2023年福建省厦门市中考一模数学试卷（含答案）

这是一份2023年福建省厦门市中考一模数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了可以直接使用2B铅笔作图，下列运算正确的是，某初中校有七、八、九三个年级，不等式的解集为________等内容，欢迎下载使用。
2023年厦门市初中毕业班模拟考试
数学
本试卷共6页，满分150分.
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.
3.可以直接使用2B铅笔作图.
一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1.根据国家统计局发布的数据，2022年我国人均可支配收入已超36000元，扣除价格因素，与2021年相比上涨2.9%其中36000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2.如图所示的立体图形的左视图是（ ）

A. B. C. D.
3.下列点中，在函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在四边形中，，点在边上，平分.下列角中，与相等的是（ ）

A. B. C. D.
6.某初中校有七、八、九三个年级.学期初，校医随机调查了35%的七年级学生的身高，并计算出这些学生的平均身高为米。下列估计最合理的是（ ）
A.该校学生的平均身高约为米
B.该校七年级学生的平均身高约为米
C.该校七年级女生的平均身高约为米
D.该校七年级男生的平均身高约为米
7.根据物理学规律，如果把一个小球从地面以的速度竖直上抛，那么小球经过离地面的高度（单位：）为.根据该规律，下列对方程的两根与的解释正确的是（ ）
A.小球经过约离地面的高度为
B.小球离地面的高度为时，经过约
C.小球经过约离地面的高度为，并将继续上升
D.小球两次到达离地面的高度为的位置，其时间间隔约为
8.小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布.如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆，，，，，.这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定.小梧想用绳子在南侧的两条木杆，和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布.小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（ ）

A. B. C. D.
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9.不等式的解集为________.
10.一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为的事件：________.
11.小桐花45元在文具店购买了一些水笔和笔记本，这两种文具的单价分别为7元/支、5元/本.设小桐购买了支水笔和本笔记本，根据已知信息，可列出方程：________.
12.如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的长为________.

13.如图，平分，于点，点在射线上，且.若，，，则的长为________.

14.根据电子平台“班级书屋”上发布的读书笔记的数量（单位：篇），某班计划选出全体成员都有较高积极性的“读书明星小组”.班委对本班4个小组（每个小组人数相同）的每位成员上学期发布的读书笔记的数量进行统计，结果如表一所示.
表一
小组
甲
乙
丙
丁
众数
8
6
8
7
平均数
6
7
5
7
方差
3.8
2.4
7.1
6.2
根据表一，最适合当选为该班“读书明星小组”的是________.
15.在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，则点的坐标为________.（用含的式子表示）
16.已知二次函数，若对于范围内的任意自变量，都有，则的取值范围是________.
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17.（本题满分8分）
计算：.
18.（本题满分8分）
如图，四边形是平行四边形，延长到点，使得，连接交于点.证明：是的中点.

19.（本题满分8分）
先化简，再求值：，其中.
20.（本题满分8分）
如图，在中，，.以点为圆心，为半径作圆，延长交于点.

（1）请在图中作出点关于直线的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，证明：直线与相切.
21.（本题满分8分）
某厂在某车间全体员工中随机抽取40名进行生产技能测试，并绘制了这40名员工完成规定操作的用时（单位：）的频数分布直方图，如图所示.

（1）根据图，请估计这40名员工完成规定操作的平均用时；
（2）按该厂的评定标准，此次测试中，仅最后一组（）被认定为生产技能不达标.在该车间随机抽取一名员工，估计事件“该员工的生产技能达标”的概率.
22.（本题满分10分）
某医药企业几年前研制并上市一种新的特效药，销售部门根据该药品过去几年的销售数据、同类特效药的销售数据以及对市场的分析、预估，绘制了该药品年销售量（单位：万盒）随价格（单位：元/盒）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示.
该药品2021年价格为60元/盒，经国家医保局与该医药企业谈判，将该药纳入医保2022年价格下调至30元/盒.但在制药成本不变的情况下，当年销售该药品的利润还是与2021年相同，根据已知信息解决下列问题：

