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2023年重庆市南岸区中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年重庆市南岸区中考数学一模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年重庆市南岸区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数−3的相反数是( )
A. 3 B. −3 C. −13 D. 13
2. 下列文字图形中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 化简a2⋅a3的结果是( )
A. a B. a5 C. a6 D. a8
4. 估算 26−1的结果在( )
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
5. 正方形ODEF与正方形OABC位似，点O为位似中心，OE：OB=1：4，则正方形ODEF与正方形OABC的周长比为( )
A. 1：3
B. 1：4
C. 1：9
D. 1：16
6. 某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成.如图①，当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块；如图②，当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块；如图③，当正方形地砖有3块时，等腰直角三角形地砖有10块；…；以此类推，当人行道有20块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为( )
A. 38 B. 40 C. 42 D. 44
7. 星期天，小颖从家去体育馆运动，运动结束后按原路返回，如图表示小颖离家距离和时间的关系，下列说法正确的是( )
A. 小颖家离体育馆 1.5千米 B. 小颖在体育馆运动了3小时
C. 小颖到家的时间4点钟 D. 小颖去时的速度大于回家的速度
8. 某种商品原来每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为162元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A. 200(1−2x)=162 B. 200×2×(1−x)=162
C. 200(1−x2)=162 D. 200(1−x)2=162
9. 2023年3月16日，以“智创广阳湾，蝶变创新港”为主题的首届“迎龙创新港杯”创新大赛总决赛，在重庆经开区举行，亮亮同学受到启发，找到了一种测量光盘直径的方法，他把直尺、光盘和含60°角的三角尺按如图所示的方法放置在桌面上，并量出AB=4cm，则光盘的直径是( )
A. 4 3cm B. 8cm C. 8 3cm D. 12cm
10. 已知整式M=2−3x，N=3x+1，则下列说法中正确的有( )
①无论x为何值，M和N的值都不可能为正；
②若a为常数且(M+a)×N=1−9x2，则a=−1；
③若M×N=−2，则M2+N2=11；
④不存在这样的实数x，使得M×N=3．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 计算：|−2|+(π−2)0= ______ ．
12. 随着全国经济运行情况的好转，就业形势持续回暖，根据政府工作报告安排，2023年城镇新增就业1200万人左右，1200可用科学记数法表示为______ ．
13. 一个袋中有5个球，分别标有1，2，3，4，5这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，则摸出标有数字为奇数的球的概率为______．
14. 如图，直线AB//CD，直线EF分别与AB和CD相交，如果∠1=65°，那么∠2的度数是______ °.
15. 如图，A，B，C三点在⊙O上，∠B=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是______ .(结果保留π)
16. 若关于x的一元一次不等式组x≥−2x+72x−x−12
18. 如果两个两位数ab−和cd−，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新ba−和dc−，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“友谊数对”，例如：26×93=62×39=2418，所以，26和93是一对“友谊数对”．
(1)若ab−和cd−是一对“友谊数对”，则a，b，c，d之间满足的等量关系为______ ；
(2)若ab−和cd−是一对“友谊数对”，其中a=x+3，b=2x2−4x+4，c=2x2−4x+5，d=x+5，则这两个两位数分别是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1)(x+1)2+x(x−2)；
(2)(a−9a)÷a−3a2．
20. (本小题10.0分)
在学习三角形的过程中，小明遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，把△ABC分成两个等腰三角形，并说明理由.聪明的小明经过思考后很快就有了思路：作线段AC的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，得到两条相等线段，从而构造出等腰三角形，使问题得到了解决．
请根据小明的思路完成下面的作图并填空：
解：用直尺和圆规作AC的垂直平分线，分别交AC，BC于点D，E，连接AE.(不写作法，不下结论，只保留作图痕迹)
∵DE垂直平分线段AC，∴EA= ______ .即△EAC是等腰三角形，∴∠EAC=∠C．
∵∠AEB=∠EAC+∠C，∴ ______ =2∠C.∵∠B=2∠C，∴∠B=∠AEB，
∴AB= ______ .即△ABE是等腰三角形.故△EAC和△ABE是等腰三角形．
21. (本小题10.0分)
为了普及消防安全知识，某校组织七年级学生进行了消防安全知识测试，现从中随机抽取甲、乙两班学生的测试成绩，已知甲、乙两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图表．
七年级抽取的甲、乙两班学生消防安全知识测试成绩统计表
平均数
众数
中位数
甲班
8.1
b
8
乙班
8.46
8
c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
(2)根据以上数据分析，从一个方面评价哪个班级消防安全知识掌握更好？并说明一条理由；
(3)若9分及9分以上为优秀等级，则估计该校七年级700名学生中有多少学生获得优秀等级？
22. (本小题10.0分)
为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8400平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的23．
(1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？
(2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好20天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？
23. (本小题10.0分)
如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，∠BAD=45°，AB=4，点P从点A出发，沿A→B→C方向移动到点C停止.过点D作AP的垂线，垂足为点Q，设AP的长为x(0≤x≤4 5)，DQ的长为y.请解答下列问题：
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)通过取点，画图，测量得到了y与x的几组值，如下表：
x
3
4
5
6
7
8
y
4
4
m
83
167
n
请直接写出m和n的值；
(3)如图2，请在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(4)请直接写出y的最小值．
24. (本小题10.0分)
如图，我边防雷达站A处的工作人员测得在北偏东60°方向的点C处有一艘可疑船只，该船正在以每小时10海里的速度向正东方向航行，点A到点C的距离为10 3海里，此时，我方一艘军舰在距离点A的正东方向12海里的点B处．
(1)求点B到点C之间的距离(结果保留根号)；
(2)当发现可疑船只后，我方军舰立即沿着与正东方向成37°夹角的BD方向前往拦截，军舰航行的速度为每小时20海里，请通过计算说明我方军舰能否在可疑船只的正前方的点D处成功拦截？(参考数据： 3≈1.7，sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34)
