【2023届新高考数学考前模拟冲刺卷】 模拟冲刺仿真卷05 （新高考通用）解析版

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绝密★考试结束前
【2023届新高考考前模拟冲刺卷】 模拟冲刺仿真卷05 （新高考通用）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

2023年高考临近，在原有江苏省、广东省、湖南省、湖北省、山东省等10个省市纳入新高考范围基础上，浙江省高考数学今年从新高考自主命题卷调整为新高考全国卷，安徽省、山西省、吉林省、黑龙江省、云南省，5省高考数学今年从老高考全国卷调整为新高考全国卷，针对新高考出题的最新动态和命题趋势，特推出《2023届新高考考前模拟冲刺卷》以供大家参考！
一、2023高考四大趋势
❶落实立德树人，鲜明体现时代主题
❷高考由“考知识”向“考能力”转变
❸聚焦“关键能力”和“思维品质”的考察
❹高考由“以纲定考”到“考教衔接”转变 
数学：出题方式发生重大变化，数学考试出题将加入复杂情景，重点强调数学思维方法考察，比以往的数学难度更大。
二、2023年新高考数学命题方向
❶新高考数学卷以情境作为依托，呈现出新气象，营造出“理念新、内容新、结构新”的新氛围。
❷新高考卷预期会继续强化情境类试题的命制，侧重知识的应用性:情境类试题可以分为:课程学习情境、探索创新情境、生活实践情境。
❸任意板块知识均有可能命制压轴题，不固化试题的位置;
❹小题的最后两题不再是函数唱主角，数列、三角、立体几何、新定义等内容将登场
❺旧教材有而新教材删减的内容，原则上不会考查，新高考主干知识的试题量明显增加。
三、2022年新高考卷试题整体分析
今年数学新高考Ⅰ卷，难度堪称十几年来的最高，今年数学新高考Ⅰ卷试题难度大，主要体现在基础性题型偏少，难题量比往年增加，总体计算量比往年增加较大。今年新高考Ⅰ卷题型难中易比例大概4:3:3，体现出综合性、创新性的考查。在考查学科素养方面，突出理性思维和数学运算的考查。在试题的设置上，体现了数学思维的灵活性以及数学思想方法的应用，增加了综合性、探究性和创造性试题内容，突出数学学科在高考中的选拔性功能。今年数学新高考Ⅰ卷高考很好的贯彻了深化考试内容改革. 试题设置上，给人第一感觉就是中规中矩，考题中没有出怪题、偏题，但真正在两个小时内要完成考卷，考出理想分数却是非常不容易，其中，除了考题总体计算量偏大外，更加体现了命题者在问题设置、考查的角度上非常有考究。试题从考查的知识点来看，都是高中数学的主干知识，但题目的问法更加灵活，这就意味着我们更加需要重视学生对数学知识的理解和思维能力的培养。
四、2023年高考备考建议
❶重视教考衔接
❷研究高考命题方向
❸夯实基础，落实“四基”
❹加强学生运算素养的培养
❺重视学生思维的训练
2022年新高考数学卷，很好地落实了“立德树人，服务选才，引导教学”的核心功能，坚持高考的核心价值，突出学科特色，重视数学本质，体现新课改理念.试卷的灵活性难度有所提高，计算量也相对偏大，对学生的心理素质要求较高。此外，试卷命题符合高考评价体系要求，很好地发挥了高考的选拔功能，对中学数学教学改革发挥了积极的导向作用。我们教师要指导学生从整体上架构起高中知识体系，系统学习各章节知识，打通各个章节的联系，综合学习和运用所学知识，才能在考试时游刃有余。2023年新高考数学备考中，大家一起加油，为学生决战高考保驾护航。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由二次函数的性质求出集合，先求补集再求交集即可.
【详解】因为，，
所以，，
故选：A.
2．若函数为奇函数，则实数的值为（    ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，计算可得，经检验均符合题意，即可得解.
【详解】由为奇函数，
所以，
所以，可得，
解得，
当时，的定义域为，符合题意，
当时，的定义域为符合题意，
故选：D
3．已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（    ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】根据正态曲线的对称性可判定乙､丙一定都正确，继而根据正态曲线的对称性可判断甲和丁，即得答案.
【详解】因为只有一个假命题，故乙､丙只要有一个错，另一个一定错，不合题意，
所以乙､丙一定都正确，则，
故甲正确，
根据正态曲线的对称性可得，故丁错.
故选：D.
4．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出平移后的函数解析式，利用对称性可得的最小值.
【详解】因为函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数解析式为；
由函数的图象关于轴对称，所以，
即，
因为，所以当时，取到最小值.
故选：B.
5．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4，5，的长方体，求出其体对角线长即可求解作答.
【详解】三棱锥中，，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，