（1）求2022年该药品的年销售量；
（2）该企业2023年将使用新研发的制药技术，使制药成本降低40%.为惠及更多患者，该企业计划在2023年继续下调该药品的价格，并希望当年销售该药品的利润比2022年至少增加2500万元用于制药技术的研发，请你为该企业设定该药品价格的范围，并说明理由.
23.（本题满分10分）
《九章算术》句股章一五问“句股容方”描述了关于图形之间关系的问题：知道一个直角三角形较短直角边（“句”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得.（我们不纺称这个正方形为该直角三角形的“句容正方形”）
其文如下：
题：今有句五步，股十二步，问句中容方几何？
答：方三步，十七分步之九.
术：并句、股为法，句股相乘为实，实如法而一，得方一步.
“题”、“答”、“术”的意思大致如下：
问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“句容正方形”的边长是多少？
答案：.
解法：.

（1）根据“句股容方”中描述的直角三角形与其“句容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明；
（2）应用（1）中的命题解决问题：
某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示.其中，是的中点，点，在边上，垂直平分，垂足为，.
今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆.该菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为.考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：①展馆平面示意图中的，，，四个点分别落在菱形场地的四条边上；②展馆主入口的宽度为.去年的规划方案是否可行？请说明理由.
24.（本题满分12分）
点是直线上的定点，等边的边长为，顶点在直线上，从点出发沿着射线方向平移，的延长线与射线交于点，且在平移过程中始终有，连接，，交于点，如图11所示.

（1）以为圆心，为半径作圆，交射线于点，
①当点在上时，如图12所示，求的长；
②的半径为，当平移距离为时，判断点与的位置关系，并说明理由；
（2）在平移过程中，是否存在的情形？若存在，请求出此时点到直线的距离；若不存在，请说明理由.
25.（本题满分14分）
我们称抛物线从左往右上升的这一侧是此抛物线递增的一侧.若一个四边形内不含抛物线递增一侧的任意部分，则称该四边形是此抛物线的“非递增四边形”.
抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点，过点作与轴平行的直线交抛物线于点，将绕点顺时针旋转，点的对应点是，点的对应点是.
（1）若点的坐标为，求点的坐标；
（2）若，
①求点与的距离；（用含的式子表示）
②将抛物线向右平移个单位，记平移后的抛物线为抛物线.证明：当时，以点，，，为顶点的四边形是抛物线的“非递增四边形”.
2023年厦门市初中毕业班模拟考试参考答案
数学
说明：解答只列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分.
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
C
A
A
D
C
B
D
C
二、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分）
9.. 10.摸出红球. 11.. 12.2. 13.11.
14.乙. 15.或. 16..
三、解答题（本大题有10小题，共86分）
17.（本题满分8分）
解：原式…………………………6分
………………………………………………8分
18.（本题满分8分）
证明（方法一）：
∵四边形是平行四边形，
∴，.…………………………2分
∴，.…………………………3分
∵，，
∴.…………………………………………4分
∴.……………………………………6分
∴.………………………………………………7分
∴是的中点.…………………………………………8分

证明（方法二）：
∵四边形是平行四边形，
∴，.………………………………2分
∴.………………………………3分
又∵，
∴.………………………………5分
∴.…………………………………………6分
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.……………………………………7分
∴是的中点.………………………………8分
19.（本题满分8分）
解：原式…………………………2分
……………………………………5分
………………………………………………6分
当时，
原式…………………………8分
20.（本题满分8分）
解：（1）（本小题满分4分）
如图点即为所求.………………………………4分
解法一（利用SSS作全等三角形）：

解法二（利用SAS作全等三角形）：

解法三（利用ASA作全等三角形）：

解法四（利用对称轴垂直平分对应点所连线段）：

（2）（本小题满分4分）
解法一：
证明：连接，，交于点，
∵，
∴.………………………………5分
又∵是的外角，
∴.………………………………6分
在中，，
∴.………………………………7分
由（1）得，垂直平分.
∴，
∴在中，平分.
∴.
即.
∴直线与相切.………………………………8分

