山东省烟台市2022-2023学年高一数学下学期4月期中试题（Word版附答案）

2022～2023学年度第二学期期中学业水平诊断

高一数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算求出复数，再求出作答.

【详解】依题意，，

所以.

故选：B

2. 已知向量、的夹角为，，，则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.

【详解】因为向量、的夹角为，，，

则，

因此，.

故选：B.

3. 已知，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角差的正弦公式计算可得.

【详解】因为，且，则，

所以，

所以

.

故选：C

4. 故宫是世界上规模最大，保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫“乾清宫”宫殿房檐的设计在夏至前后几天屋檐遮阴，在冬至前后几天正午太阳光就会通过地砖反射到“正大光明”匾上，惊艳绝伦．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角为73°，冬至前后正午太阳高度角为，如图，测得，则房檐A点距地面的高度为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角形的边角关系及正弦定理解决本题即可.

【详解】设点A在地面的射影为D，由已知得，，

则；

在三角形ABC中，由正弦定理，得.

在直角三角形ABD中，.

故选：D

5. 在中，点D为BC中点，E为AD中点，记，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面向量的基本定理，利用基向量，结合向量的运算进行求解.

【详解】因为点D为BC中点，所以；因为E为AD中点，所以；

所以

.

故选：A.

6. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角恒等变换化简、、，利用正切函数的单调性以及同角三角函数的基本关系可得出、、的大小关系.

【详解】

，

，

，

因为，则，即.

故选：C.

7. 设函数，，若存在，使得，则实数m的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出函数在上的值域，再根据已知求出m的范围作答.

【详解】，，显然，

当时，，当时，，因此，

，，

而，则当，即时，，当，即时，，即，

依题意，，

所以实数m的取值范围为是.

故选：C

8. 在锐角中，角所对的边分别为．若，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由，根据正弦定理边化角，再消去，可得，利用三角形是锐角三角形，可得，进而求出，对化简，可求出结果．

【详解】因为，由正弦定理可知， ，

又，所以

所以，

所以

即，

又是锐角，则，

则，，所以，即，

所以，解得，

所以.

，则，则，

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知复数，则（    ）

A. z的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第四象限

C.  D. z是关于x方程的一个根

【答案】BCD

【解析】

【分析】把复数化成，利用复数的意义判断A；求出、判断BC；利用复数的四则运算计算判断D作答.

【详解】依题意，复数，复数z的虚部为，A错误；

在复平面内对应的点在第四象限，B正确；

，，则，C正确；

，

即z是关于x的方程的一个根，D正确.

故选：BCD

10. 已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则与夹角的余弦值为 B. 若，则

C. 若，则与的夹角为锐角 D. 向量在上的投影向量是

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；由平面向量共线的坐标表示可判断B选项；分析可知且与不共线，求出的取值范围，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，当时，，则，A对；

对于B选项，因为，，，则，

若，则，解得，B对；

对于C选项，若与夹角为锐角，则，解得，

且与不共线，所以，，

所以，当且时，与的夹角为锐角，C错；

对于D选项，向量在上的投影向量

，D对.

故选：ABD.

11. 函数的部分图象如图所示，则（    ）

A. 函数在区间上单调递增

B. 是函数的一个对称中心

C. 函数在区间上的最大值2

D. 若，则

【答案】AC

【解析】

【分析】根据给定的函数图象，求出函数的解析式，再逐项分析、计算判断作答.

【详解】观察图象知，，，即，而，解得，

，有，因为点与在函数图象上相邻，

因此，解得，于是，

对于A，当时，，而正弦函数在上单调递增，

所以函数在区间上单调递增，A正确；

对于B，当时，，不是函数的一个对称中心，B正确；

对于C，当时，，当，即时，取得最大值2，C正确；

对于D，取，有，此时有，而，D错误.

故选：AC

12. 在中，角所对的边分别为，，，O为外接圆圆心，则下列结论正确的有（    ）

A.  B. 外接圆面积为

C.  D. 的最大值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合诱导公式及二倍角正弦求出角A，再利用正余弦定理、三角形面积公式、数量积运算计算判断各选项作答.

【详解】在中，由正弦定理及得：，

而，则有，即，又，，

则，所以，即，A正确；

由正弦定理得外接圆半径，该圆面积，B错误；

如图，，C正确；

由余弦定理得：，当且仅当时取等号，

因此，D正确.

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，，则的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，求出，再利用差角的正弦求解作答.

