36乘法公式（提高）知识讲解

乘法公式（提高）

【学习目标】

1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；　　

2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.

【要点梳理】

要点一、平方差公式

平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

    要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型

（2）系数变化：如

（3）指数变化：如

（4）符号变化：如

（5）增项变化：如

（6）增因式变化：如

要点二、完全平方公式

    完全平方公式：

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

要点三、添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.

要点四、补充公式

；；

    ；.

【典型例题】

类型一、平方差公式的应用 

1、计算(2＋1)()( )()()()＋1．

【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，与，与等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算.

【答案与解析】

    解：原式＝(2－1)(2＋1)( )()()()() ＋1

            ＝()( )( )()()()＋1

            ＝－1＋1＝．

【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力．

举一反三：

【变式1】计算：

    (1)

(2)(＋)( －)( )( )

【答案】

解：(1)原式＝[(＋3)(－3)]()＝()()＝．

    (2)原式＝[(＋)( －)]( )( )

           ＝[()( )]( )

＝()( )＝．

【变式2】（2015•内江）（1）填空：

（a﹣b）（a+b）=　         　；

（a﹣b）（a2+ab+b2）=　          　；

（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=　          　．

（2）猜想：

（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）=　           　（其中n为正整数，且n≥2）．

（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．

【答案】

解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；

（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；

（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；

故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；

（2）由（1）的规律可得：

原式=an﹣bn，

故答案为：an﹣bn；

（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．

2、（2016春•户县期末）先化简，再求值．已知|m﹣1|+（n+）2=0，求（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）的值．

【思路点拨】 先根据非负数的性质，求出m，n的值，再根据平方差公式求代数式的和即可．

【答案与解析】

解：∵|m﹣1|+（n+）2=0，

∴m﹣1=0，n+=0，

∴m=1，n=﹣，

∴（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）

=m4n2﹣1

=

=1×﹣1

=

=﹣．

【总结升华】本题考查了非负性的应用，解决本题的关键是熟记乘法公式，掌握公式的基本形式，才能使问题更加简单化．

举一反三：

【变式】解不等式组：

【答案】

解： 

由①得，，．

由②得，，

，．

∴  不等式组的解集为．

类型二、完全平方公式的应用

3、运用乘法公式计算：

（1）；（2）．

【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将化成，看成与和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中与完全相同，，与，分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．

【答案与解析】

解：（1）原式

．

（2）原式．

【总结升华】配成公式中的“”“”的形式再进行计算.

举一反三：

【变式】运用乘法公式计算：

    (1)；    (2)；

    (3)；          (4)．

【答案】

 解：(1) ＝[－(－)][ ＋(－)]

＝

＝．

     (2) ＝[2＋(－1)][2－(－1)]

＝

＝．

     (3)

＝．

(4) ＝

＝－

＝－

＝

4、已知△ABC的三边长、、满足，试判断△ABC的形状．

【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．

【答案与解析】 

解：∵  ，

∴  ，

即．

即．

∴  ，，，

即，∴  △ABC为等边三角形．

【总结升华】式子体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论．

举一反三：

【变式】多项式的最小值是____________.

【答案】4；

       提示：，所以最小值为4.