以点在以为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为，

点的运动轨迹长度为，故错误；

对于D，以为坐标原点，所在直线分别为轴建系，

则，设三棱锥的外接球球心为，由得，

，

解得：，

所以三棱锥的外接球半径，

所以三棱锥的外接球表面积为，D正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在二项式的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，项的系数是__________．（用数字作答）

【答案】135

【解析】在中，令得所有项的系数之和为，依题意，，解得，

因此的展开式的通项为，

令得：，

所以项的系数是135.

故答案为：135

14.已知是定义在上的偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为______．

【答案】

【解析】由是定义在上的偶函数，

当时，，

可得时，，

所以当时，的导数为，

则曲线在点处的切线的斜率为，切点为，

则切线的方程为，所以

故答案为：

15.已知，则____________.

【答案】

【解析】因为，所以，

因为，所以，

所以，

所以，

所以，

故答案为：.

16．已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率________

【答案】

【解析】设,，设的中点为，

由于，故,因此为直角三角形，故，

由于，所以，进而可得，故 或，

由在双曲线渐近线上，所以，

进而，

当时，,，所以，

当时，,，所以不符合题意，舍去，

综上：故离心率为，

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知的内角，，的对边分别为，，，面积为，满足．

(1)证明：；

(2)求所有正整数，的值，使得和同时成立．

【答案】(1)证明见解析(2)，

【解析】(1)因为，

所以，即．

因为，，所以．

由正弦定理得，其中为的外接圆半径，

所以．

(2)由，可知，

则由正、余弦定理得到，

化简得．

因为，，所以，

即，

因为，均为正整数，所以，.

18．已知数列{}满足

（1）求数列{}的通项公式；

（2）设，数列{}的前n项和为Tn，若，求m.

【答案】（1）    （2）

【解析】（1）因为①，

则当时，则，

当时，得②，

则①②得，则，又满足上式，

所以数列{}的通项公式为

（2）

所以

化简得：

，解得.

19．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析.    （2）.

【解析】（1）由题意，

取分别为棱的中点, 连接,

则;

∵, 且,

∴ 且,

∴四边形为平行四边形, 故.

∵为棱的中点,

∴;

∵, 平面底面, 平面底面,

∴平面,

∵平面,

∴;

又,且在平面内

∴平面.

∵,

∴平面,

又∵平面,

∴平面平面.

（2）由题意及（1）得，

取中点为, 连接,

∵为等边三角形,

∴

∵平面底面,

∴底面,

过作, 交于点, 则;

以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,

设， 则,

则,

由（1）可知平面 故平面的法向量取,

设平面的法向量为,

由, 解得,

令, 得,

设平面与平面的夹角为,

∴,

∴平面与平面夹角的余弦值为.

20．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：

经计算得：=36.33，=112.85.

（1）根据以上数据，建立y关于x的回归方程（为自然对数的底数）.

（2）云计算为企业降低生产成本､提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差，其中m为单件产品的成本（单位：元），且=0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差.若保持单件产品的成本不变，则将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？

附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，.

若，则，，

【答案】（1）    （2），成本下降3元.

【解析】（1）因为，所以，

所以，

所以，

所以.

（2）未引入云算力辅助前，，所以，

又，所以，所以.

引入云算力辅助后，，所以，

若保持产品成本不变，则，

所以

若产品质量不变，则，所以，

所以单件产品成本可以下降元.

21．已知M，N分别是x轴，y轴上的动点，且，动点P满足，设点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的轨迹方程；

(2)直线：与曲线C交于A，B两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合），倾斜角为的直线经过点G，与曲线C交于E，F两点．若的值与点G的位置无关，求的值．

【答案】（1）;    （2）1

【解析】

（1）设，，则．

设，则，．

由题意得，解得，

所以，化简得，

即曲线C的方程为．

（2）证明：由，解得或，（不妨设点A在第一象限），所以，．

设点，其中，则，，所以．

若直线的斜率不存在，则直线的方程为，

此时，，故不为定值．

若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为．

将直线的方程代入曲线C的方程化简、整理，得．

设，，则，，

所以

，

故．

因为的值与m的值无关，所以，解得，

所以，所以G是EF的中点，即．

所以．

22．已知函数，为函数的导函数

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，若，，且，证明：.

【答案】（1）答案见解析    （2）证明见解析

【解析】（1）因为定义域为，

则，即，

所以，

当时恒成立，所以在上单调递增，

当时，令解得，令解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

综上可得，当时在上单调递增，

当时在上单调递增，在上单调递减.

（2）证明：当时，

所以，，

所以，

令，则，所以当时，当时，

即在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，所以在上单调递增，

不妨设，因为，所以有①或②两种情况，

当①时，因为在上单调递增，

所以，所以，

当②时，由，得，所以，

则，

由，所以，

令，，

则，

所以，即在上单调递减，且当趋向于1时趋向于0，则，

所以，则，即，

综上可得当，，且时，.