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c(b,c是常数)与x轴交于点A(−3,0)和点B(点B在点A右侧)，与y轴交于点C(0,3)．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接AC，BC，点P为直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD//BC交直线AC于点D，过点P作PE//x轴交直线AC于点E.求PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)在(2)中PD+PE取得最大值的条件下，将抛物线沿射线AC方向平移2 2个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，点N为平移后的抛物线上的一点，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的解答过程．
26. (本小题10.0分)
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将线段CB绕点C旋转α(0°<α<180°)，得到线段CD，连接AD，BD．
(1)如图1，若将线段CB绕点C逆时针旋转30°得到线段CD，线段CD，AB交于点E，求证：BD=BE；
(2)如图2，将线段CB绕点C顺时针旋转α时，若∠ACD的平分线CF交AD于点G，交DB的延长线于点F，连接AF.求证： 2CF=2FA−BD；
(3)在(2)的条件下，取AB的中点M，如图3，连接FM和DM，请直接写出DMFM的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：实数−3的相反数是3．
故选：A．
根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误，不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项正确，符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项错误，不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题关键．
根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得计算结果．
【解答】
解：原式=a2+3=a5，故B正确．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】解：∵25<26<36，
∴5< 26<6
∴4< 26−1<5，
故C正确．
故选：C．
由于25<26<36，根据算术平方根得到5< 26<6，即可判断 26−1的范围．
本题主要考查了估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
5.【答案】B
【解析】解：∵正方形ODEF与正方形OABC位似，OE：OB=1：4，
∴OF：OC=1：4，
∴正方形ODEF与正方形OABC的周长为1：4，
故选：B．
先根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k，得OF：OC=1：4，再求正方形ODEF与正方形OABC的周长比．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
6.【答案】C
【解析】解：观察图①可知等腰直角三角形地砖：2×1+2=4，
观察图②可知等腰直角三角形地砖：2×2+2=6，
观察图③可知等腰直角三角形地砖：2×3+2=8，
归纳得有n块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为：2n+2，
“当人行道有20块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为2×20+2=42，
故选：C．
探究规律，利用规律，构建方程求解．
本题主要考查图形的变化规律，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
7.【答案】A
【解析】解：由图象知，小颖家离体育馆 1.5千米，A正确，
故符合题意；
小颖在体育馆从第1小时到第3小时，运动了2小时，B错误，
故不符合题意；
小颖到家的时间是第4小时，而不是4点钟，C错误，
故不符合题意；
小颖去时与回家所用的时间相等，速度也相等，D错误，
故不符合题意．
故选：A．
根据题意和函数图象可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
本题考查函数图象的应用，明确题意，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程200(1−x)2=162，
故选：D．
结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×(1−降低的百分率)，第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×(1−降低的百分率)，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
9.【答案】C
【解析】解：如图，令光盘圆心为O，⊙O与AC相切于点C，连接OA、OB，
∵AB、AC分别切⊙O于B、C，
∴∠BAO=∠CAO，OB⊥AB，
∵∠CAO=60°，
∴∠BAO=180°−60°2=60°，
tan∠BAO=tan60°=OBAB=OB4= 3，
∴OB=4 3，
∴光盘的直径：2OB=8 3，
故选：C．
令光盘圆心为O，⊙O与AC相切于点C，连接OA、OB，由切线的性质及切线长定理得∠BAO=∠CAO，OB⊥AB，进而求得∠BAO=60°，从而利用三角函数即可求解．
本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，切线长定理，熟练常摆切线长定理是解题的关键
10.【答案】B
【解析】解：当x=0时，A=2，B=1，此时M、N都为正，故①不符合题意；
由(M+a)×N=1−9x2，得(2+a)+(3+3a)x−9x2=1−9x2，2+a=1，3+3a=0，
∴a=−1，故②符合题意；
∵M=2−3x，N=3x+1，
∴M+N=3，
∴M2+N2+2MN=9，
∵M×N=−2，
∴M2+N2=9+4=13，故③不符合题意；
∵M2+N2+2MN=9，M×N=3，
∴M2+N2=3，
∴(2−3x)2+(3x+1)2=3，
∴9x2−3x+1=0，
∵Δ=(−3)2−4×9×1=−27<0，
∴方程没有实数根，即不存在这样的实数x，使得M×N=3，故④符合题意；
∴有2个正确．
故选：B．
把相应的整式代入，再利用单项式乘多项式的法则，以及一元二次方程根的判别式进行运算即可．
本题主要考查多项式乘多项式一一元二次方程根的判别式，整体思想的应用，解答的关键是理解清楚题意．
11.【答案】3
【解析】解：|−2|+(π−2)0
=2+1
=3，
故答案为：3．
直接根据绝对值和零指数幂运算即可．
本题考查了绝对值和零指数幂，掌握运算法则是解答的关键，属于基础题型．
12.【答案】1.2×103
【解析】解：1200=1.2×103．
故答案为：1.2×103．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
13.【答案】35
【解析】解：奇数为1，3，5．
摸出奇数的概率为P=35，
故答案为35．
根据概率公式解答即可．
本题考查了概率公式，熟悉古典概率是解题的关键．
14.【答案】65
【解析】解：∵AB//CD，∠1=65°，
∴∠1=∠3=65°，
∵∠2与∠3为对顶角
∴∠2=∠3=65°．
故答案为：65．
由“两直线平行，同位角相等”可求出∠3的度数，由“对顶角相等”可求出∠2的度数．
本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
15.【答案】23π
【解析】解：由圆周角定理可得∠AOC=2∠B=60°，
∴阴影部分面积=60°360∘×π×22=23π，
故答案为：23π．
根据圆周角定理(在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)求得∠AOC，再由扇形面积计算公式求值即可．
本题考查了圆周角定理和扇形面积计算，掌握扇形面积的计算方法是解题关键．
16.【答案】7
【解析】解：解不等式x≥−2x+7得：x≥73，
解不等式2x−x−12
解得a≤4，
解分式方程3−ayy−2+2=−12−y，得y=22−a，
∵关于y的分式方程3−ayy−2+2=−12−y有整数解，
∴2−a=±1或2−a=±2
∴a=4或3或0或1，a=1时，y=2，原分式方程无解，故将a=1舍去，
∴符合条件的所有整数a的和是4+3+0=7，
故答案为：7．
不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件a的值，进而求出之和．
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
17.【答案】325
