必刷卷01——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（江苏南京专用）

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2023年中考数学考前信息必刷卷01
数 学（江苏南京专用）

2023年南京中考数学试卷结构和内容基本没变！2023年数学试卷满分120分，共27题：6（选择题）+10（填空题）+11（解答题），根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，体现数学课程标准对数学教学要求，对课标内知识的考查覆盖较为全面。从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的运算及化简求值，方程不等式组的概念在选择题和填空中的比重较大，在综合题的考察方面，题型较为全面，知识点覆盖面广，主要包括方程不等式的解法、代数式的化简求值、几何的证明与计算，统计中数据的收集和处理、概率的计算，解三角形、列方程解应用题，尺规作图以及函数的考查等。最后的压轴题多为动手操作型，创新性明显。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度.同时应加强学生的作图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.对于创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力. 选择题前几道涉及实数的有关概念、科学计数法、整式的运算和数据的收集；第5题主要是一元二次方程的判别式、第6题考查了几何图形的变换，填空题的前几道题主要涉及实数和代数式的有关运算，第10-15题主要考查方程、不等式、函数以及几何图形的性质；填空题第16题主要考查几何的综合运用；解答题第17和18是基本计算，主要是解方程与不等式，第19题是四边形的简单证明；第20题考查数据的处理，中位数、众数的意义；第21题考查了概率的求解，第22题运用锐角三角函数解三角形；第23题考查了列方程（组）或不等式（组）解应用题；第24题考查了反比例函数的图像与性质以及反比例函数中的面积问题.第25题主要考查了三角形中的尺规作图问题，第26题主要考查了二次函数的图像与性质以及二次函数与几何的综合．第27题主要考查了以几何图形的操作为背景的实践探究，注重提升学生的动手能力和探究能力．

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.）
1．的相反数是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相反数的定义即可得到答案．
【详解】解：，的相反数是，
∴的相反数是，
故选：D．
2．第届亚运会将于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城，将成为杭州年亚运会的主场馆，杭州奥体博览城核心区占地公顷，建筑总面积平方米，将数用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：将数用科学记数法表示为．
故选：B．
3．下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘除法逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
4．某校为了解本校学生对“足球”、“乒乓球”、“篮球”、“棒球”四项运动的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了100名学生进行问卷调查（每个学生必须且只能选择一项喜爱的运动），将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图，已知该校共有800名学生，估计喜欢“乒乓球”的学生数为（      ）

A．30 B．50 C．240 D．400
【答案】D
【分析】根据扇形统计图中的信息进行解答即可．
【详解】解：由扇形统计图中的信息可知，喜欢“乒乓球”的学生人数占总喜爱运动的，
∴该校共有800名学生，估计喜欢“乒乓球”的学生数为（名），
故选：D．
5．一元二次方程的根的情况是（    ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选B．
6．小明在星期天上午测得某树的影长为9m，下午他又测得该树的影长为4m（如图所示），若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意， 画出示意图， 易得，进而可得；即，代入数据可得答案 ．
【详解】解： 根据题意， 作；

树高为，且，，；
，
，
，
又，
，
；
即，
代入数据可得，
解得．
故选：B．
二、填空题：（本大题共10个小题，每小题2分，共20分.）
7．化简：=_____．
【答案】2
【分析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0．
【详解】∵22=4，
∴=2，
故答案为：2
8．设n为正整数，且，则n的值为______．
【答案】3
【分析】先判断15在哪2个相邻的平方数之间，然后可得在哪2个相邻的整数之间．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：3．
9．若，则________．
【答案】
【分析】利用已知条件，用表示得到，然后代入中进行分式的运算即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
10．若，则=______．
【答案】1
【分析】先根据二次根式的被开方数的非负性可得，再代入计算求出，由此即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
则，
所以，
故答案为：1．
11．已知是方程的解，则代数式的值为_________．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的解的定义，得出，整体代入代数式求值即可求解．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴

