安徽省黄山市2020届高三毕业班第一次质量检测（一模）数学（理）试题 Word版含答案

这是一份安徽省黄山市2020届高三毕业班第一次质量检测（一模）数学（理）试题 Word版含答案，共11页。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.
4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.
参考公式：球的表面积公式 球的体积公式
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）
1. 已知复数满足,则
A. 5 B. 3 C. D.
2. 设U＝R，A＝，B＝，则＝
A． B． C． D．
3. 已知，，，则
A．B．C．D．
B
A
C
D
4. 函数的大致图象为
5. 裴波那契数列（Fibnacci sequence ）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列满足：，，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是
A. B. C. D.
6．将向量绕原点O顺时针方向旋转75°得到，则＝
A． B． C． D．
7. 已知数列满足，数列的前 项和为，则=
A．B．C．D．
8. 已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是
A． B． C． D．
9. 函数在内单调递增，且图象关于直线对称，则的值为
A. B. C. D.
10.如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆
锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值
为
A．2 B．4C．6 D．8
11.已知函数有4个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
12.如图，,分别为双曲线的左、右焦点，过点作
直线，使直线与圆相切于点,设直线交双曲线的左右两支分别于A、B两点（A、B位于线段 上），若,则双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）
13. 已知函数则 .
14. 已知实数满足约束条件，则的最大值为 .
15. 函数 与函数的图象有两个不同
的公共点,则实数的取值范围是 .
16. 如图，在棱长为 1 的正方体中，点是
的中点，动点在底面正方形内（不包括边界），
若平面，则长度的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）
17.（本小题满分12分）
已知在中,角,,所对的边分别为,,,且,
（1）求角的大小;
（2）若,求的取值范围.
18.（本小题满分12分）
公
子
的
马
获
胜
的
概
率
田忌的马
田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等。于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注。假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛，田忌获胜的概率如下表所示:
比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.
（1）如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;
（2）如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.
19．（本小题满分12分）
已知是以为直径的圆周上一点，，平面
（1）求证：平面平面；
（2）若异面直线与所成的为，求二面角的余弦值。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的焦距为，过点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的右焦点为，定点，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标。
21．（本小题满分12分）
函数，
（1）求的单调区间；
（2）在函数的图象上取，两个不同的点，令直线的斜率
为，则在函数的图象上是否存在点，且，使得？若存
在，求，两点的坐标，若不存在，说明理由。
考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线。以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
（1）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线与直线相交于，两点，求的取值范围.
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
（1）解不等式;
（2）若恒成立,求的取值范围.
黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测
高三数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C
7.A 8.B 9.C 10.C 11.C 12.B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 14. 15. 16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
解: （1）由则
…………………………………………………………3分
所以 而 故………………6分
（2）由 且
所以 ……………………………………………10分
又
所以的取值范围是 …………………………………………………12分
18. （本小题满分12分）
解： （1）记事件：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜，
对于事件，三场比赛中，由于有一场比赛田忌必输，另两场都胜，
故……………………………………………………………………4分
（2）设田忌在每次比赛中所得的奖金为随机变量（金），则的取值为和。
若在某月的比赛中田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜，负胜胜，胜负胜，胜胜负………………………………………………………………………………6分
设在该月的比赛中田忌获胜的概率为，则
…………8分
……………………………………………10分
因此田忌一年赛马获利的数学期望为（金） …………………12分
19.（本小题满分12分）
（1）证明：因为为圆的直径，所以，
又平面，而平面，所以，
又,所以平面，
而平面，所以平面平面……………………5分
（2）解法1：建系如图所示，令，而，则,，则，,，令
所以，，
因为异面直线与所成的角为，
故，解得
令平面的一个法向量为，
而，
由,,所以
由，所以，即
而平面的一个法向量为
所以
解法2：过作的平行线交圆于，连接，，所以直线与所成的角即为与所成的角，
因为为圆的直径，所以，
又平面，而平面，所以
又,所以平面
而平面，所以，则
令，且所以，
，，
,
过作交于，过作交于,连接，由三垂线定理知，
所以即为二面角的平面角……………………………………8分
，
，
即为二面角的余弦值为 ……………………………………12分
20. （本小题满分12分）
解： （1）由题知 解得，，
所以椭圆的方程为…………………………………………………………4分
（2）设，因为直线的斜率不为零，令的方程为：
由 得
则，，…………………………………………6分
因为以为直径的圆与直线的另一个交点为,所以，则
则，故的方程为：……………………8分
由椭圆的对称性，则定点必在轴上，所以令，则
而，，
所以
故直线恒过定点，且定点为 ………………………………………12分
21.（本小题满分12分）
解： （1）由题知定义域为，
………………1分
①当时，，
令，解得，，解得
即函数在上单调递增，在 及上单调递减；
②当时，，在上，
即函数在上单调递减；
③当时，
令，解得，，解得
即函数在上单调递增，在 及上单调递减；
④当时，
令，解得，，解得
即函数在上单调递增，在 上单调递减；…………………………5分
综上所述：
当时，增区间为，减区间为及；
当时，减区间为；
当时，增区间为，减区间为及；
当时，减区间为，增区间为；……………………………………6分
（2）假设存在，即满足
因为已知，不妨令
则

而由
得存在，也就是证存在…………9分
只要证存在，令，故转化为存在
即需要证明令
则有故在上单调递增，所以，故不存在。 ………………………………………………………………………………12分
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（1）的参数方程：（为参数） …………………………………2分
曲线的直角坐标方程： ………………………………………………5分
（2）将的参数方程代入曲线的方程得
①
由于恒成立，所以方程①有两个不等实根，
由于，所以异号
则 …10分
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）当，则
当时，则
当时，则，此时无解
故解集为 ……………………………………………………5分
（2）由（1）知，所以当时，的最小值为，则
所以 ……………………………………………10分
上等马
中等马
下等马
上等马
0.5
0.8
1
中等马
0.2
0.5
0.9
下等马
0
0.05
0.4