2021年福建省厦门市中考数学二模试卷 解析版

这是一份2021年福建省厦门市中考数学二模试卷 解析版，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年福建省厦门市中考数学二模试卷
一、选择题（每题只有一个选项是正确的，每题4分，共40分）
1．（4分）﹣3的相反数是（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．（4分）式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a≤﹣2 C．a＝0 D．a≥2
3．（4分）北京时间2021年2月10日晚我国首次火星探测任务“天问一号”探测器在距离地球约192000000km处成功实施制动捕获，随后进入环绕火星轨道192000000可用科学记数法表示为（　　）
A．192×106 B．19.2×107 C．1.92×108 D．0.192×109
4．（4分）2021年3月20日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）下列计算中，正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．3a﹣2a＝1 C．（3a）2＝9a D．a•a2＝a3
6．（4分）如图，AB∥CD，点E在BC上，DE＝EC，若∠B＝35°，则∠BED＝（　　）

A．70° B．145° C．110° D．140°
7．（4分）在以A为原点的数轴上，存在点B，C，满足AB＝2BC，若点B表示的数为8，则点C表示的数为（　　）
A．4 B．12 C．4或12 D．﹣4或﹣12
8．（4分）“某学校改造过程中整修门口1500m的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　）
A．每天比原计划多修5m，结果延期10天完成
B．每天比原计划多修5m，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修5m，结果延期10天完成
D．每天比原计划少修5m，结果提前10天完成
9．（4分）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，作AD∥OC与⊙O相交于点C，且∠BOC＝110°，则∠ABD的大小为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
10．（4分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）计算（﹣2021）0＝　 　．
12．（4分）如果＝3，那么m的值是　 　．
13．（4分）因式分解：2m2﹣2＝　 　．
14．（4分）在不透明的袋子中装有3个白球，2个红球，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机提出1个球，是红球的概率为 　 　．
15．（4分）如图，正五边形ABCDE绕点A旋转了α角，当α＝30°时，则∠1＝　 　．

16．（4分）如图所示，已知双曲线y＝（x＜0）和 y＝（x＞0），直线OA与双曲线y＝交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y＝交于点C，S△ABC＝6，＝，则k＝　 　．

三、解答题（有9小题，共86分）
17．（8分）解方程组：．
18．（8分）先化简，再求值：（），其中．
19．（8分）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？
20．（8分）如图，在正方形ABCD内有等边△BCE、等边△ADF，AF交BE于点G，DF交CE于点H．
（1）请用尺规作图的方法作出△ADF（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）四边形EGFH是什么特殊四边形？请证明你的结论．

21．（8分）某品牌热水器中原有水的温度为20℃，开机通电，热水器启动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到70℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此时水温y℃与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至35℃时，热水器又自动以相同的功率加热至70℃，…，重复上述过程．如图，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）当0≤x≤25时，求水温y℃开机时间x分钟的函数表达式；
（2）求图中t的值；
（3）开机通电60分钟时，热水器中水的温度y约为多少摄氏度？

22．（10分）某药物研发机构为对比甲、乙两种新开发的药物的疗效，需要检测患者体内的药物浓度m和病毒载量n两个指标．该机构分别在服用甲种药物和乙种药物的患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图：

注：“●”表示服用甲种药物的患者，“▲”表示服用乙种药物的患者．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这40名被调查者中，
①药物浓度m低于2的有　 　人；
②将20名服用甲种药物患者的病毒载量m的方差记作S12，20名服用乙种药物患者的病毒载量m的方差记作S22，则S12　 　S22（填“＞”，“＝”或“＜”）；
（2）将“药物浓度1≤m≤7，病毒载量1≤n≤4”作为该药物“有效”的依据，将“药物浓度5≤m≤7，病毒载量1≤n≤2”作为该药物“特别有效”的依据，
①药物正式投入市场后，300名服用甲种药物且有效的患者大约有　 　人；
②在服用两种药物“特别有效”的患者中，各随机选取一人进行进一步的检测，已知服用每种药物“特别有效”的患者中的男女比例均为2：1，求正好选到性别不相同的患者的概率是多少？
23．（10分）如图①，线段AB，CD交于点O，若∠A与∠B，∠C与∠D中有一组内错角成两倍关系，则称△AOC与△BOD为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角．
（1）如图②，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AB⊥BD，△COD为等边三角形．求证：△AOB，△COD为倍优三角形．
（2）如图③，正方形ABCD的边长为2，点P为边CD上一动点（不与点C，D重合），连接AP和BP，对角线AC和BP交于点O，当△AOP和△BOC为倍优三角形时，求∠DAP的正切值．