，
故答案为：．
12．关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】分别解不等式求出不等式组的解集，根据整数解的个数得到答案．
【详解】解：解不等式，得；
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴，
故答案为：．
13．若点，都在直线上，则的大小关系是 _____．
【答案】
【分析】根据，可得随的增大而减少，即可求解．
【详解】解：∵，
∴随的增大而减少，
∵，
∴，
故答案为：．
14．如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接，若，则______．

【答案】305
【分析】如图，连接，利用三角形，四边形内角和定理、周角的定义求解即可．
【详解】解：如图，连接，

根据三角形与四边形的内角和定理得：
，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：305．
15．如图，的弦，过点O作于点C，交于点P，若，则的半径为___________．

【答案】
【分析】连接，根据题意，令，则，再根据线段之间的数量关系和圆的性质，得出，再根据垂径定理，得出，再根据勾股定理，得出，解出即可得出的半径．
【详解】解：如图，连接，

∵，
令，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴的半径为．
故答案为：
16．如图，已知四边形为矩形，，，点在上且，则________；若点为平面内一点，且，连接，当时，的值为________．

【答案】     5     或
【详解】解：设，则，
在中，
有，
解得，
；
过点作于点，

，
设，则，
，
当点在左侧时，过点F作交、的延长线于点、（“K形图”），

四边形为矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
（舍去）或，
，
当点在右侧时，

过点F构造“K形图”，

同理可得，
，
，
(舍去)或，
．
故答案为：5；或．
三、解答题：（本大题共11个小题，共88分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）
17．（本题满分6分）解方程：．
【答案】
【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：方程两边同乘，得：
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
18．（本题满分6分）解不等式组．
点点同学的计算过程如下：
由①得，，，；由②得，，，，
∴不等式组的解集为．
请你判断点点同学的解答过程是否正确，若不正确，请你写出正确的解答过程．
【答案】不正确，，过程见解析
【分析】不正确，先解这两个不等式，再求解集的公共部分即可．
【详解】解：不正确，
正确的过程为：
，
由①得，，，；
由②得，，，，
∴不等式组的解集为．
19．（本题满分8分）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)cm
【分析】（1）利用ASA证明即可；
（2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=xcm，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,
∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE和△CDF中，
,
∴（ASA）；
（2）如图，过点E作EG⊥BC交于点G，

∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，∴cm,
设AE=xcm，
∴EP=xcm，
由知，EP=CF=xcm，
∴DE=GC=GF+FC=3+x，
在Rt△PED中，,
即，
解得，，
∴BC=BG+GC= (cm）．
20．（本题满分8分）王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）：
甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10
乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10
选手
平均数
中位数
众数
方差
甲
7
a
6

乙
b
7
c
d
(1)以上成绩统计分析表中_______，________，______；
(2)d______（填“＞”、＜或“＝”）：
(3)根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
【答案】(1)6，7，7
(2)
(3)乙同学，理由见解析
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果；
（2）根据平均数和方差的计算结果求出答案；
（3）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可．
【详解】（1）解：甲数据从小到大排列，第5、6位都是6，故中位数为；
乙的平均数，
乙的数据中7最多有4个，所以众数，
故答案为：6，7，7；
（2），
，
故答案为：；
（3）选择乙同学，
理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定．
21．（本题满分8分）一只不透明的袋子中装有三个乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，这些乒乓球除所标数字不同外其余都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率为_______；
(2)搅匀后先从袋子中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为一个两位数的十位数字，不放回，再从袋中余下的球中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为这个两位数的个位数字，求这个两位数恰好是奇数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据共有3种等可能情况即可求解；
（2）画树状图，找出所有等可能情况，再找出符合要求的情况数，利用概率公式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，摸出的乒乓球的球面上的数字共有3种情况，即分别为1,2，3，
∴摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率为．
故答案为：
（2）画树状图如下：

