山东省烟台市2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022～2023学年度第二学期期中学业水平诊断

高二数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数的个数为（    ）．

A. 60 B. 96 C. 300 D. 360

【答案】C

【解析】

【分析】先排首位，再排其它位数，结合分步计数原理可得结果.

【详解】先排首位，共有5种方法；其它位数共有种排法，结合分步计数原理可得共有种方法.

故选：C.

2. 除以的余数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由展开，结合二项式定理可得出除以的余数.

【详解】因为

，

且能被整除，

故除以的余数是.

故选：A.

3. 某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（    ）．

A. 20 B. 120 C. 360 D. 720

【答案】B

【解析】

【分析】甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，利用倍缩法求解即可.

【详解】因为甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，

所以不同的上台顺序种数为.

故选：B.

4. 若2730能被不同的偶数整除，则这样的偶数个数有（    ）．

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意分析可得所求偶数个数即为集合的子集的个数，即可得结果.

【详解】因为，

所以这样的偶数个数即为集合的子集的个数，共有个.

故选：C.

5. 1.两个分类变量X和Y，其2×2列联表如表，对同一样本，以下数据能说明X与Y有关联的可能性最大的一组为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，依次计算的预测值并比较大小作答.

【详解】由给定的2×2列联表，

对于A，，的预测值，

对于B，，的预测值

对于C，，的预测值，

对于D，，的预测值，

显然，因此选项D中数据求得的预测值最大，说明说明X与Y有关联的可能性最大.

故选：D

6. 一车间有3台车床加工同一型号的零件，且3台车床加工的零件数X（单位：件）均服从正态分布．假设3台车床均能正常工作，若，则这3台车床每天加工的零件数至少有一台超过35件的概率为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得，结合二项分布分析运算.

【详解】加工的零件数超过35件的台数为，每台加工的零件数超过35件的概率，

由题意可得：，

则这3台车床每天加工的零件数至少有一台超过35件的概率.

故选：C.

7. 甲、乙两人进行定点投篮比赛，命中得2分，不中得0分．已知甲每次投篮命中的概率为0.6，乙每次投篮命中的概率为0.5，每一轮比赛两人各投篮1次，得分高者获胜，分数相等为平局，且各轮比赛结果相互独立，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜利者，则恰好进行3轮投篮后甲最终胜利的概率为（    ）．

A. 0.018 B. 0.027 C. 0.045 D. 0.063

【答案】D

【解析】

【分析】先计算每轮甲乙分别获胜的概率，再计算最终甲获胜的概率.

【详解】由题，每轮比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，平局的概率为，

3轮比赛甲获胜的概率为，

故选：D.

8. 若事件A，B满足：，，，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据全概率公式及交事件概率得性质即可得解.

【详解】由，，

得，

又，

所以，解得.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：根据及全概率公式是解决本题的关键.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 手机支付已经成为现如今最流行的支付方式，为了解年龄、性别与使用手机支付的关系，某市从本地居民中随机抽取了容量为100的样本，其中35岁以上和35岁以下的各50人，且男性60人，女性40人．根据以上数据，绘制了不同群体中使用手机支付与不使用手机支付的人数比例图（如下图所示），其中阴影部分表示使用手机支付的比例，则下列叙述中正确的有（    ）．

A. 是否使用手机支付与年龄有关

B. 是否使用手机支付与性别无关

C. 使用手机支付的人员中，男性人数与女性人数相同

D. 不使用手机支付的人员中，35岁以上人数多于35岁以下的人数

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据给定的柱状图，逐项分析判断作答.

【详解】对于A，35岁以上的使用手机支付比例比35岁以下的使用手机支付的比例小很多，

即否使用手机支付与年龄有关，A正确；

对于B，因为男性、女性使用手机支付的比例相同，即是否使用手机支付与性别无关，B正确；

对于C，因为男性与女性人数不同，而使用手机支付的比例相同，

则使用手机支付的人员中，男性人数与女性人数不相同，C错误；

对于D，因为35岁以上和35岁以下的人数相同，而35岁以上的使用手机支付比例比35岁以下的使用

手机支付的比例小，所以不使用手机支付的人员中，35岁以上人数多于35岁以下的人数，D正确.

