南通市C卷-2023年中考数学金榜预测卷（江苏地区专用）

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2022—2023学年南通市中考金榜预测卷C

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列实数中，最小的是（　　）
A．0 B．-5 C．﹣2 D．-2
【分析】根据负数比较大小，绝对值大的反而小即可得出答案．
【解答】解：∵0＜2＜4＜5，
∴0＜2＜2＜5，
∴-5＜-2＜-2＜0，
故选：B．
【点评】本题考查了实数的比较大小，掌握两个负实数，绝对值大的反而小是解题的关键．
2．（3分）风能是一种清洁的能源，河南省存量风电总容量约有415万千瓦，将数据4150000用科学记数法表示为（　　）
A．415×104 B．4.15×105 C．4.15×106 D．0.415×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：将数据4150000用科学记数法表示为4.15×106．
故选：C．
【点评】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中线对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a3＝2a6 B．a5÷a3＝a8
C．（a2b）3＝a6b3 D．a（a﹣1）＝a2﹣1
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式进行运算即可．
【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故A错误；
B．a5÷a3＝a2，故B错误；
C．（a2b）3＝a6b3，故C正确；
D．a（a﹣1）＝a2﹣a，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，单项式乘以多项式，熟练准确的计算是解题的关键．
5．（3分）下面是扬帆中学九年八班43名同学家庭人口的统计表：这43个家庭人口的众数和中位数分别是（　　）
家庭人口数（人）
2
3
4
5
6
学生人数（人）
3
15
10
8
7
A．5，6 B．3，4 C．3，5 D．4，6
【分析】根据众数和中位数的概念求解可得．
【解答】解：这43个家庭人口的众数3，中位数为4，
故选：B．
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（3分）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（　　）

A．R=3r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【解答】解：扇形的弧长是：90πR180=πR2，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：πR2=2πr，
即：R＝4r，
R与r之间的关系是R＝4r．
故选：D．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
7．（3分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．圆柱 B．三棱锥 C．三棱柱 D．正方体
【分析】根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个三角形，
故该几何体是一个三棱柱．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
8．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2020﹣2a﹣4b的值为（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2022
【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+2b＝﹣1，再把2020﹣2a﹣4b变形为2020﹣2（a+2b），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，
∴a+2b＝﹣1，
∴2020﹣2a﹣4b＝2020﹣2（a+2b）＝2020﹣2×（﹣1）＝2022．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法可简化计算．
9．（3分）已知一次函数y＝kx﹣k过点（﹣1，4），则下列结论正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．直线经过二、三、四象限
C．直线过点（1，1）
D．与坐标轴围成的三角形面积为1
【分析】把点（﹣1，4）代入一次函数y＝kx﹣k，求得k的值，根据一次函数图象与性质的关系对A、B、C进行判断；根据题意求得直线与坐标轴的交点，然后算出三角形的面积，即可对D进行判断．
【解答】解：把点（﹣1，4）代入一次函数y＝kx﹣k，得，
4＝﹣k﹣k，
解得k＝﹣2，
∴y＝﹣2x+2，
A、k＝﹣2＜0，y随x增大而减小，选项A不符合题意；
B、∵k＝﹣2，
∴﹣k＝2，
∴直线y＝kx﹣k经过第一、二、四象限，选项B不符合题意；
C、当x＝1时，y＝﹣2x+2＝0，，
∴一次函数y＝﹣2x+2的图象经过点（1，0），选项C不符合题意；
D、当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，与坐标轴围成的三角形面积为12×1×2=1，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b），与x轴交点（-bk，0）．
10．（3分）已知等腰直角△ABC的斜边AB＝42，正方形DEFG的边长为2，把△ABC和正方形DEFG如图放置，点B与点E重合，边AB与EF在同一条直线上，将△ABC沿AB方向以每秒2个单位的速度匀速平行移动，当点A与点E重合时停止移动．在移动过程中，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积S与移动时间t（s）的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分别求出0＜t≤1，1＜t≤2，2＜t≤3，3＜t≤4的函数关系式即可判断．
【解答】解：①当0＜t≤1时，S=12×2t⋅2t=t2，函数为开口方向向上的抛物线；