组成的两位数有12、13、21、23、31、32，共6种情况，是奇数有13、21、23、31共4种情况，故这个两位数恰好是奇数的概率为．
22．（本题满分8分）某实践研究小组开展了测量汛期桥拱梁（如图①）顶部到水面的距离的实践活动．过程如下：
方案设计：如图②，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选A，B两处分别测得和的度数（A、B、D、F在同一条直线上），河边D处测得地面到水面的距离（C、F、G在同一条直线上）．
数据收集：实地测量地面上A、B两点的距离为，地面到水面的距离为，．
问题解决：求桥拱梁顶部到水面的距离（结果保留一位小数）．
参考数据：，，，，，．

【答案】
【分析】设，由题意得，，先解，求出，再解得到，解方程求出的长即可得到答案．
【详解】解：设，
由题意得，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
经检验时原方程的解，
∴，
∴，
∴桥拱梁顶部到水面的距离为．
23．（本题满分8分）为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需55元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．
（1）甲、乙两种工具每件各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？
【答案】（1）甲种工具每件15.6元，乙种工具每件4.1元；（2）甲种工具最多购买51件．
【分析】（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，根据“购买甲种3件，乙种2件，共需55元”和“购买甲种1件，乙种4件，共需32元”，这两组等量关系列出二元一次方程组求解即可；
（2）设甲种工具购买了m件，则乙种工具购买了（100－m）件，根据“总价=单价×数量”结合总费用不超过1000元，建立一元一次不等式求解，再根据实际意义取最大值即可．
【详解】解：（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，
由题意可得：，
解得：，
答：甲种工具每件15.6元，乙种工具每件4.1元；
（2）设甲种工具购买了m件，则乙种工具购买了（100－m）件，
由题意得：，
解得：，
∵m为正整数，
∴甲种工具最多购买51件．
24．（本题满分8分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点，与x轴交于点．

(1)求与的值；
(2)点是x轴正半轴上一点，若，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据一次函数与反比例函数图像与性质，将相应点代入表达式解方程即可得到答案；
（2）过点作轴，垂足为，如图所示，得到，，从而，利用代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点，与x轴交于点
把，代入，得，
解得，
把，代入，
得；
把，代入，得，
解得；
（2）解：过点作轴，垂足为，如图所示：

，
，
∵一次函数的图像与y轴交于点，即当时，，
，
∴，
∵，，
∴，
∴．
25．（本题满分8分）（1）如图1，在锐角的外部找一点D，使得点D在的平分线上，且，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）中，若，，则线段的长为 ．（如需画草图，请使用图2）

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）作的平分线与的外接圆相交于点D，点D即为所求；
（2）过点D作于M，交的延长线于N．利用全等三角形的性质证明，可求解．
【详解】解：（1）如图，点D即为所求作．
；
（2）如图，过点D作于M，交的延长线于N．

在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
26．（本题满分10分）已知抛物线过点，且与直线只有一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在满足题意的点．或或或或
【分析】（1）把点代入得，联立，得，由抛物线与直线只有一个交点求得b的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）先求出点A和点B的坐标，设点Q的坐标是，求出，，，分三种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：把点代入中，得，解得，
联立，
得，
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴，
解得或2，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）存在满足题意的点．
联立，
解得或，
∴，，

由抛物线，可知抛物线对称轴为，
设点Q的坐标是，
则，，
由勾股定理，得，
当点为顶角时，，即，
解得或，
∴或；
当为腰，为顶角时，，即，
解得或，
∴或；
当为底时，，即，
解得，
∴．
故满足题意的点坐标为：或或或或．
27．（本题满分10分）【回顾思考】
翻折，常常能为解决问题提供思路和方法．
【初步尝试】
(1)如图1，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；

【拓展延伸】
(2)如图2，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
①求线段的长；
②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．

【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用相似三角形的性质求出，即可，
（2）①证明，推出，由此即可解决问题；
②证明，推出，根据，推出即可解决问题．
【详解】（1）解：∵将折叠，使点与点重合，折痕为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
（2）①∵将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，，，
∴，，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由，
∴，
∴；
②当点与点不重合时，
∵，，点是边的中点，
∴，
，
∵点为线段上的一个动点，
∴，
∵，
由折叠得：，
∴，
又∵，
∴
又∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，

当点与点重合时，即
点与点重合，
∴，
综上所述，的取值范围是：．