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    山东省烟台市2022-2023学年高一数学下学期4月期中试题(Word版附答案)
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    山东省烟台市2022-2023学年高一数学下学期4月期中试题(Word版附答案)

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    这是一份山东省烟台市2022-2023学年高一数学下学期4月期中试题(Word版附答案),共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    20222023学年度第二学期期中学业水平诊断

    高一数学

    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

    1. ,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据给定条件,利用复数的除法运算求出复数,再求出作答.

    【详解】依题意,

    所以.

    故选:B

    2. 已知向量的夹角为,则   

    A  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.

    【详解】因为向量的夹角为

    因此,.

    故选:B.

    3. 已知,则的值为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】根据同角三角函数的基本关系求出,再根据利用两角差的正弦公式计算可得.

    【详解】因为,且,则

    所以

    所以

    .

    故选:C

    4. 故宫是世界上规模最大,保存最为完整的木质结构古建筑群,故宫“乾清宫”宫殿房檐的设计在夏至前后几天屋檐遮阴,在冬至前后几天正午太阳光就会通过地砖反射到“正大光明”匾上,惊艳绝伦.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角为73°,冬至前后正午太阳高度角为,如图,测得,则房檐A点距地面的高度为(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】利用三角形的边角关系及正弦定理解决本题即可.

    【详解】设点A在地面的射影为D,由已知得

    在三角形ABC中,由正弦定理,得.

    在直角三角形ABD中,.

    故选:D

    5. 中,点DBC中点,EAD中点,记,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】根据平面向量的基本定理,利用基向量,结合向量的运算进行求解.

    【详解】因为点DBC中点,所以;因为EAD中点,所以

    所以

    .

    故选:A.

    6. ,则(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】利用三角恒等变换化简,利用正切函数的单调性以及同角三角函数的基本关系可得出的大小关系.

    【详解】

    因为,则,即.

    故选:C.

    7. 设函数,若存在,使得,则实数m的取值范围为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】求出函数上的值域,再根据已知求出m的范围作答.

    【详解】,显然

    时,,当时,,因此

    ,则当,即时,,当,即时,,即

    依题意,

    所以实数m的取值范围为是.

    故选:C

    8. 在锐角中,角所对的边分别为.若,则的取值范围为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】,根据正弦定理边化角,再消去,可得,利用三角形是锐角三角形,可得,进而求出,对化简,可求出结果.

    【详解】因为,由正弦定理可知,

    ,所以

    所以

    所以

    是锐角,则

    ,所以,即

    所以,解得

    所以.

    ,则,则

    故选:B.

    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0.

    9. 已知复数,则(   

    A. z的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第四象限

    C.  D. z是关于x方程的一个根

    【答案】BCD

    【解析】

    【分析】把复数化成,利用复数的意义判断A;求出判断BC;利用复数的四则运算计算判断D作答.

    【详解】依题意,复数,复数z的虚部为A错误;

    在复平面内对应的点在第四象限,B正确;

    ,则C正确;

    z是关于x的方程的一个根,D正确.

    故选:BCD

    10. 已知向量,则下列说法正确的是(   

    A. ,则夹角的余弦值为 B. ,则

    C. ,则的夹角为锐角 D. 向量上的投影向量是

    【答案】ABD

    【解析】

    【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项;由平面向量共线的坐标表示可判断B选项;分析可知不共线,求出的取值范围,可判断C选项;利用投影向量的定义可判断D选项.

    【详解】对于A选项,当时,,则A对;

    对于B选项,因为,则

    ,则,解得B对;

    对于C选项,若夹角为锐角,则,解得

    不共线,所以,

    所以,当时,的夹角为锐角,C错;

    对于D选项,向量上的投影向量

    D.

    故选:ABD.

    11. 函数的部分图象如图所示,则(   

    A. 函数在区间上单调递增

    B. 是函数的一个对称中心

    C. 函数在区间上的最大值2

    D. ,则

    【答案】AC

    【解析】

    【分析】根据给定的函数图象,求出函数的解析式,再逐项分析、计算判断作答.

    【详解】观察图象知,,即,而,解得

    ,有,因为点在函数图象上相邻,

    因此,解得,于是

    对于A,当时,,而正弦函数上单调递增,

    所以函数在区间上单调递增,A正确;

    对于B,当时,不是函数的一个对称中心,B正确;

    对于C,当时,,当,即时,取得最大值2C正确;

    对于D,取,有,此时有,而D错误.

    故选:AC

    12. 中,角所对的边分别为O外接圆圆心,则下列结论正确的有(   

    A.  B. 外接圆面积为

    C.  D. 的最大值为

    【答案】ACD

    【解析】

    【分析】根据给定条件,利用正弦定理边化角,结合诱导公式及二倍角正弦求出角A,再利用正余弦定理、三角形面积公式、数量积运算计算判断各选项作答.

    【详解】中,由正弦定理及得:

    ,则有,即,又

    ,所以,即A正确;

    由正弦定理得外接圆半径,该圆面积,B错误;

    如图,C正确;

    由余弦定理得:,当且仅当时取等号,

    因此D正确.

    故选:ACD

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20.

    13. 已知,则的值为______

    【答案】

    【解析】

    【分析】根据给定条件,求出,再利用差角的正弦求解作答.