设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，
因此三棱锥外接球的直径为，
所以三棱锥外接球的表面积为．
故选：A
6．对于无穷数列，给出下列命题：
①若既是等差数列，又是等比数列，则是常数列；
②若等差数列满足，则是常数列；
③若等比数列满足，则是常数列；
④若各项为正数的等比数列满足，则是常数列．
其中正确的命题个数是（    ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①设出公差和公比，列出方程，求出公差为0，公比为1，得到是常数列；
②假设，得到无最大值，推出矛盾，从而得到是常数列；
③举出反例即可；
④首先推出，假设，得到无最大值，所以，是常数列．
【详解】①因为既是等差数列，设的公差为，
则相邻的三项为，
因为又是等比数列，则，设公比为，
则相邻的三项为，
所以①，
②，
两式相减得：③，
将③代入①中，，
因为，
所以，
解得：，则，
所以是常数列，①正确；
②因为等差数列为无穷数列，假设，则无最大值，不满足，
所以假设不成立，即，所以是常数列，②正确；
③考虑，能够满足，而不是常数列，③错误；
④设各项为正数的等比数列的公比为，
因为，
所以，则，
若，则无最大值，不合题意，
所以，进而是常数列，④正确．
故选：C
7．已知椭圆：的两条弦相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，进而得的坐标，进而根据对称性得，再代入椭圆方程整理得，最后求解离心率即可.
【详解】解：设，则，，
由题知关于x轴对称，关于轴对称，
所以，，即，，
所以，
所以，即，
所以，即，
所以椭圆的离心率为.
故选：B

8．设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围，利用基本不等式判断的范围，构造新函数并利用导数讨论函数的单调性求出的范围，进而得出结果.
【详解】由，得，即，所以，
所以，则，即；
由，即；
设，则，
所以在上单调递增，且，
所以当时，即，
当时，即，
又，则，
所以，即，
综上，.
故选：A

二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 2 分）
9．新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如下：

根据该图数据，这7次人口普查中（    ）
A．城镇人口数均少于乡村人口数
B．乡村人口数达到最高峰是第4次
C．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次
D．城镇人口总数逐次增加
【答案】BCD
【分析】根据图中数据，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：2020年，城镇人口比重为，即城镇人口数高于乡村人口数，故A错误；
对于B：由图可得，乡村人口数达到最高峰是第4次，故B正确；
对于C：第二次与第一次相比，城镇人口比重增量为，
第三次与第二次相比，城镇人口比重增量为，
第四次与第三次相比，城镇人口比重增量为，
第五次与第四次相比，城镇人口比重增量为，
第六次与第五次相比，城镇人口比重增量为，
第七次与第六次相比，城镇人口比重增量为，
所以和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次，故C正确；
对于D：由图象可得：城镇人口总数逐次增加，故D正确.
故选：BCD
10．已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出，，三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.
【详解】设，，
，，
，，

对于A，，故选项A正确；
对于B， ，，故选项B正确；
对于C，，
当时，，故选项C错误；
对于D， ，
可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，故选项D错误.
故选:AB.
11．已知点，，点P为圆C：上的动点，则（    ）
A．面积的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】BCD
【分析】对于A，点P动到圆C的最低点时，面积的最小值，利用三角形面积公式；对于B，当点P动到点时，取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；对于D，利用平面向量数量积的几何意义进行求解.
【详解】，
圆C是以为圆心，为半径的圆.