【解析】解：过E作EM⊥BC于M，则∠EMB=∠EMG=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠C=90°，BC=AD=10，
∵△ABE沿BE翻折到△FBE处，
∴EF=AE，BF=AB=8，∠EFB=∠BFG=∠A=90°，
设FH=CH=x，则BH=8+x，
在Rt△BCH中，由勾股定理得BC2+CH2=BH2，
∴102+x2=(8+x)2，则x=94，
∴FH=CH=94，BH=8+94=414，
∵∠FBG=∠CBH，∠BFG=∠BCH，
∴△BFG∽△BCH，
∴BGBH=FGCH=BFBC，即BG414=FG94=810=45，
∴BG=415，FG=95，
设AE=EF=m，
∵∠A=∠ABM=∠EMB=90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴EM=AB=8，BM=AE=m，
在Rt△EMG中，MG=BG−BM=415−m，EG=EF+FG=m+95，
由勾股定理得EM2+MG2=EG2，
则82+(415−m)2=(m+95)2，
解得m=325，
∴AE=325．
故答案为：325．
过E作EM⊥BC于M，根据矩形性质和折叠性质，结合勾股定理求得FH=CH=94，BH=8+94=414，证明△BFG∽△BCH，求得BG=415，FG=95，设AE=EF=m，证明四边形ABME是矩形，得到EM=AB=8，BM=AE=m，在Rt△EMG中，MG=BG−BM=415−m，EG=EF+FG=m+95，由勾股定理求解即可．
本题考查矩形的判定与性质、翻折性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用相关知识求解是解答的关键．
18.【答案】ac=bd 42，36
【解析】解：(1)∵ab−和cd−是一对“友谊数对”，
∴(10a+b)(10c+d)=(10b+a)(10d+c)，
∴ac=bd，
故答案为：ac=bd；
(2)∵ab−和cd−是一对“友谊数对”，a=x+3，b=2x2−4x+4，c=2x2−4x+5，d=x+5，ac=bd，
∴(x+3)(2x2−4x+5)=(2x2−4x+4)(x+5)，
∴4x2−9x+5=0，
解得x=1或x=54(舍去)，
∴a=4，b=2，c=3，d=6，
∴两个两位数分别是42，36，
故答案为：42，36．
(1)根据“友谊数对”的定义即可得到a，b，c，d之间满足的等量关系，化简得ac=bd；
(2)根据ac=bd列等式，化简解方程可得x的值，可得这两个两位数．
本题考查多项式乘以多项式和新定义“友谊数对”，理解和掌握新定义是解题的关键，需要学生具备一定的分析能力．
19.【答案】解：(1)(x+1)2+x(x−2)
=x2+2x+1+x2−2x
=2x2+1．
(2)(a−9a)÷a−3a2
=(a+3)(a−3)a×a2a−3
=a2+3a．
【解析】(1)根据完全平方公式、单项式乘以多项式法则计算解答即可；
(2)根据分式乘除法则进行计算即可．
此题考查整式、分式的混合计算，关键是根据整式、分工的混合计算顺序和完全平方公式进行解答．
20.【答案】EC ∠AEB AE
【解析】解：作图如下，△EAC和△ABE是所求作的三角形，
∵DE垂直平分线段AC，
∴EA=EC.即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC=∠C．
∵∠AEB=∠EAC+∠C，
∴∠AEB=2∠C．
∵∠B=2∠C，
∴∠B=∠AEB，
∴AB=AE.即△ABE是等腰三角形．故△EAC和△ABE是等腰三角形．
故答案为：EC，∠AEB，AE．
用直尺和圆规作AC的垂直平分线，分别交AC，BC于点D，E，连接AE即可，根据线段垂直平分线的性质以、三角形的外角性质以及等角对等边即可判定△EAC和△ABE是等腰三角形．
本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
21.【答案】16 8 8.5
【解析】解：(1)∵1−8%−4%−38%−34%=16%，
∴a=16；
∵甲班的测试成绩为(8分)的人数最多，
∴众数b=8；
∵乙班成绩处于中间位置的两个分数为8和9，
∴中位数c=8+92=8.5，
故答案为：16，8，8.5；
(2)根据测试成绩统计表数据看，两个班的众数相等，但乙班的平均数和中位数都大于甲班，故乙班级消防安全知识掌握更好；
(3)甲乙两个班的总人数为(4+8+22+11+5)×2=100(名)，
两个班的优秀等级学生有11+5+34%×50+16%×50=41(名)，
∴700×41100=287(名)，
答：估计该校七年级700名学生中约有287名学生获得优秀等级．
(1)在用1减去图3中其它测试成绩所占的百分比可求得a；在图2中找到测试成绩人数最多的可求得b；在图3中找到处于最中间位置的测试成绩可求得c；
(2)根据表中的平均数、众数、中位数数据分析可得结论；
(3)先求得抽取两个班的优秀等级的百分比，然后乘以该校七年级总人数即可求解．
本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的关联、用样本估计总体、中位数和众数，理解题意，能从统计图中准确获取相关信息是解答的关键．
22.【答案】解：(1)设乙工程队每天能完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成(x+100)平方米的绿化改造面积，
依题意得：8400x+100=8400x×23，
解得：x=200，
经检验，x=200是原方程的解，
∴原方程的解为x=200，
∴x+100=300．
答：甲工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成200平方米的绿化改造面积；
(2)设甲工程队先做了x天，则甲乙合作了(20−x)天，则：300x+(20−x)(300+200)=8400，
解得x=8，
∴完成这项绿化改造任务总共需要施工费用为2400×8+(2400+1800)×(20−8)=69600(元)．
【解析】(1)设乙工程队每天能完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成(x+100)平方米的绿化改造面积，根据甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的23，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
(2)设甲工程队先做了x天，则甲乙合作了(20−x)天，根据先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好20天完成绿化改造完成列一元一次方程求得甲单独做的天数，从而即可得解．
本题考查了一元一次方程以及分式方程的应用，解题的关键是：准等量关系，正确列出一元一次方程和分式方程．
23.【答案】解：(1)当点P在AB上运动，即0≤x≤4时，如图，
∵AB=BD，∠BAD=45°，AB=4，
∴BD=AB=4，∠BDA=∠BAD=45°，
∴∠ABD=180°−∠BAD−∠BDA=180°−45°−45°=90°，
∴AB⊥BD，
∵DQ⊥AP，
∴BD与DQ重合，
∴DQ=BD=4，即y=4，
当点P在BC上运动，即4
∴AN=PM，∠N=90°，PN//AD，
∴∠ABN=∠BAD=45°，
∴PM=AN=AB×sin∠ABN=4× 22=2 2，
∵在Rt△ABD中，AB=BD=4，∠ABD=90°，
∴AD= AB2+BD2= 42+42=4 2，
∵DQ⊥AP，PM⊥AD，
∴S△APD=12PM⋅AD=12DQ⋅PA，即12×2 2×4 2=12yx，
∴y=16x，
∴y与x之间的函数关系式为y=4(0≤x≤4)16x(4
∴m、n的值分别为165，2；
(3)在直角坐标系中作y=4(0≤x≤4)16x(4
(4)∵当0≤x≤4时，y=4，当4
【解析】(1)根据点P在AB上运动与点P在BC上运动两种情况，分类求解y与x之间函数关系式即可；
(2)先根据函数关系式即可求出，m、n的值；
(3)利用描点法画出函数图象即可；
(4)根据图形即可求得y的最小值．
本题考查了矩形的判定及性质、平行四边形的性质、反比例函数的图象及性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握平行四边形的性质及反比例函数的图象及性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)过B作BH⊥AC于H，
由题意，AB=12海里，AC=10 3海里，∠BAC=90°−60°=30°，
∴BH=12AB=6海里，则AH= AB2−BH2=6 3海里，
∴CH=AC−AH=4 3海里，
∴BC= BH2+CH2=2 21海里，
即点B到点C之间的距离为2 21海里；
(2)如图，过C作CM⊥BE于M，过D作DN⊥BE于N，则CM=12AC=5 3海里，四边形CMND是矩形，
∴DN=CM=5 3海里，
在Rt△BDN中，sin∠DBN=sin37°=DNBD=5 3BD≈35，tan37°=DNBN=5 3BN≈34，
解得BD=25 33海里，BN=20 33海里，