②当1＜t≤2时，如图，

设BC交FG于H，则FH＝BF=2t-2，
则GH=2-BF＝22-2t，
S＝S正方形DEFG﹣S△HMG=(2)2-12(22-2t)2=-t2+4t﹣2，函数为开口方向向下的抛物线；
③当2＜t≤3时，S＝2；
④当3＜t≤4时，同理可得S=2-12×(2t-32)2=-t2+6t﹣7，函数为开口方向向下的抛物线；
故只有选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意得出相应的函数关系式是解答本题的关键．
二．填空题（共8小题，11—12每小题3分，13—18每小题4分，满分30分）
11．（3分）若x+4x-2有意义，则x的取值范围是　x≥﹣4且x≠2　．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x+4≥0，x﹣2≠0，
解得，x≥﹣4且x≠2，
故答案为：x≥﹣4且x≠2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数、分式分母不为0是解题的关键．
12．（3分）计算：7852﹣2852＝　535000　．
【分析】利用平方差公式进行计算即可解答．
【解答】解：7852﹣2852
＝（785+285）×（785﹣285）
＝1070×500
＝535000，
故答案为：535000．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
13．（4分）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 　（5，4）　．

【分析】连接CC′、BB′，两线段相交于点D，根据位似中心的概念、结合图形解答即可．
【解答】解：连接CC′、BB′，两线段相交于点D，
则点D为位似中心，
由图可知，点D的坐标为（5，4），
故答案为：（5，4）．

【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
14．（4分）如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D，B，C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是　32　m．

【分析】根据∠ABC＝∠BAC＝45°，AB＝3，求出AC的长，再利用在直角三角形中30°所对的边是斜边的一半求出即可．
【解答】解：设AC＝xm，
∵∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴BC＝xm，
∵滑梯AB的长为3m，
∴2x2＝9，
解得：x=322，
∵∠D＝30°，
∴AD＝2AC，
∴AD＝32m．
故答案为：32．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，求出AC的长进而得出AD的长是解决问题的关键．
15．（4分）小明从邮局买了面值0.5元和0.8元的邮票共9枚，花了6.3元，小明买了两种邮票各多少枚？若设买了面值0.5元的邮票x枚，0.8元的邮票y枚，则根据题意可列出方程组为 　x+y=90.5x+0.8y=6.3　．
【分析】由题意可得等量关系①0.5元的邮票枚数+面值0.8元的邮票枚数＝9枚；②0.5元的邮票价格+面值0.8元的邮票总价格＝6.3元，由等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设买了面值0.5元的邮票x枚，0.8元的邮票y枚，由题意得
x+y=90.5x+0.8y=6.3．
故答案为：x+y=90.5x+0.8y=6.3．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是找到题目中的等量关系，列出方程组．
16．（4分）如图，已知面积等于16的正方形ABCD的两个顶点B、D是反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上两点，若点D坐标是（m，n），则m﹣n的值等于　﹣4　．

【分析】先求出正方形的边长为4，利用点D坐标（m，n）表示出点B，代入反比例函数即可求解．
【解答】解：∵正方形ABCD面积等于16．
∴AD＝AB＝4．
∵点D坐标是（m，n）．
∴B（m+4，n﹣4）．
∵B、D是反比例函数上的点．
∴k＝mn＝（m+4）（n﹣4）．
∴m﹣n＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征、k的几何意义知识，关键在于利用正方形的边长表示出点的坐标．
17．（4分）如图，等边△ABC中，BC＝6，O、H分别为边AB、AC的三等分点，AH=13AC，AO=13AB，将△ABC绕点B顺时针旋转100°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为 　103π　．

【分析】连接BH，BH′，作BD⊥AC于D，解直角三角形求出BD、CD，由AH=13AC，AO=13AB求出AH和AO,即可求得DH，根据勾股定理求出BH，整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积，其实是大扇形HBH′与小扇形BOO′的面积差．
【解答】解：连接BH，BH′，作BD⊥AC于D,

∵等边△ABC中，BC＝6，
∴∠C＝60°，AC＝AB＝BC＝6,
∴BD=32BC＝33,CD=12BC＝3,
∵AH=13AC，AO=13AB，
∴AH＝OA＝2,
∴CH＝OB＝6﹣2＝4,
∴DH＝3﹣2＝1,
由勾股定理得：BH=BD2+DH2=(33)2+12=27，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转100°到△A1BC1的位置，
∴∠HBH′＝∠OBO′＝100°，
∴整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为S扇形HBH′﹣S扇形OBO′=100π⋅(27)2360-100π⋅42360=103π，
故答案为103π．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积的计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：已知扇形的圆心角是n°，半径是r，那么这个扇形的面积=nπr2360．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点D在以点P（﹣6，﹣5）为圆心，半径为2的圆上运动，过点D作BD⊥x轴于点B，以BD为对角线作矩形ABCD，连接AC，则对角线AC的最小值为 　3　．