【详解】因为，两边平方得：，解得，

又，即，则，

所以,

故答案为：

14. 写出一个同时满足以下三个性质的函数：______．（写出一个符合条件的即可）①对于任意，都有；②的图象关于直线对称；③的值域为．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】由性质①可得的周期为，再由性质②③写出满足3个性质的一个函数即可.

【详解】任意，，即函数是周期为的周期函数，

则由性质①，可令，

由性质②知，，而，则，

由性质③知，，解得，于是，

所以同时满足给定三个性质的函数可以为.

故答案为：

15. 在中，，，D是边AB上一点，且满足，则的值为______．

【答案】2

【解析】

【分析】由可得为边上的高，利用边长关系可求，再利用向量关系转化后可求的值.

详解】

因为，故即，

故为边上的高，故.

又可化为

，而，

所以，

整理得到：，故，

故即

故答案为：2.

16. 赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形．如图所示，正方形ABCD的边长为，正方形EFGH边长为1，则的值为______；______．

【答案】    ①. 6    ②.

【解析】

【分析】根据给定的“赵爽弦图”，利用勾股定理求出的值 ，再利用向量数量积的定义求出，利用和角的正切求出作答.

【详解】依题意，全等，

在中，，由得：

，即，又，解得，

；

，

所以.

故答案为：6；

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （1）已知复数是纯虚数，求的值；

（2）已知，，，求与夹角的大小．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）根据纯虚数的定义，求得与，从而求出，由两角和的正切公式即可求出的值;

（2）根据向量的模的公式和两个向量的夹角公式，即可求出.

【详解】（1）因为复数是纯虚数，

所以，即且，

所以，又因为，

所以，则，

所以.

（2）因为，所以，即，

所以，整理得，

所以，

，

设与夹角为，,

因为，所以，故与夹角为.

18. 已知向量，向量与的夹角为，且．

（1）求向量的坐标；

（2）设向量，，向量，若，求的最大值并求出此时x的取值集合．

【答案】（1）或；   

（2）3，.

【解析】

【分析】（1）设出向量的坐标，利用向量数量积和向量的模建立方程组并求解作答.

（2）由（1）的结论结合确定向量，再求出并借助辅助角公式及正弦函数性质求解任何.

【小问1详解】

设，依题意，，，而，

因此，解得或，

所以向量的坐标是或.

【小问2详解】

向量，且，当时，，不符合题意，舍去，

当时，，符合题意，即，则，

，

因为，则当，即时，，

所以的最大值是3，此时x的取值集合是.

19. 在中，角所对的边分别为，且．

（1）求角C的大小；

（2）若，，求的周长．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得，由此可得.

（2）由三角形面积公式可求得，利用余弦定理可构造方程求得，由此可得三角形周长.

【小问1详解】

在中，由正弦定理及得：，

整理得：，

而，则，又，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，依题意，，解得，

由余弦定理得：，解得：，

所以的周长.

20. 观察以下各式：

；

；

．

分析以上各式的共同特点，写出一个能反映一般规律的等式，并证明该等式．

【答案】见解析

【解析】

【分析】利用两角和与差的正切公式即可证明.

【详解】，其中，

证明：，

则，

则左边

右边.

故等式成立.

21. 绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业蓬勃发展．某景区有一直角三角形区域，如图，，，，现准备在中间区域打造儿童乐园，M，N都在边AC（不含A，C）上且，设．

（1）若，求的值；

（2）求面积的最小值和此时角值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用给定的条件，利用同角公式、诱导公式及和角的余弦公式计算作答.

（2）利用正弦定理用正余弦表示，再利用三角形面积公式列式，借助三角恒等变换及正弦函数的性质求解作答.

【小问1详解】

依题意，，则，而，

.

【小问2详解】

在中，由正弦定理得，而，，

则，

在中，，，，

在中，由正弦定理得，，而，

，

，

，显然，有，，

则当，即时，取得最大值，，

所以当时，面积取得最小值.

22. 设函数，将函数的图象向右平移个单位长度后图象关于原点对称．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，

①若，求的值；

②若，，求c的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）①2；②.

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式化简函数，再根据图象变换及对称性求出，进而求出单调增区间作答.

（2）利用（1）中函数求出A，再利用余弦定理计算比值；确定角C的范围，利用正弦定理求出c的范围作答.

【小问1详解】

依题意，，

，而函数的图象关于原点对称，

则有，即，而，则，因此，

由，得，

所以函数的单调递增区间是.

【小问2详解】

由（1）知，，即

在中，，即，则，解得，

①，由余弦定理得：

，因此，

所以.

②在中，，则有，得，

又，因此，由正弦定理，

得，

显然，即，从而，

所以c的取值范围是.