∴我方军舰到达D的时间为25 33÷20≈0.71小时；
在Rt△CBM中，BM= BC2−CM2=3海里，
则CD=MN=20 33−3≈8.33海里，
∴可疑船只到达D点的时间为8.3÷10=0.83小时，
∵0.71<0.83，
∴我方军舰能在可疑船只的正前方的点D处成功拦截．
【解析】(1)过B作BH⊥AC于H，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
(2)过C作CM⊥BE于M，过D作DN⊥BE于N，则CM=12AC=5 3，四边形CMND是矩形，可得到DN=CM=5 3，分别在和Rt△CBM中解直角三角形分别求得BD=25 33海里，CD=MN=20 33−3≈8.33海里，进而分别求得我方军舰和可疑船只到达D的时间，比较可得出结论．
本题考查解直角三角形的应用，涉及锐角三角函数、含30度角的直角三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，理解题意，添加合适的辅助线是解答的关键．
25.【答案】解：(1)将A(−3,0)，C(0,3)代入y=−12x2+bx+c得，0=−92−3b+c3=c，解得b=−12c=3，
∴y=−12x2−12x+3，
∴抛物线的函数表达式为y=−12x2−12x+3；
(2)当y=0，则−12x2−12x+3=0，整理得(x−2)(x+3)=0，
解得x=2或x=−3，
∴B(2,0)，
∴AB=5，BC= OB2+OC2= 13，AC= OA2+OC2=3 2，
∵PE//AB，PD//BC，
∴∠PED=∠BAC，∠PDE=∠BCA，
∴△PED∽△BAC，
∴PEAB=PDBC，即PE5=PD 13，解得PD= 135PE，
∴PD+PE=5+ 135PE，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A(−3,0)，C(0,3)代入得，0=−3k+b3=b，解得k=1b=3，
∴y=x+3，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
设P(m,−12m2−12m+3)，则E(−12m2−12m,−12m2−12m+3)，
∴PE=−12m2−32m，
∴PD+PE=5+ 135(−12m2−32m)=−5+ 1310(m+32)2+45+9 1340，
∵−5+ 1310<0，
∴m=−32时，PD+PE有最大值45+9 1340，
∴PD+PE的最大值为45+9 1340，P(−32,218)；
(3)y=−12x2−12x+3=−12(x+12)2+258，
∵OA=OC，
∴∠CAO=45°，
将抛物线沿射线AC方向平移2 2个单位长度，相当于向右平移2个单位并向上平移2个单位；
∴平移后的抛物线解析式为y=−12(x+12−2)2+258+2=−12x2+32x+4，即y=−12x2+32x+4，
∴对称轴为直线x=32，
设M(32,t)，N(n,−12n2+32n+4)，
由题意知，以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分BP为边和BP为对角线两种情况求解：
①当BP为边时，如图1，
当四边形BPM′N′是平行四边形，由平行四边形的性质可得，BM′与PN′的中点坐标相同，
∴2+322=−32+n2，解得n=5，
∴N′(5,−1)；
当四边形BPN″M″是平行四边形，由平行四边形的性质可得，BN″与PM″的中点坐标相同，
∴2+n2=−32+322，解得n=−2，
∴N″(−2,−1)；
②当BP为对角线时，如图2，
当四边形BNPM是平行四边形，由平行四边形的性质可知，BP与MN的中点坐标相同，
∴2+(−32)2=32+n2，解得n=−1，
∴N(−1,2)；
综上所述，以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，N点坐标为(5,−1)或(−2,−1)或(−1,2)．
【解析】(1)待定系数法求解即可；
(2)令y=0，求得B(2,0)，则AB=5，BC= OB2+OC2= 13，AC= OA2+OC2=3 2，证明△PED∽△BAC，则PEAB=PDBC，即PE5=PD 13，解得PD= 135PE，PD+PE=5+ 135PE，待定系数法求直线AC的解析式为y=x+3，设P(m,−12m2−12m+3)，则E(−12m2−12m,−12m2−12m+3)，PE=−12m2−32m，PD+PE=5+ 135(−12m2−32m)，根据二次函数的性质进行求最值以及点坐标即可；
(3)由题意知y=−12x2−12x+3=−12(x+12)2+258，OA=OC，∠CAO=45°，将抛物线沿射线AC方向平移2 2个单位长度，相当于向右平移2个单位并向上平移2个单位；即平移后的抛物线解析式为y=−12x2+32x+4，则对称轴为直线x=32，设M(32,t)，N(n,−12n2+32n+4)，由题意知，以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分BP为边和BP为对角线两种情况求解：①当BP为边时，如图1，当四边形BPM′N′是平行四边形，当四边形BPN″M″是平行四边形，根据对角线的中点坐标相同求解即可；②当BP为对角线时，如图2，当四边形BNPM是平行四边形，根据对角线的中点坐标相同求解即可．
本题考查了二次函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数与平行四边形综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
26.【答案】(1)证明：∵线段CB绕点C逆时针旋转30°得到线段CD，
∴CD=CB，∠BCD=30°，
∴∠CDB=∠CBD=180°−30°2=75°
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CAE=∠CBA=45°，
∴∠BED=∠CBA+∠BCD=75°，
∴∠BED=∠CDB，
∴BD=BE；
(2)证明：过点C作CH⊥CF，交FD的延长线于点H，
∵将线段CB绕点C旋转α(0°<α<180°)，得到线段CD，CA=CB，
∴CA=CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵∠CBD+∠CBF=∠CDB+∠CDH=180°，
∴∠CBF=∠CDH，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∵CF=CF，
∴△ACF≌△DCF(SAS)，
∴AF=DF，
∵CH⊥CF，∠ACB=90°，
∴∠DCH+∠DCF=∠HCF=90°=∠ACF+∠BCF，
∴∠DCH=∠BCF，
在△CBF和△CDH中，
∠BCF=∠DCHCB=CD∠CBF=∠CDH，
∴△CBF≌△CDH(ASA)，
∴BF=DH，CF=CH，
∴BF+BD=BD+DH=DF=BH=AF，
在Rt△FCH中，∠FCH=90°，CH=CF，
∴CF2+CH2=2CF2=FH2，
∴FH= 2CF，
∵HF=BF+DH，DH=BH−BD，DF=BH=AF，
∴ 2CF=2FA−BD；
(3)解：如图3，
∵△ACF≌△DCF，
∴∠CAF=∠CDF，
∵∠CBD=∠CDB，∠CBD+∠CBF=180°，
∴∠CAF+∠CBF=180°，
∠ACB+∠CBF+∠DFA+∠CAF=360°，∠ACB=90°，
∴∠DFA=90°，
∵点M是AB的中点，AF=DF，
∴FM=BM=AM=12AB为定值，
∵将线段CB绕点C旋转α(0°<α<180°)，得到线段CD，
∴点D在以点C为圆心BC为半径的圆上运动，当点D、C、M三点共线时，DM最长，此时DMFM最大，如图，
∵∠ACB=90°，MA=MB，CB=CA，
∴CM=MA=MB=MF，CM⊥AB，
∴BC2=CM2+MB2=2CM2，
∴CD=BC= 2CM，
∴DM=(1+ 2)CM，
∴DMFM的最大值为(1+ 2)CMFM=(1+ 2)CMCM=1+ 2．
【解析】(1)由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求得∠CDB=∠CBD=180°−30°2=75°，再根据∠ACB=90°，CA=CB求得∠CAE=∠CBA=45°，从而得∠BED=75°=∠BED，即可证明结论成立；
(2)过点C作CH⊥FD的延长线于点H，先证△ACF≌△DCF得AF=DF，再证△CBF≌△CDH(ASA)得BF=DH，CF=CH，从而有DF=BH=AF，利用勾股定理得FH= 2CF，从而即可证明结论成立；
(3)先证FM=BM=AM=12AB为定值，∠ABD=90°2=45°，进而由将线段CB绕点C旋转α(0°<α<180°)，得到线段CD，得点D在以点C为圆心BC为半径的圆上运动，当点D、C、M三点共线时，DMFM最大，由勾股定理得CD=BC= 2CM，进而有DM=(1+ 2)CM，于是即可求解．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转图形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定及性质、多边形的内角和定理以及角平分线的定义，熟练利用全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定及性质是解题的关键．
