2023年江西省赣州市南康区中考一模数学试卷（含答案）

赣州市南康区2022-2023学年度九年级摸底考试

数学试题卷

说明：

1. 本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。

2. 本卷分为试题卷和答题卷，请在答题卷上作答。

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1. -2的相反数是（　　）

A． 2   B． -2    C．    D．

2. 在水平的桌台上放置着一个如图所示的笔筒，则它的左视图是（★）

3. 下列计算正确的是（　　）

A．    B．

C．   D．

4.如右图，点A，B，C在⊙O上，且，则下列结论错误的是（★）

A．        B．

C.        D.

5. 如右图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系：

根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（　　）

A.       B．

C．      D.

6. 如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC，分别交EF，GH于点M，N。 已知，正方形ABCD的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（　　）

A． 4    B． 4.5    C． 4.8     D． 5

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7. 因式分解：           .

8.《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个。 将数据47000用科学记数法表示为          .

9. 如图，已知，请再添加一个条件，使，你添加的条件是     （写出一个即可）。

10. 已知一组数据a，3，1，10的平均数为5，则中位数是            。

11. 如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，轴，已知点A，B的横坐标分别为2，4，△OAC与△ABD的面积之和为3，则k的值为          。

12. 在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（4，0），点P在x轴上，连接AP，把AP绕点P顺时针旋转得到线段A'P，连结A'B． 若△A'PB是直角三角形，点P的横坐标为             。

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13. （1）计算：。

（2）如图，在△ABC中，，若，求EC的长。

14. 把下列解题过程补充完整。

解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来。

解：由①得：             ，

把②去分母得：           ，

解得：_________________，

在数轴上表示如下：

所以不等式组的解集为：            。

15. 在落实“双减”政策过程中，某中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了A．体育锻炼，B． 劳动创造，C． 经典阅读，D． 科普探索四大板块课程。若该校小丽和小慧两名同学随机选择一个板块课程。

（1）小慧选择“D． 科普探索”课程的概率是        ；

（2）用画树状图或列表的方法，求小丽和小慧选择同一个板块课程的概率。

16. 如图，在△ABC中，，D是BC边的中点，交直线AC于点E，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图。

（1）在图1中，过点C作AB的垂线；

（2）在图2中，过点E作BC的平行线。

17. 如图，在Rt△ABC中，，，已知A（-2，m），B（0，-3），点C在第四象限。

（1）用含m的代数式表示点C的坐标          ；

（2）若A，C两点恰好同时落在反比例函数图象上，求反比例函数的解析式。

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根。

（1）求实数m的取值范围；

（2）是否存在实数m，使该方程的两个实数根、满足，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

19.【课本再现】（1）我们知道，要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上。 如图1，CD是⊙O的直径，A为⊙O上的点。作交⊙O于点，垂足为M。 请在图1中补全图形，并证明：：

【知识应用】（2）如图2，CD是⊙O的直径，弦，垂足为E，连接AC，AD，若，，求∠BAD的度数和⊙O的半径。

20. 图1是某电动沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示。沙发通过开关控制，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转调整角度，坐深BC与地面水平线平行。图2中的度数指的是∠ABC的度数，如“看电视”模式时。已知，，，，初始状态时。

（1）直接写出“阅读”模式下∠DCD的度数为        °，该沙发从初始位置调至该模式时点D运动的路径长为          cm。

（2）调至“170°睡觉”模式时，该沙发占地长度最大，请计算此时A，D之间的水平距离（结果精确到0.1）。（参考数据：，）

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21. 某小学为了解本校六年级学生的语文和数学期末成绩（满分均为100分），从该校600名六年级学生中随机抽取了50名学生的成绩，并绘制成如下统计图表。

请你根据以上信息，回答下列问题：

（1）填空：       ，           ，           ：     

（2）这50组抽样数据中，两个学科成绩都低于60分的学生有         人；

（3）在小学高年级阶段，“双优（两个学科成绩都大于或等于80分的学生人数）”“双及（两个学科成绩都大于或等于60分的学生人数）”是评价综合成绩是一项重要的指标。请对照统计图，通过计算估计本次期末成绩中，该校六年级学生语文和数学“双优”“双及”的人数分别是多少人？

22. 综合与实践

老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动。如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，点M，P，N分别为DE，AD，AB的中点。试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系。

甲小组发现：。并进行了证明，下面的两个片段是截取的部分证明过程（片段前后证明过程已省略）：

【片段1】∵点P，M分别是AD，DE的中点，

∴。（理由1）

【片段2】∵，∴。（理由2）

反思交流

（1）①填空：理由1：              ；

理由2：                  ；

②图1中，MN与AB的位置关系是               。

（2） 乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把△CDE绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置，请判断△PMN的形状并证明；