24．（12分）如图1，⊙O的弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点且sin∠BAC＝，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．
（1）求证：点P为的中点；
（2）如图2，求⊙O的半径和PC的长；
（3）若△ABC不是锐角三角形，求PA•AE的最大值为 　 　．
25．（14分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点（0，﹣），顶点为C（﹣1，﹣2）．
（Ⅰ）求该二次函数的解析式；
（Ⅱ）过A、C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（Ⅲ）当p+q≥﹣2时，试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，p≤y≤q．

2021年福建省厦门市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个选项是正确的，每题4分，共40分）
1．（4分）﹣3的相反数是（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．
【分析】依据相反数的定义解答即可．
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：B．
2．（4分）式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a≤﹣2 C．a＝0 D．a≥2
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a+2≥0，
∴a≥﹣2，
故选：A．
3．（4分）北京时间2021年2月10日晚我国首次火星探测任务“天问一号”探测器在距离地球约192000000km处成功实施制动捕获，随后进入环绕火星轨道192000000可用科学记数法表示为（　　）
A．192×106 B．19.2×107 C．1.92×108 D．0.192×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：192000000＝1.92×108，
故选：C．
4．（4分）2021年3月20日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（4分）下列计算中，正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．3a﹣2a＝1 C．（3a）2＝9a D．a•a2＝a3
【分析】分别根据幂的乘方运算法则，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
B、3a﹣2a＝a，故本选项不合题意；
C、（3a）2＝9a2，故本选项不合题意；
D、a•a2＝a3，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（4分）如图，AB∥CD，点E在BC上，DE＝EC，若∠B＝35°，则∠BED＝（　　）

A．70° B．145° C．110° D．140°
【分析】先由AB∥CD，得∠C＝∠B＝35°，DE＝CE，得∠EDC＝∠C，再根据三角形外角的性质求得答案即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝35°，
∴∠C＝∠B＝35°，
又∵DE＝CE，
∴∠EDC＝∠C，
∴∠BED＝2∠C＝70°，
故选：A．
7．（4分）在以A为原点的数轴上，存在点B，C，满足AB＝2BC，若点B表示的数为8，则点C表示的数为（　　）
A．4 B．12 C．4或12 D．﹣4或﹣12
【分析】由于点A表示的数是0，点B表示的数是8，则线段AB的长度为8；又AB＝2BC，分两种情况，①点C在B的右边；②点C在B的左边；进行讨论即可求解．
【解答】解：∵点A表示的数是0，点B表示的数是8，
∴AB＝8﹣0＝8，
又∵AB＝2BC，
∴BC＝4，
∴①点C在B的右边，其坐标应为8+4＝12；
②点C在B的左边，其坐标应为8﹣4＝4．
故点C表示的数为4或12．
故选：C．
8．（4分）“某学校改造过程中整修门口1500m的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　）
A．每天比原计划多修5m，结果延期10天完成
B．每天比原计划多修5m，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修5m，结果延期10天完成
D．每天比原计划少修5m，结果提前10天完成
【分析】由x代表的含义找出（x﹣5）代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论．
【解答】解：设实际每天整修道路xm，则（x﹣5）m表示：实际施工时，每天比原计划多修5m，
∵方程，其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间，
∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成．
故选：B．
9．（4分）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，作AD∥OC与⊙O相交于点C，且∠BOC＝110°，则∠ABD的大小为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据平行线的性质、等腰三角形的性质求出∠AOD，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠BOC＝110°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝70°，
∵AD∥OC，
∴∠BAD＝∠AOC＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠ODA＝∠BAD＝70°，
∴∠AOD＝40°，
由圆周角定理得，∠ABD＝∠AOD＝20°，
故选：A．
10．（4分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．
【解答】解：①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确．
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．
③由c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，得ac2+bc+c＝0．当c≠0，则ac+b+1＝0；当c＝0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．
④，由b2﹣4ac＝，得．由x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则成立，那么④正确．
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：C．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）计算（﹣2021）0＝　1　．
【分析】根据a0＝1（a≠0）进行计算．
【解答】解：原式＝1，
故答案为：1．
12．（4分）如果＝3，那么m的值是　9　．
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵32＝9，
∴＝3，
故答案为：9．
13．（4分）因式分解：2m2﹣2＝　2（m+1）（m﹣1）　．
【分析】直接提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：2m2﹣2＝2（m2﹣1）
＝2（m+1）（m﹣1）．
故答案为：2（m+1）（m﹣1）．
14．（4分）在不透明的袋子中装有3个白球，2个红球，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机提出1个球，是红球的概率为 　　．
【分析】用白球的个数除以所有球的个数即可求得抽到白球的概率．
【解答】解：∵共有5个球，其中红球有2个，
∴P（摸到白球）＝，
故答案为：．
15．（4分）如图，正五边形ABCDE绕点A旋转了α角，当α＝30°时，则∠1＝　138°　．