【分析】过P点作x轴的垂线与⊙P的交点即为D，垂足为B点，此时的矩形ABCD的对角线BD有最小值，结合P点坐标可求解BD的最小值，根据矩形的对角线相等可求解．
【解答】解：过P点作x轴的垂线与⊙P的交点即为D，垂足为B点，此时的矩形ABCD的对角线BD有最小值，

∵P（﹣6，﹣5），
∴PB＝5，
∵⊙P的半径为2，即PD＝2，
∴BD＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD＝3，
即对角线AC的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查矩形的性质，坐标与图形的性质，确定D点位置是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分90分）
19．（12分）分式化简和解不等式组：
（1）（x+1-7x-9x）÷x2-9x；
（2）4x-2≥3(x-1)x-52+1＞x-3．
【分析】（1）先将括号内通分、计算减法，再将除法转化为乘法，最后约分即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝（x2+xx-7x-9x）÷(x+3)(x-3)x
=x2-6x+9x÷(x+3)(x-3)x
=(x-3)2x•x(x+3)(x-3)
=x-3x+3；
（2）解不等式4x﹣2≥3（x﹣1），得：x≥﹣1，
解不等式x-52+1＞x﹣3，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查的是分式的混合运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（10分）为做好新冠肺炎疫情防控工作，保障师生身体健康，预防新型冠状病毒肺炎在学校的传播、扩散，保障学校正常教学秩序．某校组织八年级一班、二班学生参加“新冠肺炎疫情防控”知识竞赛，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：

请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中，二班在C级以上（包括C级）的人数有多少人？
（2）请你将表格补充完整：

平均分
中位数
众数
B级及以上人数
一班
87.6
90
　90　
18
二班
87.6
　80　
100
　12　
（3）请你从下列不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析：
①从平均分和中位数的角度来比较一班和二班的成绩；
②从平均分和众数的角度来比较一班和二班的成绩．
【分析】（1）先求出一班总人数，再根据扇形统计图求二班成绩在C级以上（包括C级）的人数；
（2）由中位数和众数的定义即可解题；
（3）①根据平均分和中位数的意义分析；
②根据平均分和众数的意义分析．
【解答】解：（1）此次竞赛二班成绩在C级以上（包括C级）的人数有：（6+12+2+5）×（36%+4%+44%）＝21（人）；

（2）由条形统计图得：一班B等级：90分出现的次数最多，出现了12次，
∴一班的众数是90；
∵共有6+12+2+5＝25（人），中位数是第13个数，
∴二班的中位数在C级：80分，
∴二班的中位数是80，
二班B级及以上人数：25×（4%+44%）＝12（人），
将表格补充完整：

平均分
中位数
众数
B级及以上人数
一班
87.6
90
90
18
二班
87.6
80
100
12
（3）①从平均分和中位数的角度来比较一班和二班的成绩：
从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数的角度看一班比二班的成绩好；所以一班成绩好；
②从平均分和众数的角度来比较一班和二班的成绩：
从平均数的角度看两班成绩一样，从众数的角度看二班比一班的成绩好，所以二班成绩好．
【点评】本题考查的是平均分和中位数，众数，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（10分）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲，乙两队每局获胜的机会相同．
（1）若甲队在前两局比赛中已取得2：0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）
（2）若甲队在第一局比赛中已取得1：0的领先，那么甲队最终获胜的概率为 　1116　．（请直接写出答案）
【分析】（1）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出甲至少胜一局的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找甲最终获胜的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：

共有8种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为7，
所以甲队最终获胜的概率=78；

（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为11，
所以甲队最终获胜的概率1116．
故答案为：1116．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
22．（10分）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为3．
（1）如图1，若用a，b表示直角三角形的两条直角边（a＜b），a+b＝　47　．
（2）如图2，若拼成的大正方形为正方形ABCD，中间的小正方形为正方形EFGH，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，S△AFP﹣S△CGP＝　32　．