对于A，面积的最小值为点P动到圆C的最低点时，，
，故选项A错误；
对于B，连接交圆于点，当点P动到点时，取到最小值为，故选项B正确；
对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，设切点为,，，
，故选项C正确；
对于D，，当点P动到点时，取得最大值，即在上的投影，，故选项D正确；
故选：BCD.
12．已知，且，，是在内的三个不同零点，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意结合余弦函数的图像性质，解出，，，即可判断选项A、B，将根据诱导公式化为，分子分母同乘，结合倍角公式即可判断C，将通过诱导公式化为，再将分子分母同乘，结合积化和差公式进行化简即可判断D.
【详解】解：由题知，，是的三个根，
可化为，即，
所以可得或，，
解得或，，
因为，所以不成立，
当，成立时，取，解得，
取，解得，取，解得，
取，解得（舍），
故，，，
所以选项A正确；
因为，所以选项B错误；



，
故选项C正确；
而



，
根据积化和差公式：，
所以原式可化为：


，故选项D正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有：
（1）利用诱导公式将角化为关系比较接近的；
（2）遇见的形式，分子分母同乘，再用倍角公式化简；
（3）积化和差公式：，，，.

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．强基联盟体中，，，四所兄弟学校开展选考7个学科教研交流活动．，，每校承担两个学科，校承担技术学科，校不承担物理化学两个学科，校不承担政治历史两个学科，则这次教研交流活动不同的安排方案共有___________种．
【答案】19
【分析】按照A校是否承担政治、历史学科分为四类，分别计数，最后利用加法计数原理求解.
【详解】校承担技术学科，故只需再安排，，每校承担两个学科即可.
当A承担政治与历史两个学科时，共种方案(B再从其他4科中选2科)；
当A承担政治，且不承担历史学科时，共种方案(A只能从生物与地理中任选1科，B也不选历史，再从其他3科中选2科)；
当A承担历史，且不承担政治学科时，也共种方案(与上一类相同)；
当A不承担历史，且不承担政治学科时，A只能承担生物与地理，B只能承担物理与化学，只1种情况；
综上，共有种.
故答案为：19.
【点睛】应用分类加法计数原理解决实际问题的步骤：
（1）审题：认真阅读题设条件，理清题目要求；
（2）分类：依据题设条件选择分类标准，做到不漏不重；
（3）整合：整合各类情况利用加法计数原理得出结论.
14．已知向量，则夹角的余弦值是__________.
【答案】
【分析】利用向量数量积公式求出，从而求出.
【详解】，
因为，所以，
.
故答案为：.
15．已知抛物线，O为原点，F为抛物线C的焦点，点A，B为抛物线两点，满足，过原点O作交AB于点D，当点D的坐标为，则p的值为_________．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出直线AB的方程，与抛物线方程联立借助韦达定理、向量垂直的坐标表示求解作答.
【详解】直线OD的斜率为，而，则直线AB的斜率为，直线AB的方程为，即，
由消去x并整理得：，设，则，
因，则，解得，
所以p的值为.
故答案为：
16．从x轴上一点A分别向函数与函数引不是水平方向的切线和，两切线、分别与y轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记的面积为，的面积为，则的最小值为_____．
【答案】8
【分析】分别求出两个函数的导函数，设出两切点坐标，得到两切线方程，设出A的坐标并代入切线方程，把两切线与y轴的交点用A的坐标表示，求出面积，然后利用导数求最小值．
【详解】解：由，，得，，
设点为，则和的方程分别为，，
分别代入并整理得，，，解得：，．
，与y轴的交点坐标分别为，
．
由，解得．当时，；
当时，．
当时S有最小值为8．
故答案为：8．

四、 解答题（本题共 6 小题，其中 17 题 10 分，18、19、20、21、22 题各 12 分， 共 70 分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
(1)求;
(2)若,求外接圆的半径R．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)将写为代入化简可得,根据,即可得;
(2) 由正、余弦定理可将化简为,进一步化简可得,结合,再根据正弦定理即可得外接圆半径.
【详解】（1）解:因为,
所以
,
所以,因为,
所以,所以,又,
所以;
（2）因为,
所以在中,由正、余弦定理得:
,
所以,故,
由正弦定理得,
所以外接圆半径为.
18．设数列的前n项和为，已知．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若数列满足，，求数列的前14项的和．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据已知得出，结合前项和与通项的关系将已知与得出的式子两式做减，再化简即可得出，即可证明；
（2）根据（1）得出，结合已知即可得出当为偶数时，即，将数列的前14项从第2项开始两两分组，再结合等比数列求和公式即可得出答案.
【详解】（1），
则，
，得，即，
，即
令中，得，解得，则
是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，则，
，且，
当为偶数时，，即，
，
，
．
19．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．