2023年重庆市南岸区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数−3的相反数是( )
A. 3 B. −3 C. −13 D. 13
2. 下列文字图形中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 化简a2⋅a3的结果是( )
A. a B. a5 C. a6 D. a8
4. 估算 26−1的结果在( )
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
5. 正方形ODEF与正方形OABC位似，点O为位似中心，OE：OB=1：4，则正方形ODEF与正方形OABC的周长比为( )
A. 1：3
B. 1：4
C. 1：9
D. 1：16
6. 某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成.如图①，当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块；如图②，当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块；如图③，当正方形地砖有3块时，等腰直角三角形地砖有10块；…；以此类推，当人行道有20块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为( )
A. 38 B. 40 C. 42 D. 44
7. 星期天，小颖从家去体育馆运动，运动结束后按原路返回，如图表示小颖离家距离和时间的关系，下列说法正确的是( )
A. 小颖家离体育馆 1.5千米 B. 小颖在体育馆运动了3小时
C. 小颖到家的时间4点钟 D. 小颖去时的速度大于回家的速度
8. 某种商品原来每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为162元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A. 200(1−2x)=162 B. 200×2×(1−x)=162
C. 200(1−x2)=162 D. 200(1−x)2=162
9. 2023年3月16日，以“智创广阳湾，蝶变创新港”为主题的首届“迎龙创新港杯”创新大赛总决赛，在重庆经开区举行，亮亮同学受到启发，找到了一种测量光盘直径的方法，他把直尺、光盘和含60°角的三角尺按如图所示的方法放置在桌面上，并量出AB=4cm，则光盘的直径是( )
A. 4 3cm B. 8cm C. 8 3cm D. 12cm
10. 已知整式M=2−3x，N=3x+1，则下列说法中正确的有( )
①无论x为何值，M和N的值都不可能为正；
②若a为常数且(M+a)×N=1−9x2，则a=−1；
③若M×N=−2，则M2+N2=11；
④不存在这样的实数x，使得M×N=3．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 计算：|−2|+(π−2)0= ______ ．
12. 随着全国经济运行情况的好转，就业形势持续回暖，根据政府工作报告安排，2023年城镇新增就业1200万人左右，1200可用科学记数法表示为______ ．
13. 一个袋中有5个球，分别标有1，2，3，4，5这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，则摸出标有数字为奇数的球的概率为______．
14. 如图，直线AB//CD，直线EF分别与AB和CD相交，如果∠1=65°，那么∠2的度数是______ °.
15. 如图，A，B，C三点在⊙O上，∠B=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是______ .(结果保留π)
16. 若关于x的一元一次不等式组x≥−2x+72x−x−12
18. 如果两个两位数ab−和cd−，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新ba−和dc−，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“友谊数对”，例如：26×93=62×39=2418，所以，26和93是一对“友谊数对”．
(1)若ab−和cd−是一对“友谊数对”，则a，b，c，d之间满足的等量关系为______ ；
(2)若ab−和cd−是一对“友谊数对”，其中a=x+3，b=2x2−4x+4，c=2x2−4x+5，d=x+5，则这两个两位数分别是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1)(x+1)2+x(x−2)；
(2)(a−9a)÷a−3a2．
20. (本小题10.0分)
在学习三角形的过程中，小明遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，把△ABC分成两个等腰三角形，并说明理由.聪明的小明经过思考后很快就有了思路：作线段AC的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，得到两条相等线段，从而构造出等腰三角形，使问题得到了解决．
请根据小明的思路完成下面的作图并填空：
解：用直尺和圆规作AC的垂直平分线，分别交AC，BC于点D，E，连接AE.(不写作法，不下结论，只保留作图痕迹)
∵DE垂直平分线段AC，∴EA= ______ .即△EAC是等腰三角形，∴∠EAC=∠C．
∵∠AEB=∠EAC+∠C，∴ ______ =2∠C.∵∠B=2∠C，∴∠B=∠AEB，
∴AB= ______ .即△ABE是等腰三角形.故△EAC和△ABE是等腰三角形．
21. (本小题10.0分)
为了普及消防安全知识，某校组织七年级学生进行了消防安全知识测试，现从中随机抽取甲、乙两班学生的测试成绩，已知甲、乙两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图表．
七年级抽取的甲、乙两班学生消防安全知识测试成绩统计表
平均数
众数
中位数
甲班
8.1
b
8
乙班
8.46
8
c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
(2)根据以上数据分析，从一个方面评价哪个班级消防安全知识掌握更好？并说明一条理由；
(3)若9分及9分以上为优秀等级，则估计该校七年级700名学生中有多少学生获得优秀等级？
22. (本小题10.0分)
为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8400平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的23．
(1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？
(2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好20天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？
23. (本小题10.0分)
如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，∠BAD=45°，AB=4，点P从点A出发，沿A→B→C方向移动到点C停止.过点D作AP的垂线，垂足为点Q，设AP的长为x(0≤x≤4 5)，DQ的长为y.请解答下列问题：
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)通过取点，画图，测量得到了y与x的几组值，如下表：
x
3
4
5
6
7
8
y
4
4
m
83
167
n
请直接写出m和n的值；
(3)如图2，请在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(4)请直接写出y的最小值．
24. (本小题10.0分)
如图，我边防雷达站A处的工作人员测得在北偏东60°方向的点C处有一艘可疑船只，该船正在以每小时10海里的速度向正东方向航行，点A到点C的距离为10 3海里，此时，我方一艘军舰在距离点A的正东方向12海里的点B处．
(1)求点B到点C之间的距离(结果保留根号)；
(2)当发现可疑船只后，我方军舰立即沿着与正东方向成37°夹角的BD方向前往拦截，军舰航行的速度为每小时20海里，请通过计算说明我方军舰能否在可疑船只的正前方的点D处成功拦截？(参考数据： 3≈1.7，sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34)