【分析】由五边形内角和公式及正多边形的性质得到正五边形每个内角的度数，求解∠2，利用旋转的性质与五边形的内角和公式得到答案．
【解答】解：如图所示：

∵正五边形每个内角的度数为＝108°，α＝30°，
∴∠2＝108°﹣30°＝78°，
由旋转的性质得：对应角相等，
∴∠M＝∠MNH＝108°，
在五边形AMNHE中，∠E＝108°，
∴∠1＝540°﹣3×108°﹣78°＝138°，
故答案为：138°．
16．（4分）如图所示，已知双曲线y＝（x＜0）和 y＝（x＞0），直线OA与双曲线y＝交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y＝交于点C，S△ABC＝6，＝，则k＝　﹣4　．

【分析】，连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F，先证得S△OBC＝S△ABC＝6，由＝，得出S△OPB＝2，S△OPC＝4，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△OBE＝，进一步得出S△PBE＝，通过证得△BEP∽△CFP，得出S△CFP＝2，然后根据S△OCF＝S△OBC﹣S△OPB﹣S△CFP求得△OCF的面积为2，从而求得k的值．
【解答】解：如图，连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F．

∵OA∥BC，
∴S△OBC＝S△ABC＝6，
∵PB：PC＝1：2，
∴S△OPB＝2，S△OPC＝4，
∵S△OBE＝，
∴S△PBE＝，
∵△BEP∽△CFP，
∴＝（）2
∴S△CFP＝4×＝2，
∴S△OCF＝S△OBC﹣S△OPB﹣S△CFP＝6﹣2﹣2＝2，
∴k＝﹣4．
故答案为﹣4．
三、解答题（有9小题，共86分）
17．（8分）解方程组：．
【分析】①+②得出5x＝10，求出x＝2，把x＝2代入①求出y即可．
【解答】解：
①+②得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：4+y＝3，
解得：y＝﹣1，
所以原方程组的解为：．
18．（8分）先化简，再求值：（），其中．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（）
＝
＝
＝，
当a＝时，原式＝＝4．
19．（8分）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？
【分析】根据小明得分要超过90分，就可以得到不等关系：小明的得分＞90分，设应答对x道，则根据不等关系就可以列出不等式求解．
【解答】解：设应答对x道，则：10x﹣5（20﹣x）＞90，
解得x＞12，
∵x取整数，
∴x最小为：13，
答：他至少要答对13道题．
20．（8分）如图，在正方形ABCD内有等边△BCE、等边△ADF，AF交BE于点G，DF交CE于点H．
（1）请用尺规作图的方法作出△ADF（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）四边形EGFH是什么特殊四边形？请证明你的结论．

【分析】（1）分别以A、D为圆心，AD为半径画弧，两弧在正方形ABCD内部相交于F，则△ADF满足条件；
（2）利用正方形的性质得到AB＝BC＝AD，利用等边三角形的性质得到BE＝BC＝CE，AD＝AF＝DF，∠EBC＝∠DAF＝∠ADF＝∠BCE＝∠AFD＝60°，再证明GE＝GF，接着证明GE∥FH，HE∥GF，则可判断四边形EGFH是菱形．
【解答】解：（1）如图，△ADF为所作；