【分析】（1）由勾股定理与正方形的性质得出a2+b2＝25，再求出4个直角三角形的面积，即可得出结果；
（2）易得AE＝CG，然后证△AEM≌△CGP（ASA），得S△AEM＝S△CGP，EM＝PG，推出S△AFP﹣S△CGP＝S△AFP﹣S△AEM＝S梯形FPME=12S正方形EFGH，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为3，
∴a2+b2＝25，（b﹣a）2＝3，
∴4个直角三角形的面积＝4×12ab＝2ab＝25﹣3＝22，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+22＝47，
解得a+b=47（负值已舍去）；
故答案为：47；
（2）∵四边形EFGH为正方形，
∴∠AEM＝∠HEF＝∠FGH＝∠CGP＝90°，EM∥PF，AF∥CH，
∴∠EAM＝∠GCP，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴Rt△AED≌Rt△CGB，
∴AE＝CG，
在△AEM和△CGP中，
∠AEM=∠CGPAE=CG∠EAM=∠GCP，
∴△AEM≌△CGP（ASA），
∴S△AEM＝S△CGP，EM＝PG，
∴S△AFP﹣S△CGP＝S△AFP﹣S△AEM＝S梯形FPME=12（EM+PF）•EF=12（PG+PF）•EF=12FG•EF=12S正方形EFGH，
∵S正方形EFGH＝3，
∴S△AFP﹣S△CGP的值是32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、梯形面积的计算等知识，证明S△AFP﹣S△CGP＝S梯形FPME=12S正方形EFGH是解题的关键．
23．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝23，求线段CE的长．

【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝4，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝2，由锐角三角函数可求EF＝23，即可求解．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOC+∠OCE＝180°，
∴AD∥EC．
（2）解：如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，

∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠D＝∠ACB＝60°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴sin∠ADB=ABAD=32，
∴AD=23×23=4，
∴OA＝OC＝2，
∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，
∴四边形OAFC是矩形，
又∵OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴CF＝AF＝2，
∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，
∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵tan∠EAF=EFAF=3，
∴EF=3AF＝23，
∴CE＝CF+EF＝2+23．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，正方形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
24．（12分）某基地产出的苹果清脆爽口，VC丰富，水分充足，口感极佳．一水果店以进价为每千克16元购进该苹果，销售中发现，销售单价定为20元时，日销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（千克），每天获利为w（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；该苹果售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果商家规定这种苹果每天的销售量不低于40千克，求商家每天销售利润的最大值是多少元？
【分析】（1）根据“当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克”可得减少的销售量为5（x﹣20）千克，进而再根据题意列出函数解析式便可；
（2）根据“总利润＝（售价﹣进价）×销售数量”列出函数解析式，最后根据求二次函数的最值方法求出最值；
（3）根据题意“每天的销售量不低于40千克”列出不等式求得x的取值范围，再由二次函数的性质求最大值．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝50﹣5（x﹣20）＝﹣5x+150，
即y＝﹣5x+150（x≥20）；
（2）根据题意得，w＝（x﹣16）（﹣5x+150）＝﹣5x2+230x﹣2400，
即w与x之间的函数关系式为w＝﹣5x2+230x﹣2400，
∵w＝﹣5x2+230x﹣2400＝﹣5（x﹣23）2+245，
又∵﹣5＜0，
∴当x＝23时，w有最大值，最大值为245．
答：w与x之间的函数关系式为：w＝﹣5x2+230x﹣2400，该苹果售价为每千克23元时，每天的销售利润最大，最大值为245元；
（3）由题意得，﹣5x+150≥40，
解得：x≤22，
∵w＝﹣5（x﹣23）2+245，
∴当x≤23时，w随x的增大而增大，
∴当x＝22时，w有最大值，最大值为：w＝﹣5×1+245＝240，
答：商家每天销售利润的最大值是240元．
【点评】本题是一次函数的实际应用与二次函数的实际应用的综合题，主要考查了从实际问题中正确列一次函数的解析式和二次函数的解析式，求二次函数的最值，特别提醒：在运用二次函数的性质求最值时，要思考顶点横坐标在实际的取值范围内没有，若在这个范围内，则顶点的函数值就是所求最值，否则要进一步根据二次函数的增减性质求最值．
25．（13分）【操作发现】

（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B'，点C的对应点为C′；
②连接BB′，此时∠ABB′＝　45　°；
【问题解决】
在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：
（2）如图2，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．
经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABP′，连接PP′，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；
【学以致用】
（3）如图3，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内一点，且PA＝5，PC＝22，∠BPC＝135°，求PB．
【分析】（1）①由题意画出图形；
②由旋转的性质得出AB＝AB′，∠B′AB＝90°，则可得出结论；
（2）将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP'B，由旋转的性质得出AP'＝AP＝3，∠P'AP＝60°，P'B＝PC＝4，得出△APP'是等边三角形，由勾股定理可求出答案；
（3）将三角形ABP绕点C顺时针旋转90°得到△CBP′，连接PP′，由勾股定理及等腰直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）①如图1所示，△AB'C'即为所求；