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c(b,c是常数)与x轴交于点A(−3,0)和点B(点B在点A右侧)，与y轴交于点C(0,3)．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接AC，BC，点P为直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD//BC交直线AC于点D，过点P作PE//x轴交直线AC于点E.求PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)在(2)中PD+PE取得最大值的条件下，将抛物线沿射线AC方向平移2 2个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，点N为平移后的抛物线上的一点，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的解答过程．
26. (本小题10.0分)
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将线段CB绕点C旋转α(0°<α<180°)，得到线段CD，连接AD，BD．
(1)如图1，若将线段CB绕点C逆时针旋转30°得到线段CD，线段CD，AB交于点E，求证：BD=BE；
(2)如图2，将线段CB绕点C顺时针旋转α时，若∠ACD的平分线CF交AD于点G，交DB的延长线于点F，连接AF.求证： 2CF=2FA−BD；
(3)在(2)的条件下，取AB的中点M，如图3，连接FM和DM，请直接写出DMFM的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：实数−3的相反数是3．
故选：A．
根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误，不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项正确，符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项错误，不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题关键．
根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得计算结果．
【解答】
解：原式=a2+3=a5，故B正确．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】解：∵25<26<36，
∴5< 26<6
∴4< 26−1<5，
故C正确．
故选：C．
由于25<26<36，根据算术平方根得到5< 26<6，即可判断 26−1的范围．
本题主要考查了估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
5.【答案】B
【解析】解：∵正方形ODEF与正方形OABC位似，OE：OB=1：4，
∴OF：OC=1：4，
∴正方形ODEF与正方形OABC的周长为1：4，
故选：B．
先根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k，得OF：OC=1：4，再求正方形ODEF与正方形OABC的周长比．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
6.【答案】C
【解析】解：观察图①可知等腰直角三角形地砖：2×1+2=4，
观察图②可知等腰直角三角形地砖：2×2+2=6，
观察图③可知等腰直角三角形地砖：2×3+2=8，
归纳得有n块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为：2n+2，
“当人行道有20块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为2×20+2=42，
故选：C．
探究规律，利用规律，构建方程求解．
本题主要考查图形的变化规律，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
7.【答案】A
【解析】解：由图象知，小颖家离体育馆 1.5千米，A正确，
故符合题意；
小颖在体育馆从第1小时到第3小时，运动了2小时，B错误，
故不符合题意；
小颖到家的时间是第4小时，而不是4点钟，C错误，
故不符合题意；
小颖去时与回家所用的时间相等，速度也相等，D错误，
故不符合题意．
故选：A．
根据题意和函数图象可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
本题考查函数图象的应用，明确题意，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程200(1−x)2=162，
故选：D．
结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×(1−降低的百分率)，第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×(1−降低的百分率)，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
9.【答案】C
【解析】解：如图，令光盘圆心为O，⊙O与AC相切于点C，连接OA、OB，
∵AB、AC分别切⊙O于B、C，
∴∠BAO=∠CAO，OB⊥AB，
∵∠CAO=60°，
∴∠BAO=180°−60°2=60°，
tan∠BAO=tan60°=OBAB=OB4= 3，
∴OB=4 3，
∴光盘的直径：2OB=8 3，
故选：C．
令光盘圆心为O，⊙O与AC相切于点C，连接OA、OB，由切线的性质及切线长定理得∠BAO=∠CAO，OB⊥AB，进而求得∠BAO=60°，从而利用三角函数即可求解．
本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，切线长定理，熟练常摆切线长定理是解题的关键
10.【答案】B
【解析】解：当x=0时，A=2，B=1，此时M、N都为正，故①不符合题意；
由(M+a)×N=1−9x2，得(2+a)+(3+3a)x−9x2=1−9x2，2+a=1，3+3a=0，
∴a=−1，故②符合题意；
∵M=2−3x，N=3x+1，
∴M+N=3，
∴M2+N2+2MN=9，
∵M×N=−2，
∴M2+N2=9+4=13，故③不符合题意；
∵M2+N2+2MN=9，M×N=3，
∴M2+N2=3，
∴(2−3x)2+(3x+1)2=3，
∴9x2−3x+1=0，
∵Δ=(−3)2−4×9×1=−27<0，
∴方程没有实数根，即不存在这样的实数x，使得M×N=3，故④符合题意；
∴有2个正确．
故选：B．
把相应的整式代入，再利用单项式乘多项式的法则，以及一元二次方程根的判别式进行运算即可．
本题主要考查多项式乘多项式一一元二次方程根的判别式，整体思想的应用，解答的关键是理解清楚题意．
11.【答案】3
【解析】解：|−2|+(π−2)0
=2+1
=3，
故答案为：3．
直接根据绝对值和零指数幂运算即可．
本题考查了绝对值和零指数幂，掌握运算法则是解答的关键，属于基础题型．
12.【答案】1.2×103
【解析】解：1200=1.2×103．
故答案为：1.2×103．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
13.【答案】35
【解析】解：奇数为1，3，5．
摸出奇数的概率为P=35，
故答案为35．
根据概率公式解答即可．
本题考查了概率公式，熟悉古典概率是解题的关键．
14.【答案】65
【解析】解：∵AB//CD，∠1=65°，
∴∠1=∠3=65°，
∵∠2与∠3为对顶角
∴∠2=∠3=65°．
故答案为：65．
由“两直线平行，同位角相等”可求出∠3的度数，由“对顶角相等”可求出∠2的度数．
本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
15.【答案】23π
【解析】解：由圆周角定理可得∠AOC=2∠B=60°，
∴阴影部分面积=60°360∘×π×22=23π，
故答案为：23π．
根据圆周角定理(在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)求得∠AOC，再由扇形面积计算公式求值即可．
本题考查了圆周角定理和扇形面积计算，掌握扇形面积的计算方法是解题关键．
16.【答案】7
【解析】解：解不等式x≥−2x+7得：x≥73，
解不等式2x−x−12
解得a≤4，
解分式方程3−ayy−2+2=−12−y，得y=22−a，
∵关于y的分式方程3−ayy−2+2=−12−y有整数解，
∴2−a=±1或2−a=±2
∴a=4或3或0或1，a=1时，y=2，原分式方程无解，故将a=1舍去，
∴符合条件的所有整数a的和是4+3+0=7，
故答案为：7．
不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件a的值，进而求出之和．
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
17.【答案】325
【解析】解：过E作EM⊥BC于M，则∠EMB=∠EMG=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠C=90°，BC=AD=10，
∵△ABE沿BE翻折到△FBE处，