（2）四边形EGFH是菱形．
理由如下：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠DAB＝90°，
∵△BEC和△AFD都为等边三角形，
∴BE＝BC＝CE，AD＝AF＝DF，∠EBC＝∠DAF＝∠ADF＝∠BCE＝∠AFD＝60°，
∴∠GAB＝∠GBA＝30°，
∴GA＝GB，∠BGF＝30°+30°＝60°，
∴GE＝GF，
∵∠BGF＝∠AFD，
∴GE∥FH，
同理可得HE∥GF，
∴四边形EGFH为平行四边形，
而GE＝GF，
∴四边形EGFH是菱形．
21．（8分）某品牌热水器中原有水的温度为20℃，开机通电，热水器启动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到70℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此时水温y℃与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至35℃时，热水器又自动以相同的功率加热至70℃，…，重复上述过程．如图，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）当0≤x≤25时，求水温y℃开机时间x分钟的函数表达式；
（2）求图中t的值；
（3）开机通电60分钟时，热水器中水的温度y约为多少摄氏度？

【分析】（1）将（0，20），（25，70）代入函数表达式y＝kx+b，即可解得答案；
（2）当25≤x≤t时，求得反比例的解析式，即可得出答案；
（3）求得对应时间的函数解析式即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤25时，设水温y℃开机时间x分钟的函数表达式为y＝kx+b，
将（0，20），（25，70）代入得，
，
解得，，
∴水温y℃开机时间x分钟的函数表达式为y＝2x+20；
（2）当25≤x≤t时，设水温y℃开机时间x分钟的函数表达式为y＝，
由题意得，70＝，
∴m＝1750，
∴y＝，
∴当y＝35时，t＝50，
∴t的值是50；
（3）∵AB∥CD，
∴设AB的解析式为y＝2x+n，
将（50，35）代入，得n＝﹣65，
∴AB的解析式为y＝2x﹣65，
当y＝70时，x＝67.5，
∵50＜60＜67.5，
∴把x＝60代入y＝2x﹣65，
则y＝2×60﹣65＝55，
∴开机通电60分钟时，热水器中水的温度y约为55摄氏度．
22．（10分）某药物研发机构为对比甲、乙两种新开发的药物的疗效，需要检测患者体内的药物浓度m和病毒载量n两个指标．该机构分别在服用甲种药物和乙种药物的患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图：

注：“●”表示服用甲种药物的患者，“▲”表示服用乙种药物的患者．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这40名被调查者中，
①药物浓度m低于2的有　6　人；
②将20名服用甲种药物患者的病毒载量m的方差记作S12，20名服用乙种药物患者的病毒载量m的方差记作S22，则S12　＜　S22（填“＞”，“＝”或“＜”）；
（2）将“药物浓度1≤m≤7，病毒载量1≤n≤4”作为该药物“有效”的依据，将“药物浓度5≤m≤7，病毒载量1≤n≤2”作为该药物“特别有效”的依据，
①药物正式投入市场后，300名服用甲种药物且有效的患者大约有　270　人；
②在服用两种药物“特别有效”的患者中，各随机选取一人进行进一步的检测，已知服用每种药物“特别有效”的患者中的男女比例均为2：1，求正好选到性别不相同的患者的概率是多少？
【分析】（1）①由统计图求解即可；
②由统计图得甲种药物患者的病毒载量比较稳定，求解即可；
（2）①由300乘以服用甲种药物且有效的患者所占的比例即可；
②画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）①由题意得：药物浓度m低于2的有6人，
故答案为：6；
②由题意得：甲种药物患者的病毒载量比较稳定，则S12＜S22，
故答案为：＜；
（2）①药物正式投入市场后，300名服用甲种药物且有效的患者大约有：300×＝270（人），
故答案为：270；
②由题意得：服用两种药物“特别有效”的患者分别有3人，
∵服用每种药物“特别有效”的患者中的男女比例均为2：1，
∴服用每种药物“特别有效”的患者中的男性为2人，女性为1人，
画树状图为：