解法二：
证明：连接，，.
∵，
∴.…………………………………………5分
又∵是的外角，
∴.…………………………………………6分
在中，，
∴.……………………………………7分
由（1）得，.
∴.
∴.
即.
∴直线与相切.…………………………………………8分

21.（本题满分8分）
解：（1）（本小题满分5分）
根据图，这40名员工完成规定操作的平均用时约为
……………………………………3分
……………………………………………………5分
（2）本题满分3分
（该员工的生产技能达标）.………………………………8分
答：（1）这40名员工完成规定操作的平均用时约为；
（2）在该车间随机抽取一名员工，事件“该员工的生产技能达标”的概率估计为.
22.（本题满分10分）
解：（1）（本小题满分4分）
设双曲线的解析式为.……………………………………1分
由图可知：反比例函数图象经过点.……………………………………2分
可得.
所以.
所以当时，.…………………………………………4分
（2）（本小题满分6分）
解法一：设2021年的制药成本为元/盒，
由图象可知，价格为60元/盒时，该药品的年销售量为100万盒.
因为2022年销售该药品的利润与2021年相同，
可得.……………………………………5分
化简得.
解得.………………………………………………6分
因为2023年继续下调该药品的价格，
所以2023年该药品的价格，则年销售量为万盒.……………………7分
依题意得
.…………………………8分
化简得.
因为，根据不等式的性质，不等式两边同乘以正数，可得.…………9分
所以.
答：（1）2022年该药品的年销售量是700万盒；（2）该药品价格满足元/盒.【说明，结合本题考查目标，第（2）题结论为亦可】
解法二：设2021年的制药成本为元/盒，
由图象可知，价格为60元/盒时，该药品的年销售量为100万盒.
因为2022年销售该药品的利润与2021年相同，
可得.……………………………………5分
化简得.
解得.………………………………………………6分
因为2023年继续下调该药品的价格，
所以2023年该药品的价格，则年销售量为万盒.…………………………7分
依题意得
.………………………………8分
化简得.
令，
因为，
所以当时，随的增大而减小.
又因为当时，，
所以当时，.…………………………………………9分
所以.
答：（1）2022年该药品的年销售量是700万盒；（2）该药品价格满足元/盒.【说明，结合本题考查目标，第（2）题结论为亦可】
23.（本题满分10分）
解：（1）本题满分5分
解法一：
命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，那么该直角三角形的“句容正方形”边长是.…………2分
已知：如图，在中，，，.
四边形是正方形，且点，，分别在边，，上.
求证：.………………………………………………3分

证明：∵四边形是正方形，
∴，.
∴.……………………………………4分
∴.
∴.
∴.……………………………………5分
解法二：
命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，那么该直角三角形的“句容正方形”边长是.……………………2分
已知：如图，在中，，，.
四边形是正方形，且点，，分别在边，，上.
求证：.……………………………………………………3分

证明：连接.
∵四边形是正方形，
∴，.
∴.……………………4分
∵，
∴.
∴.
∴.………………………………………………5分
（2）（本小题满分5分）
解法一：去年的规划方案可行.理由如下：
设菱形场地的两条对角线长分别为米，米，
由题意得，化简得.
如图①，若正方形的四个顶点分别在菱形的四条边上，且，点在线段上，则是的“句容正方形”的边长.
由（1）得米.………………………………7分

如图②，∵是的中点，
∴米.
∵四边形是正方形，
∴米，.
∴，且在中，米.
∴，.
∵是的中点，
∴米.
延长，交于点.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴，.
∴在中，.
∴米.
∴米.
∵，
∴.
∴在中，.
∴米.
所以去年的规划方案可行.………………………………………………10分

解法二：去年的规划方案可行.理由如下：
如图①，设，
∵是的中点，
∴.
∵四边形是正方形，
∴，.
∴，
且在中，.
∴，.
∵是的中点，
∴.
延长，交于点.
∵，
∴.
∴在中，.
∴.
∴，.
∴在中，.
∴.
∵，
∴.
∴在中，.
∵米，
∴米.
∵，
∴
∴，即米.…………………………………………8分