抗体
指标值

合计
小于60
不小于60
有抗体



没有抗体



合计





(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；
（ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X =99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n．
参考公式：（其中为样本容量）

0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024


【答案】(1)表格见解析，可以认为
(2)（i）；（ii）109或110．

【分析】(1)根据独立性检验的方法求解即可；
(2)根据二项分布的概率公式列出不等式即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只），
在内有（只）．
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；
而指标值小于60的小白鼠共有只，
所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
故列联表如下：单位：只
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200

零假设为:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联．
根据列联表中数据，得，
根据的独立性检验，推断不成立，
即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，
此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，
事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，
事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，
记事件A，B，C发生的概率分别为，
则，，
，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率，
（ii）由题意，知随机变量，
，
因为最大，
所以，
解得
是整数，所以或，
接受接种试验的人数为109或110．
20．如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．

(1)若为的中点，证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）如图根据题意和圆台的结构可知平面平面，有面面平行的性质可得，根据相似三角形的性质可得为中点，则，结合线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面、平面的法向量，结合空间向量数量积的定义和同角的三角函数关系计算即可求解.
【详解】（1）如图，连接．
因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且，
所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面.
在圆台中，平面平面，
由平面平面，平面平面，得.
又，所以，
所以，即为中点．
在中，又M为的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面；
（2）以为坐标原点，分别为轴，过O且垂直于平面的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以．
则．
因为，所以．
所以，所以．
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，又，
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，
所以．
设二面角的大小为，则，
所以．
所以二面角的正弦值为.
.
21．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为.斜率为的直线经过点，点是直线与双曲线的交点，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)若经过定点的直线与双曲线相交于、两点，经过点斜率为的直线与直线的交点为，求证：直线经过轴上的定点.
【答案】(1)
(2)直线经过轴上的定点，证明见解析.

【分析】（1）由双曲线的离心率为可得，则直线方程为，由，求出点坐标，代入双曲线方程求解即可；
（2）设，，经过点斜率为的直线方程与直线联立，求得点坐标，表示出直线的方程，令表示出x的算式，直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理代入x的算式，化简即可.
【详解】（1），，，
又直线斜率为，经过点，所以直线方程为，
设，由，或，
又，点代入双曲线方程无解，
点代入双曲线方程，得，，
所以双曲线的方程为.
（2）设，，
设直线AB的方程为，
联立，消去y得，
，，
经过点斜率为的直线方程为，
由，解得，
，
，
直线BT方程为：，
令，





.
故直线经过轴上的定点.
【点睛】方法点睛：
求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值.
解决直线与双曲线的综合问题时，要注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件，强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22．已知函数．
(1)若，，求实数a的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）先求出函数的导数，利用含参函数单调性的讨论中首项系数含参数问题讨论，将分为零正负，又通过判别根式对导函数是否有根进行分类求解即可；
（2）由题意要证，只要证，涉及到转化的思想令，，求的最小值即可求得结果.
【详解】（1）依题意，.           
①当时，在上，所以在上单调递减，
所以，所以不符合题设.        
②当时，令，得，解得，，
所以当时，所以在上单调递减，
所以，所以不符合题设.
③当时，判别式，所以，
所以在上单调递增，所以.
综上，实数a的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极大值点，是的极小值点.
由（1）知，，，则.
综上，要证，只需证，
因为

，
设，.        
所以，
所以在上单调递增，所以.
所以，即得成立．
所以原不等式成立.
【点睛】关键点点睛：导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想，同时考查了利用导数证明不等式的成立，
（1）含参问题的分类讨论，对参数的讨论不重不漏；
（2）换元法的应用，通过换元研究函数时的常用方法.