共有9种等可能的情况，其中性别不相同的患者的情况有4种，
∴正好选到性别不相同的患者的概率P＝．
23．（10分）如图①，线段AB，CD交于点O，若∠A与∠B，∠C与∠D中有一组内错角成两倍关系，则称△AOC与△BOD为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角．
（1）如图②，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AB⊥BD，△COD为等边三角形．求证：△AOB，△COD为倍优三角形．
（2）如图③，正方形ABCD的边长为2，点P为边CD上一动点（不与点C，D重合），连接AP和BP，对角线AC和BP交于点O，当△AOP和△BOC为倍优三角形时，求∠DAP的正切值．

【分析】（1）△COD是等边三角形，得到∠AOB＝∠COD＝60°，又AB⊥BD，故∠BAO＝30°，即可求解；
（2）①若∠BCO＝2∠PAO，得到PD＝PH，进而求解；②若∠APO＝2∠CBO，得到∠DAP＝∠API＝∠BPI＝∠CBP，则DP＝CP＝1，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△COD是等边三角形，
∴∠COD＝∠OCD＝60°，
∴∠AOB＝∠COD＝60°，
又∵AB⊥BD，
∴∠BAO＝30°，
∴∠OCD＝2∠BAO，
∴△AOB与△COD为倍优三角形．
（2）由题意，∠BCO＞∠PAO，∠APO＞∠CBO．
①若∠BCO＝2∠PAO，如图③﹣1，过点P作PH⊥AC于H，
则∠DAO＝2∠PAO，
∴AP平分∠DAC，
又PH⊥AC，∠D＝90°，
∴PD＝PH，
不妨设PD＝PH＝m，则PC＝2﹣m．
则PC＝PH，
∴2﹣m＝m，
∴m＝2﹣2，
∴tan∠DAP＝＝﹣1．
②若∠APO＝2∠CBO，如图③﹣2，过点P作PI∥BC交AB于I，

则∠BPI＝∠CBO．
又∵∠APO＝2∠CBO，
∴∠APO＝2∠BPI，
则∠DAP＝∠API＝∠BPI＝∠CBP，
故DP＝CP＝1，
∴tan∠DAP＝＝．
综上，∠DAP的正切值为﹣1或；
24．（12分）如图1，⊙O的弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点且sin∠BAC＝，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．
（1）求证：点P为的中点；
（2）如图2，求⊙O的半径和PC的长；
（3）若△ABC不是锐角三角形，求PA•AE的最大值为 　80　．
【分析】（1）要证P是弧BAC的中点，只需要证明弧PB＝弧PC，可以转化成证明∠PBC＝∠PCB即可，利用∠PAE＝∠PBC，∠PCB＝∠PAB，又∠PAF＝∠PAB，则∠PBC＝∠PCB，所以弧PB＝弧PC；
（2）由于△PBC是圆内接等腰三角形，可以证明PO垂直平分BC，且P，O，M三点共线，解直角△PCM，求出PC，即可解决；
（3）因为∠ACE＝∠BPE，同理，∠CAE＝∠PBC，又∠PBC＝∠PCB＝∠PAB，所以∠CAE＝∠PAB，则△ACE∽△APB，所以PA•AE＝AC•AB，过C作CQ⊥AB于Q，可以证得S△ABC＝AB•AC，所以PA•AE＝S△ABC，当A运动到如图4，即∠ACB＝90°时，△ABC面积最大，此时PA•AE的值最大，利用勾股定理，求出AC的长度，继而得到△ABC的面积，即可解决．
【解答】（1）证明：①如图1，连接OC，AB，
∵AP平分∠BAF，
∴∠BAP＝∠PAF，
∵∠PAF+∠PAC＝180°，
∠PAC+∠PBC＝180°，
∴∠PAF＝∠PBC，
又∠BAP＝∠PCB，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴PB＝PC，
∴弧PB＝弧PC，
∴点P为的中点；

（2）解：连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，
∴OM垂直平分BC，
∴BM＝CM＝BC＝3，∠BOM＝∠BOC＝∠BAC，
∵sin∠BAC＝，
∴sin∠BOM＝＝，
∴OB＝5，
∴⊙O的半径是5，
在Rt△OMC中，OM＝＝4，
在Rt△PMC中，PM＝OM+OP＝9，
∴PC＝＝3；