（3）丙小组的同学继续探究：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，当时，直接写出线段MN长度的最大值。

六、（本大题共12分）

23. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点（1，-1），（-5，5）都是“相反点”。

（1） 小清认为所有的“相反点”都在同一条直线L上，请直接写出直线L的解析式：          。

（2）小芳在研究抛物线时，发现它的图象上有且只有一个“相反点”（2，-2）。 请你帮她求出a，b的值。

（3）在（2）的条件下将抛物线向上平移个单位得到抛物线，若上有两个“相反点”分别是M，），N（，）（其中，且。

①求m的值；

②当时，直接写出中y的最大值与最小值的差。

2022-2023学年度九年级摸底考试数学参考答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1. A 2. C 3. C 4. B 5. A 6. C

二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.  8.   9.或  10. 4.5   11. 5

12. 2或或【说明：对1个给1分，明显乱写或超过4个答案酌情扣分】

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13. 解：（1）原式 。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分

；。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

（2）∵，∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分

即，解得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

14.。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3 分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

15. 解：（1）；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

（2）画树状图如下：

。。。。。。。。4分

共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种，

∴小丽和小慧选同一个板块课程的概率为。。。。。。。。。。。。。。。6分

16. 解：（答案不唯一，仅画出图形，两小题都未作文字说明只扣1分）

（1）如图1所示，CF为所求；。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

（2）如图2所示，EF为所求。（说明：直线或线段均可）。。。。。。。6分

17. 解：（1）（，-1）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

（2）把A，C两点带入解析式得

，。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

解得：，。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

∴A（-2，3），∴

∴。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

【给分说明：本题中第2问不需要求解点C坐标的过程】

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18. 解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴，且

∴

解得，且：。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分（缺“且”的扣1分）

（2）存在，理由如下：

根据根与系数的关系可知：，。。。。。。。。。。。。5分

∵。∴，

解得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

【给分说明：不需要检验，其它方法酌情给分】

19. 解：（1）补全图形如下图所示

。。。。。。。。。2分【给分说明：基本合理即可，没有虚线部分不扣分】

连接OA，，在△OAA'中，

∵∴△OAA'是等腰三角形。

又∵，∴。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

（2）∵，∴

在Rt△ACE中，

∴，∵CD是直径，

∴，∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

，

连接OA，在Rt△OAE中，，

∴

解得：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

20. 解：（1），。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分10π：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分（说明：写成31.4不扣分）

（2）调至睡觉模式时，，即B，C，D'在同一直线上，

如图，作交CB的延长线于点E，则有，

在Rt△ABE中，，。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

∴点A，D'之间的水平距离为：）。。。。。8分

【给分说明：结果误差±0.5不扣分】

21. 解：（1）33，6，27；。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

（2）1.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

（3）“双优”：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

“双及”：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分

【给分说明：问题（3）中能体现“双优”“双及”内容即可，可以不写“答”，但是仅有算式需扣1分】

22. 解：（1）①理由1：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。

理由2：直角三角形的两锐角互余。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

【给分说明：文字答案基本正确即可给满分】

②“MN垂直平分AB”或“”：。。。。。。。。。。。。。。3分

【给分说明：仅写成垂直关系不扣分】

（2）△PMN是等腰直角三角形。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

如图2中，连接AE，BD，由旋转知，

∵

∴）。∴

∵点P，M，N分别是AD，ED，AB的中点，

∴，∴。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

又∵。∴

∵，

∴。∴，

∴△PMN是等腰直角三角形。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

（3）7。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分

【解析：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，

∴点D在BC的延长线上时，PM有最大值，

∴，∴，∴

六、（本大题共12分）

23. 解：（1）；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

（2）∵（2，-2）点在抛物线上，

∴，∴，即。。。。。。。。。。4分

∵二次函数l1的图象上有且只有一个“相反点”，

∴有两个相等的实数根。

∴

∴，∴。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

（3）①方法一：∵依题意知M，N两点在二四象限的角平分线上，且，故

∴M（，），

又∵平移后的解析式为，。。。。。。。。。8分

把M，N代入得：

解得：；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

方法二：∵依题意知M，N两点在二四象限的角平分线上，且

∴

又∵平移后的解析式为，。。。。。。。。。8分

∴，是方程的两个实数根，

∴。∴

即，解得：；。。。。。。。。。10分

②。。。。。。。。。。。。。。。。。。12

【解析：由可求∴M（1，-1），N（3，-3），

平移后的抛物线的解析式为∴

∵，

∴当时，y有最大值为-，∴中y的最大值为。

当时，y有最小值为=-3，∴】