    【详解】因为,两边平方得:,解得

    ,即,则

    所以,

    故答案为:

    14. 写出一个同时满足以下三个性质的函数:______.(写出一个符合条件的即可)①对于任意,都有;②的图象关于直线对称;③的值域为

    【答案】(答案不唯一)

    【解析】

    【分析】由性质①可得的周期为,再由性质②③写出满足3个性质的一个函数即可.

    【详解】任意,即函数是周期为的周期函数,

    则由性质①,可令

    由性质②知,,而,则

    由性质③知,,解得,于是

    所以同时满足给定三个性质的函数可以为.

    故答案为:

    15. 中,D是边AB上一点,且满足,则的值为______

    【答案】2

    【解析】

    【分析】可得边上的高,利用边长关系可求,再利用向量关系转化后可求的值.

    详解】

    因为,故

    边上的高,故.

    可化为

    ,而

    所以

    整理得到:,故

    故答案为:2.

    16. 赵爽是我国汉代数学家,大约在公元222年,他为《周髀算经》作注解时,给出了“赵爽弦图”:四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形.如图所示,正方形ABCD的边长为,正方形EFGH边长为1,则的值为____________

    【答案】    ①. 6    ②.

    【解析】

    【分析】根据给定的“赵爽弦图”,利用勾股定理求出的值 ,再利用向量数量积的定义求出,利用和角的正切求出作答.

    【详解】依题意,全等,

    中,,由得:

    ,即,又,解得

    所以.

    故答案为:6

     

    四、解答题:本题共6小题,共70.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17. 1)已知复数是纯虚数,求的值;

    2)已知,求夹角的大小.

    【答案】12

    【解析】

    【分析】1)根据纯虚数的定义,求得,从而求出,由两角和的正切公式即可求出的值;

    2)根据向量的模的公式和两个向量的夹角公式,即可求出.

    【详解】1)因为复数是纯虚数,

    所以,即

    所以,又因为

    所以,则

    所以.

    2)因为,所以,即

    所以,整理得

    所以

    夹角为,

    因为,所以,故夹角为.

    18. 已知向量,向量的夹角为,且

    1求向量的坐标;

    2设向量,向量,若,求的最大值并求出此时x的取值集合.

    【答案】1   

    23.

    【解析】

    【分析】1)设出向量的坐标,利用向量数量积和向量的模建立方程组并求解作答.

    2)由(1)的结论结合确定向量,再求出并借助辅助角公式及正弦函数性质求解任何.

    【小问1详解】

    ,依题意,,而

    因此,解得

    所以向量的坐标是.

    【小问2详解】

    向量,且,当时,,不符合题意,舍去,

    时,,符合题意,即,则

    因为,则当,即时,

    所以的最大值是3,此时x的取值集合是.

    19. 中,角所对的边分别为,且

    1求角C的大小;

    2,求的周长.

    【答案】1   

    2.

    【解析】

    【分析】1)利用正弦定理边化角,结合两角和差正弦公式可化简求得,由此可得.

    2)由三角形面积公式可求得,利用余弦定理可构造方程求得,由此可得三角形周长.

    【小问1详解】

    中,由正弦定理及得:

    整理得:

    ,则,又

    所以.

    【小问2详解】

    由(1)知,依题意,,解得

    由余弦定理得:,解得:

    所以的周长.

    20. 观察以下各式:

    分析以上各式的共同特点,写出一个能反映一般规律的等式,并证明该等式.

    【答案】见解析

    【解析】

    【分析】利用两角和与差的正切公式即可证明.

    【详解】,其中

    证明:

    则左边

    右边.

    故等式成立.

    21. 绿水青山就是金山银山.近年来,祖国各地依托本地自然资源,打造旅游产业,旅游业蓬勃发展.某景区有一直角三角形区域,如图,,现准备在中间区域打造儿童乐园MN都在边AC(不含AC)上且,设

    1,求的值;

    2面积的最小值和此时角值.

    【答案】1   

    2.

    【解析】

    【分析】1)利用给定的条件,利用同角公式、诱导公式及和角的余弦公式计算作答.

    2)利用正弦定理用正余弦表示,再利用三角形面积公式列式,借助三角恒等变换及正弦函数的性质求解作答.

    【小问1详解】

    依题意,,则,而

    .

    【小问2详解】

    中,由正弦定理得,而

    中,

    中,由正弦定理得,,而

    ,显然,有

    则当,即时,取得最大值

    所以当时,面积取得最小值.

    22. 设函数,将函数的图象向右平移个单位长度后图象关于原点对称.

    1求函数的单调递增区间;

    2中,角ABC所对的边分别为abc,且

    ①若,求的值;

    ②若,求c的取值范围.

    【答案】1   

    22;②.

    【解析】

    【分析】1)利用诱导公式化简函数,再根据图象变换及对称性求出,进而求出单调增区间作答.

    2)利用(1)中函数求出A,再利用余弦定理计算比值;确定角C的范围,利用正弦定理求出c的范围作答.

    【小问1详解】

    依题意,

    ,而函数的图象关于原点对称,

    则有,即,而,则,因此

    ,得

    所以函数的单调递增区间是.

    【小问2详解】

    由(1)知,,即

    中,,即,则,解得

    ,由余弦定理得:

    ,因此

    所以.

    ②在中,,则有,得

    ,因此,由正弦定理

    显然,即,从而

    所以c的取值范围是.


     

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