（3）∵∠ACE+∠BCA＝∠BPE+∠BCA＝180°，
∴∠ACE＝∠BPE，
同理，∠CAE＝∠PBC＝∠PAB，
∴△ACE∽△APB，
∴，
∴PA•AE＝AC•AB，
如图4，过C作CQ⊥AB于Q，
∵sin∠BAC＝，
∴CQ＝AC•sin∠BAC，
∴S△ABC＝AB•CQ＝AB•AC，
∴PA•AE＝S△ABC，
∵△ABC非锐角三角形，且BC＝6，
∴当A运动到使∠ACB＝90°时，
△ABC面积最大，
在Rt△ABC中，BC＝6，AB＝10，
∴AC＝＝8，
∴S△ABC＝BC•AC＝24，
∴此时，PA•AE＝80，
即PA•AE的最大值为80，
故答案为：80．



25．（14分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点（0，﹣），顶点为C（﹣1，﹣2）．
（Ⅰ）求该二次函数的解析式；
（Ⅱ）过A、C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（Ⅲ）当p+q≥﹣2时，试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，p≤y≤q．
【分析】（Ⅰ）由二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为C（﹣1，﹣2），可设其解析式为y＝a（x+1）2﹣2，再把点（0，﹣）代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式；
（Ⅱ）由二次函数的解析式求出A（1，0）．过点C作CH⊥x轴于点H．解直角△ACH，得出AH＝2＝CH，那么∠1＝45°，AC＝2．解等腰直角△DEF得出∠2＝45°，EF＝4，由∠1＝∠2＝45°，得到EF∥CH∥y轴．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x﹣1．设F（m，m2+m﹣）（其中m＞1），则点E（m，m﹣1），那么EF＝（m2+m﹣）﹣（m﹣1）＝m2﹣＝4，解方程求出m，进而得出点F的坐标；
（Ⅲ）因为y＝（x+1）2﹣2所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣2，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．由于p+q≥﹣2，p≤x≤q，所以分两种情况进行讨论：①p＜﹣1＜q和②p≥﹣1．利用二次函数最值的求法解答．
【解答】解：（Ⅰ）∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为C（﹣1，﹣2），
∴可设该二次函数的解析式为y＝a（x+1）2﹣2，
把点（0，﹣）代入，得﹣＝a（0+1）2﹣2，
解得a＝，
∴该二次函数的解析式为y＝（x+1）2﹣2；
（Ⅱ）由（x+1）2﹣2＝0，得x＝﹣3或1，
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴交于点A，
∴A（1，0）．
如图，过点C作CH⊥x轴于点H．
∵C（﹣1，﹣2），
∴CH＝2，OH＝1，
又∵AO＝1，
∴AH＝2＝CH，
∴∠1＝45°，AC＝＝2．
在等腰直角△DEF中，DE＝DF＝AC＝2，∠FDE＝90°，
∴∠2＝45°，EF＝＝4，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴EF∥CH∥y轴．
由A（1，0），C（﹣1，﹣2）可得直线AC的解析式为y＝x﹣1．
由题意，设F（m，m2+m﹣）（其中m＞1），则点E（m，m﹣1），
∴EF＝（m2+m﹣）﹣（m﹣1）
∴m2﹣＝4，
∴m1＝3，m2＝﹣3（不合题意舍去），
∴点F的坐标为（3，6）；
（Ⅲ）∵二次函数的解析式为y＝（x+1）2﹣2；
∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣2，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．
①当p＜﹣1＜q时，此时二次函数y＝（x+1）2﹣2，的最小值是﹣2＝p，
∵p+q≥﹣2，
∴q≥0，
∴p＝（p+1）2﹣2或q＝（q+1）2﹣2；
Ⅰ）当p＝（x+1）2﹣2时，由于p＝（﹣2+1）2﹣2＝﹣＜﹣1，符合题意；
Ⅱ）当q＝（q+1）2﹣2时，解得q＝或﹣，
由于q≥0，
所以q＝；
②当p≥﹣1时，此二次函数y随x的增大而增大，则，
解得，或，
∵p≥﹣1，
∴q≥﹣1，
∴或不合题意，
综上所述，p为﹣2或，q的值为．