设菱形场地的两条对角线长分别为米，米，
由题意得，化简得.
如图②，若正方形的四个顶点分别在菱形的四条边上，且，点在线段上，则是的“句容正方形”的边长.
由（1）得米.
所以去年的规划方案可行.……………………………………………………10分

24.（本题满分12分）
解：（1）①（本小题满分4分）
∵点在上，
∴.
∴.
∴.……………………………………1分
∵是等边三角形，
∴.
∵，
∴在中，.………………………………2分
∵在中，，
∴.………………………………3分
∴.………………………………4分

②（本小题满分4分）
点在上.理由如下：……………………………………5分
过点作于，
由（1）得，在中，，.
∴，.
∴.
∴.
∵，，
∴，，即.
∵在中，，，
∴.…………………………7分
∵，
∴.
∵，
∴.
∴点在上.………………………………………………8分

（2）（本小题满分4分）
解法一：存在的情形，理由如下：
过点作于，过点作于，交于点，连接.
若存在，则，
∵是等边三角形，
∴.
∴.
∴.
∴.
∵，
∴，.

∴.
∵，，，
∴.……………………………………10分
∴.
又∵，
∴.
设，则.
∴.
∵，
∴.
∴在中，.……………………11分
∴.
∴.
∴在中，.
∴.
∵在中，，
∴.
∴.
∵，
∴.
解得.
此时，.
∴当平移距离为时，，此时点到直线的距离为.…………12分

解法二：存在的情形，理由如下：
过点作于.
若存在，则，
∵是等边三角形，
∴.
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.…………………………………………10分
∴.
∵在中，，
∴.
∴.
∴.
又∵，
∴①.………………………………11分
化简得.
解得，.
经检验，，都是方程①的解.
∵，
∴.
∴.
此时，.
∴当平移距离为时，，此时点到直线的距离为.………………12分

25.（本题满分14分）
解：（1）（本小题满分4分）
因为点的坐标为，
所以.…………………………………………2分
所以此时抛物线的解析式为.
令，
解得.
因为抛物线与轴交于点，且，
所以.…………………………………………3分
所以.
因为将绕点顺时针旋转，点的对应点是，
所以且点在轴的负半轴上.
所以.……………………………………4分
（2）①（本小题满分4分）
由得，………………………………5分
所以抛物线的对称轴为，顶点.
因为轴且点在抛物线上，
所以.
所以点与关于直线对称，
所以，………………………………………………6分
所以，.
如图，过点作轴的垂线，垂足为.
因为将绕点顺时针旋转，点的对应点是，
所以，.
因为，，
所以，.
所以.
所以.
所以，.………………………………7分
因为点在第四象限，
所以.
因为，
所以.
因为，
所以.
所以与的距离.……………………………………8分

②（本题满分6分）
因为，，，，
所以.
所以点在点的上方.
所以轴，.
所以四边形是平行四边形，且边在边的下方.……………………10分
设直线的函数解析式为，
将，分别代入中得
，解得.
所以的函数解析式为.………………………………11分
当时，抛物线记为，解析式为，此时顶点为.
将代入中，得.
所以抛物线的顶点在直线上.
因为抛物线在时，从左向右下降；时，从左向右上升，
所以要证四边形是抛物线的“非递增四边形”，只需证当时，抛物线不在四边形内.
因为.
因为，
所以.
又因为，
所以.
所以当时，抛物线始终在的下方，因此四边形是抛物线的“非递增四边形”.………………12分
当时，设点为抛物线上升部分的任意一点，则在抛物线的上升部分必定存在点的平移对应点，设，其中.过点作轴的垂线交抛物线于点，则，都在抛物线的上升部分，即，.
因为对于抛物线，当时，随增大而增大，
又因为，
所以.
所以当时，抛物线的上升部分，始终在抛物线上升部分的下方，则始终在线段的下方.
综上所述，当时，四边形是抛物线的“非递增四边形”.…………14分