安徽省黄山市2023届三模数学试题（含答案）

安徽省黄山市2023届三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，且，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

3．“”是“函数在区间上单调递增”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列时，发现其递推公式就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即 ，如果该数列的前两项分别为，其前项和记为，若，则（    ）

A． B． C． D．

5．为纪念我国伟大数学家祖冲之在圆周率上的贡献，国际上把称为“祖率”，某教师为了增加学生对“祖率”的印象，以“祖率”为背景设计如下练习：让同学们把小数点后的位数字进行随机排列，整数部分不变，那么可以得到小于的不同数有（    ）个

A． B． C． D．

6．如图，球的表面积为，四面体内接于球，是边长为的正三角形，平面平面，则该四面体体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（    ）

A． B．

C． D．

8．已知向量满足，则在方向上的投影向量的模长的最大值为（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．下列命题中，正确的是（    ）

A．在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好

B．对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越大

C．在回归模型中，残差是观测值与预测值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高

D．一组数据的第百分位数为

10．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（    ）

A．函数存在一个极值点

B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上单调递增

D．函数在区间上有两个零点

11．在棱长为的正四面体中，过点且与平行的平面分别与棱交于点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．当分别为线段中点时，与所成角的余弦值为

C．线段的最小值为

D．空间四边形的周长的最小值为

12．已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线的准线于点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，直线的斜率为

B．

C．的面积不小于的面积

D．

三、填空题

13．将展开后按的升幂排列，则第3项为____________.

14．定义在上的奇函数，满足对且，都有成立，则当不等式成立时，的最小值为________.

15．设直线与两坐标轴的交点分别为，点为线段的中点，若圆上有且只有一个点，使得直线平分，则______.

16．已知，若恒成立，则实数的值为______.

四、解答题

17．已知数列的前项和为，.

(1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式;

(2)若 ，求数列的前项和.

从①和②这两个条件中任意选择一个填入上面横线上，并完成解答.注:若选择多个条件作答，则按第一个解答计分.

18．记的内角的对边分别为，已知，.

(1)求角的大小和边的取值范围；

(2)如图，若是的外心，求的最大值.

19．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有，. 现有三台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，每加工一个零件耗时分钟，第，台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时分钟和分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，.

(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望.

20．如图，在直角梯形中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点，平面平面，，，是线段上一动点（不含端点）

(1)当点为线段的中点时，证明：//平面；

(2)若，，且直线与平面成角，求二面角的正弦值．

21．如图，动双曲线的一个焦点为，另一个焦点为，若该动双曲线的两支分别经过点.

(1)求动点的轨迹方程；

(2)斜率存在且不为零的直线过点，交（1）中点的轨迹于两点，直线与轴交于点，是直线上异于的一点，且满足.试探究是否存在确定的值，使得直线恒过线段的中点，若存在，求出值，若不存在，请说明理由.

22．已知函数，

(1)试判断函数在上是否存在极值.若存在，说出是极大值还是极小值；若不存在，说明理由.

(2)设，若，证明：不等式在上恒成立.

参考答案：

1．D

2．A

3．C

4．D

5．C

6．B

7．C

8．D

9．ACD

10．AC

11．ABD

12．ACD

13．

14．

15．/

16．

17．(1)证明见解析，

(2)答案见解析

18．(1)，

(2)

19．(1)0.0525

(2)分布列见解析，期望为32（分钟）

20．(1)证明见解析

(2)

21．(1)

(2)存在，

22．(1)答案见解析

(2)证明见解析