∴EF=AE，BF=AB=8，∠EFB=∠BFG=∠A=90°，
设FH=CH=x，则BH=8+x，
在Rt△BCH中，由勾股定理得BC2+CH2=BH2，
∴102+x2=(8+x)2，则x=94，
∴FH=CH=94，BH=8+94=414，
∵∠FBG=∠CBH，∠BFG=∠BCH，
∴△BFG∽△BCH，
∴BGBH=FGCH=BFBC，即BG414=FG94=810=45，
∴BG=415，FG=95，
设AE=EF=m，
∵∠A=∠ABM=∠EMB=90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴EM=AB=8，BM=AE=m，
在Rt△EMG中，MG=BG−BM=415−m，EG=EF+FG=m+95，
由勾股定理得EM2+MG2=EG2，
则82+(415−m)2=(m+95)2，
解得m=325，
∴AE=325．
故答案为：325．
过E作EM⊥BC于M，根据矩形性质和折叠性质，结合勾股定理求得FH=CH=94，BH=8+94=414，证明△BFG∽△BCH，求得BG=415，FG=95，设AE=EF=m，证明四边形ABME是矩形，得到EM=AB=8，BM=AE=m，在Rt△EMG中，MG=BG−BM=415−m，EG=EF+FG=m+95，由勾股定理求解即可．
本题考查矩形的判定与性质、翻折性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用相关知识求解是解答的关键．
18.【答案】ac=bd 42，36
【解析】解：(1)∵ab−和cd−是一对“友谊数对”，
∴(10a+b)(10c+d)=(10b+a)(10d+c)，
∴ac=bd，
故答案为：ac=bd；
(2)∵ab−和cd−是一对“友谊数对”，a=x+3，b=2x2−4x+4，c=2x2−4x+5，d=x+5，ac=bd，
∴(x+3)(2x2−4x+5)=(2x2−4x+4)(x+5)，
∴4x2−9x+5=0，
解得x=1或x=54(舍去)，
∴a=4，b=2，c=3，d=6，
∴两个两位数分别是42，36，
故答案为：42，36．
(1)根据“友谊数对”的定义即可得到a，b，c，d之间满足的等量关系，化简得ac=bd；
(2)根据ac=bd列等式，化简解方程可得x的值，可得这两个两位数．
本题考查多项式乘以多项式和新定义“友谊数对”，理解和掌握新定义是解题的关键，需要学生具备一定的分析能力．
19.【答案】解：(1)(x+1)2+x(x−2)
=x2+2x+1+x2−2x
=2x2+1．
(2)(a−9a)÷a−3a2
=(a+3)(a−3)a×a2a−3
=a2+3a．
【解析】(1)根据完全平方公式、单项式乘以多项式法则计算解答即可；
(2)根据分式乘除法则进行计算即可．
此题考查整式、分式的混合计算，关键是根据整式、分工的混合计算顺序和完全平方公式进行解答．
20.【答案】EC ∠AEB AE
【解析】解：作图如下，△EAC和△ABE是所求作的三角形，
∵DE垂直平分线段AC，
∴EA=EC.即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC=∠C．
∵∠AEB=∠EAC+∠C，
∴∠AEB=2∠C．
∵∠B=2∠C，
∴∠B=∠AEB，
∴AB=AE.即△ABE是等腰三角形．故△EAC和△ABE是等腰三角形．
故答案为：EC，∠AEB，AE．
用直尺和圆规作AC的垂直平分线，分别交AC，BC于点D，E，连接AE即可，根据线段垂直平分线的性质以、三角形的外角性质以及等角对等边即可判定△EAC和△ABE是等腰三角形．
本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
21.【答案】16 8 8.5
【解析】解：(1)∵1−8%−4%−38%−34%=16%，
∴a=16；
∵甲班的测试成绩为(8分)的人数最多，
∴众数b=8；
∵乙班成绩处于中间位置的两个分数为8和9，
∴中位数c=8+92=8.5，
故答案为：16，8，8.5；
(2)根据测试成绩统计表数据看，两个班的众数相等，但乙班的平均数和中位数都大于甲班，故乙班级消防安全知识掌握更好；
(3)甲乙两个班的总人数为(4+8+22+11+5)×2=100(名)，
两个班的优秀等级学生有11+5+34%×50+16%×50=41(名)，
∴700×41100=287(名)，
答：估计该校七年级700名学生中约有287名学生获得优秀等级．
(1)在用1减去图3中其它测试成绩所占的百分比可求得a；在图2中找到测试成绩人数最多的可求得b；在图3中找到处于最中间位置的测试成绩可求得c；
(2)根据表中的平均数、众数、中位数数据分析可得结论；
(3)先求得抽取两个班的优秀等级的百分比，然后乘以该校七年级总人数即可求解．
本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的关联、用样本估计总体、中位数和众数，理解题意，能从统计图中准确获取相关信息是解答的关键．
22.【答案】解：(1)设乙工程队每天能完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成(x+100)平方米的绿化改造面积，
依题意得：8400x+100=8400x×23，
解得：x=200，
经检验，x=200是原方程的解，
∴原方程的解为x=200，
∴x+100=300．
答：甲工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成200平方米的绿化改造面积；
(2)设甲工程队先做了x天，则甲乙合作了(20−x)天，则：300x+(20−x)(300+200)=8400，
解得x=8，
∴完成这项绿化改造任务总共需要施工费用为2400×8+(2400+1800)×(20−8)=69600(元)．
【解析】(1)设乙工程队每天能完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成(x+100)平方米的绿化改造面积，根据甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的23，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
(2)设甲工程队先做了x天，则甲乙合作了(20−x)天，根据先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好20天完成绿化改造完成列一元一次方程求得甲单独做的天数，从而即可得解．
本题考查了一元一次方程以及分式方程的应用，解题的关键是：准等量关系，正确列出一元一次方程和分式方程．
23.【答案】解：(1)当点P在AB上运动，即0≤x≤4时，如图，
∵AB=BD，∠BAD=45°，AB=4，
∴BD=AB=4，∠BDA=∠BAD=45°，
∴∠ABD=180°−∠BAD−∠BDA=180°−45°−45°=90°，
∴AB⊥BD，
∵DQ⊥AP，
∴BD与DQ重合，
∴DQ=BD=4，即y=4，
当点P在BC上运动，即4
∴AN=PM，∠N=90°，PN//AD，
∴∠ABN=∠BAD=45°，
∴PM=AN=AB×sin∠ABN=4× 22=2 2，
∵在Rt△ABD中，AB=BD=4，∠ABD=90°，
∴AD= AB2+BD2= 42+42=4 2，
∵DQ⊥AP，PM⊥AD，
∴S△APD=12PM⋅AD=12DQ⋅PA，即12×2 2×4 2=12yx，
∴y=16x，
∴y与x之间的函数关系式为y=4(0≤x≤4)16x(4
∴m、n的值分别为165，2；
(3)在直角坐标系中作y=4(0≤x≤4)16x(4
(4)∵当0≤x≤4时，y=4，当4
【解析】(1)根据点P在AB上运动与点P在BC上运动两种情况，分类求解y与x之间函数关系式即可；
(2)先根据函数关系式即可求出，m、n的值；
(3)利用描点法画出函数图象即可；
(4)根据图形即可求得y的最小值．
本题考查了矩形的判定及性质、平行四边形的性质、反比例函数的图象及性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握平行四边形的性质及反比例函数的图象及性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)过B作BH⊥AC于H，
由题意，AB=12海里，AC=10 3海里，∠BAC=90°−60°=30°，
∴BH=12AB=6海里，则AH= AB2−BH2=6 3海里，
∴CH=AC−AH=4 3海里，
∴BC= BH2+CH2=2 21海里，
即点B到点C之间的距离为2 21海里；
(2)如图，过C作CM⊥BE于M，过D作DN⊥BE于N，则CM=12AC=5 3海里，四边形CMND是矩形，
∴DN=CM=5 3海里，
在Rt△BDN中，sin∠DBN=sin37°=DNBD=5 3BD≈35，tan37°=DNBN=5 3BN≈34，
解得BD=25 33海里，BN=20 33海里，
∴我方军舰到达D的时间为25 33÷20≈0.71小时；
在Rt△CBM中，BM= BC2−CM2=3海里，
则CD=MN=20 33−3≈8.33海里，
∴可疑船只到达D点的时间为8.3÷10=0.83小时，
∵0.71<0.83，