②连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，如图1所示：
∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，
∴∠ABB′＝45°，
故答案为：45；
（2）如图2，

∵将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△AP′B，
∴AP′＝AP＝3，P′B＝PC＝4，
∠P′AP＝60°，
∴△APP′是等边三角形，
因此PP′＝3，∠AP′P＝60°，
又∵∠AP′B＝∠APC＝150°，
∴∠BP′P＝∠AP′B﹣∠AP′P＝90°，
∴PB=P'B2+P'P2=42+32=5．
（3）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BC．
将三角形ABP绕点C顺时针旋转90°得到△CBP′，连接PP′，如图：

则∠PCP′＝90°，CP′＝CP＝22，
∴AP′＝BP，∠AP′C＝∠BPC＝135°，
∴△CPP′是等腰直角三角形，
∴∠CPP′＝∠CP′P＝45°，
∴PP′=CP'2+CP2=4，
∴∠AP′P＝∠AP′C﹣∠CP′P＝135°﹣45°＝90°，
∴BP＝AP′=PA2-PP'2=52-42=3．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，正确作辅助线并能根据旋转的性质进行证明是解此题的关键．
26．（13分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝2x在第一象限内交于点A（2，t）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过A点作直线AB平行x轴且交抛物线y＝ax2于点B，在x轴的正半轴上找一点C，使得OC＝AB，连接BC交y轴于点D，直线AD上是否存在一点Q使得△CAQ的面积与△CAB的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先利用正比例函数解析式求出A点坐标，再把求得的A点坐标代入二次函数解析式中，便可求得抛物线的解析式；
（2）设P点的坐标为（m，0），分两种情况：当OA＝OP时；当OA＝PA时．列出m的方程便可求得结果；
（3）先用待定系数法求出直线BD、AC、AD的解析式，再分再种情况：当点Q与B点直线AC同旁时；当点Q与B在直线AC两旁时，分别求出Q点坐标便可．
【解答】解：（1）把A（2，t）代入y＝2x中，得t＝4，
∴A（2，4），
把A（2，4）代入y＝ax2中，得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
（2）设P点的坐标为（m，0），
当OA＝OP时，有m2＝22+42，
解得，m＝25，或m＝﹣25，
∴此时P点的坐标为P（﹣25，0）或（25，0）；
当OA＝PA时，有（m﹣2）2+42＝22+42，
解得，m＝0（舍），或m＝4，
∴此时P点坐标为（4，0），
综上，在x轴上存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，其P点坐标为（﹣25，0）或（25，0）或（4，0）；
（3）∵过A点作直线AB平行x轴且交抛物线y＝x2于点B，
∴B（﹣2，4），
∴AB＝4，
∵AB＝OC，
∴C（4，0），
设直线BC的解析式为：y＝cx+d（c≠0），则
-2c+d=44c+d=0，
解得，c=-23d=83，
∴直线BC的解析式为：y=-23x+83，
∴D（0，83），
同理得，AC的解析式为y＝﹣2x+8，
直线BO的解析式为y＝﹣2x，
直线AD的解析式为y=23x+83，
∴OB∥AC，
当点Q与B点在直线AC同旁时，
∵△CAQ的面积与△CAB的面积相等，
∴BQ∥AC，
即Q点在OB上，为AD与OB的交点，
联立方程组得：y=-2xy=23x+83，
解得，x=-1y=2，
∴此时Q（﹣1，2），

当点Q与B点直线AC两旁时，延长BA到E，使得AB＝AE＝4，过E作EQ′∥AC，与AD交于点Q′，
∴E（6，4），
∵△CAQ的面积与△CAB的面积相等，
∴EQ′∥AC，
∴设EQ′的解析式为y＝﹣2x+n，
把E（6，4）代入y＝﹣2x+n，得n＝16，
∴EQ′的解析式为y＝﹣2x+16，
联立方程组y=-2x+16y=23x+83，
解得，x=5y=6，
∴Q′（5，6）；
综上，直线AD上存在一点Q使得△CAQ的面积与△CAB的面积相等，其Q点坐标为Q（﹣1，2）或（5，6）．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，第（2）、（3）题的关键是分情况讨论．