∴我方军舰能在可疑船只的正前方的点D处成功拦截．
【解析】(1)过B作BH⊥AC于H，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
(2)过C作CM⊥BE于M，过D作DN⊥BE于N，则CM=12AC=5 3，四边形CMND是矩形，可得到DN=CM=5 3，分别在和Rt△CBM中解直角三角形分别求得BD=25 33海里，CD=MN=20 33−3≈8.33海里，进而分别求得我方军舰和可疑船只到达D的时间，比较可得出结论．
本题考查解直角三角形的应用，涉及锐角三角函数、含30度角的直角三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，理解题意，添加合适的辅助线是解答的关键．
25.【答案】解：(1)将A(−3,0)，C(0,3)代入y=−12x2+bx+c得，0=−92−3b+c3=c，解得b=−12c=3，
∴y=−12x2−12x+3，
∴抛物线的函数表达式为y=−12x2−12x+3；
(2)当y=0，则−12x2−12x+3=0，整理得(x−2)(x+3)=0，
解得x=2或x=−3，
∴B(2,0)，
∴AB=5，BC= OB2+OC2= 13，AC= OA2+OC2=3 2，
∵PE//AB，PD//BC，
∴∠PED=∠BAC，∠PDE=∠BCA，
∴△PED∽△BAC，
∴PEAB=PDBC，即PE5=PD 13，解得PD= 135PE，
∴PD+PE=5+ 135PE，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A(−3,0)，C(0,3)代入得，0=−3k+b3=b，解得k=1b=3，
∴y=x+3，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
设P(m,−12m2−12m+3)，则E(−12m2−12m,−12m2−12m+3)，
∴PE=−12m2−32m，
∴PD+PE=5+ 135(−12m2−32m)=−5+ 1310(m+32)2+45+9 1340，
∵−5+ 1310<0，
∴m=−32时，PD+PE有最大值45+9 1340，
∴PD+PE的最大值为45+9 1340，P(−32,218)；
(3)y=−12x2−12x+3=−12(x+12)2+258，
∵OA=OC，
∴∠CAO=45°，
将抛物线沿射线AC方向平移2 2个单位长度，相当于向右平移2个单位并向上平移2个单位；
∴平移后的抛物线解析式为y=−12(x+12−2)2+258+2=−12x2+32x+4，即y=−12x2+32x+4，
∴对称轴为直线x=32，
设M(32,t)，N(n,−12n2+32n+4)，
由题意知，以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分BP为边和BP为对角线两种情况求解：
①当BP为边时，如图1，
当四边形BPM′N′是平行四边形，由平行四边形的性质可得，BM′与PN′的中点坐标相同，
∴2+322=−32+n2，解得n=5，
∴N′(5,−1)；
当四边形BPN″M″是平行四边形，由平行四边形的性质可得，BN″与PM″的中点坐标相同，
∴2+n2=−32+322，解得n=−2，
∴N″(−2,−1)；
②当BP为对角线时，如图2，
当四边形BNPM是平行四边形，由平行四边形的性质可知，BP与MN的中点坐标相同，
∴2+(−32)2=32+n2，解得n=−1，
∴N(−1,2)；
综上所述，以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，N点坐标为(5,−1)或(−2,−1)或(−1,2)．
【解析】(1)待定系数法求解即可；
(2)令y=0，求得B(2,0)，则AB=5，BC= OB2+OC2= 13，AC= OA2+OC2=3 2，证明△PED∽△BAC，则PEAB=PDBC，即PE5=PD 13，解得PD= 135PE，PD+PE=5+ 135PE，待定系数法求直线AC的解析式为y=x+3，设P(m,−12m2−12m+3)，则E(−12m2−12m,−12m2−12m+3)，PE=−12m2−32m，PD+PE=5+ 135(−12m2−32m)，根据二次函数的性质进行求最值以及点坐标即可；
(3)由题意知y=−12x2−12x+3=−12(x+12)2+258，OA=OC，∠CAO=45°，将抛物线沿射线AC方向平移2 2个单位长度，相当于向右平移2个单位并向上平移2个单位；即平移后的抛物线解析式为y=−12x2+32x+4，则对称轴为直线x=32，设M(32,t)，N(n,−12n2+32n+4)，由题意知，以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分BP为边和BP为对角线两种情况求解：①当BP为边时，如图1，当四边形BPM′N′是平行四边形，当四边形BPN″M″是平行四边形，根据对角线的中点坐标相同求解即可；②当BP为对角线时，如图2，当四边形BNPM是平行四边形，根据对角线的中点坐标相同求解即可．
本题考查了二次函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数与平行四边形综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
26.【答案】(1)证明：∵线段CB绕点C逆时针旋转30°得到线段CD，
∴CD=CB，∠BCD=30°，
∴∠CDB=∠CBD=180°−30°2=75°
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CAE=∠CBA=45°，
∴∠BED=∠CBA+∠BCD=75°，
∴∠BED=∠CDB，
∴BD=BE；
(2)证明：过点C作CH⊥CF，交FD的延长线于点H，
∵将线段CB绕点C旋转α(0°<α<180°)，得到线段CD，CA=CB，
∴CA=CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵∠CBD+∠CBF=∠CDB+∠CDH=180°，
∴∠CBF=∠CDH，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∵CF=CF，
∴△ACF≌△DCF(SAS)，
∴AF=DF，
∵CH⊥CF，∠ACB=90°，
∴∠DCH+∠DCF=∠HCF=90°=∠ACF+∠BCF，
∴∠DCH=∠BCF，
在△CBF和△CDH中，
∠BCF=∠DCHCB=CD∠CBF=∠CDH，
∴△CBF≌△CDH(ASA)，
∴BF=DH，CF=CH，
∴BF+BD=BD+DH=DF=BH=AF，
在Rt△FCH中，∠FCH=90°，CH=CF，
∴CF2+CH2=2CF2=FH2，
∴FH= 2CF，
∵HF=BF+DH，DH=BH−BD，DF=BH=AF，
∴ 2CF=2FA−BD；
(3)解：如图3，
∵△ACF≌△DCF，
∴∠CAF=∠CDF，
∵∠CBD=∠CDB，∠CBD+∠CBF=180°，
∴∠CAF+∠CBF=180°，
∠ACB+∠CBF+∠DFA+∠CAF=360°，∠ACB=90°，
∴∠DFA=90°，
∵点M是AB的中点，AF=DF，
∴FM=BM=AM=12AB为定值，
∵将线段CB绕点C旋转α(0°<α<180°)，得到线段CD，
∴点D在以点C为圆心BC为半径的圆上运动，当点D、C、M三点共线时，DM最长，此时DMFM最大，如图，
∵∠ACB=90°，MA=MB，CB=CA，
∴CM=MA=MB=MF，CM⊥AB，
∴BC2=CM2+MB2=2CM2，
∴CD=BC= 2CM，
∴DM=(1+ 2)CM，
∴DMFM的最大值为(1+ 2)CMFM=(1+ 2)CMCM=1+ 2．
【解析】(1)由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求得∠CDB=∠CBD=180°−30°2=75°，再根据∠ACB=90°，CA=CB求得∠CAE=∠CBA=45°，从而得∠BED=75°=∠BED，即可证明结论成立；
(2)过点C作CH⊥FD的延长线于点H，先证△ACF≌△DCF得AF=DF，再证△CBF≌△CDH(ASA)得BF=DH，CF=CH，从而有DF=BH=AF，利用勾股定理得FH= 2CF，从而即可证明结论成立；
(3)先证FM=BM=AM=12AB为定值，∠ABD=90°2=45°，进而由将线段CB绕点C旋转α(0°<α<180°)，得到线段CD，得点D在以点C为圆心BC为半径的圆上运动，当点D、C、M三点共线时，DMFM最大，由勾股定理得CD=BC= 2CM，进而有DM=(1+ 2)CM，于是即可求解．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转图形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定及性质、多边形的内角和定理以及角平分线的定义，熟练利用全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定及性质是解题的关键．
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