故选：ABD

10. 袋子中装有大小、形状完全相同的6个白球和4个黑球，现从中有放回地随机取球3次，每次取一个球，每次取到白球得0分，黑球得5分，设3次取球总得分为X，则（    ）．

A. 3次中恰有2次取得白球的概率为 B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】设3次取球取到白球的个数为，根据题意可得，，结合二项分布逐项分析判断.

【详解】设3次取球取到白球的个数为，每次取到白球的概率，

由题意可得：，且，

对于A：，故A错误；

对于B：令，解得，故或，

所以

，故B正确；

对于C：因为，

所以，故C正确；

对于D：因为，

所以，故D错误；

故选：BC.

11. 已知5名男生、4名女生共9名学生参加爬山活动，由于山路狭窄，所以随机分3批出发，每批随机出发3人，则（    ）．

A. “第一批没有女生”的概率为 B. “第一批至少有2名女生”的概率为

C. “第二批全是男生”的概率为 D. “每一批都有男生”的概率为

【答案】ABD

【解析】

【分析】计算任意一批学生的组成种类数，计算每个选项的概率，判断正误.

详解】任意安排一批学生种类数有种，

对于A，第一批学生没有女生的种类数有种，所以“第一批没有女生”的概率为，A正确；

对于B，第一批学生至少有2名女生的种类数有种，所以“第一批至少有2名女生”的概率为，B正确；

对于C，第二批学生全是男生的种类数有种，所以“第二批全是男生”的概率为，C不正确；

对于D，三名女生在同一批的种类数有种，所以“每一批都有男生”的概率为，D正确；

故选：ABD.

12. 在平面直角坐标系的第一象限内随机取一个整数点，若用随机变量表示从这个点中随机取出的一个点的横、纵坐标之和，表示，同时发生的概率，则（    ）

A. 当时，

B. 当时，

C. 当时，的均值为

D. 当（且）时，

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用条件概率公式可判断A选项；列举出满足的点的坐标，利用古典概率公式可判断B选项；利用离散型随机变量的期望公式可判断C选项；列举出满足，的点的坐标，利用古典概型的概率公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，当时，整数点共个，则，

由得，即满足，的点的坐标为，

所以，，A对；

对于B选项，当时，整数点共个，

满足的整数点为，，则，B错；

对于C选项，当时，的分布列如下表所示：

的可能取值有、、、、、、，

满足的点为，则，

满足的点为、，则，

满足的点为、、，则，

满足的点为、、、，则，

满足的点为、、，则，

满足的点为、，则，

满足的点为，则，

故当时，，C对；

对于D选项，满足的解为，则，D对.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设离散型随机变量X的分布列为，，2，3，则的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，利用分布列的性质求出a，再计算作答.

【详解】依题意，，解得，

所以.

故答案为：

14. 的展开式中的常数项为______．

【答案】

【解析】

【分析】结合二项式展开式的通项公式以及乘法分配律求得正确结果.

【详解】的展开式的通项公式为.

令，令.

则的展开式中的常数项为.

故答案为：

15. 甲、乙、丙、丁四名同学参加三个课外兴趣小组，每名同学只参加1个小组，每个小组至少1名同学参加，则甲、乙不去同一小组方法种数为______．

【答案】30

【解析】

【分析】根据给定条件，把4名同学按一组2人，另两组各1人分成3组，去掉甲乙在同一组的情况，再进行全排列作答.

【详解】甲、乙、丙、丁四名同学，按一组2人，另两组各1人分成3组，去掉甲乙在同一组的情况，共有种分法，

把分成的3组全排列，有种方法，

所以甲、乙不去同一小组的方法种数为.

故答案为：30

16. 某高中为调查本校1800名学生周末玩游戏的时长，设计了如下的问卷调查方式：在一个袋子中装有3个质地和大小均相同的小球，其中1个白球，2个红球，规定每名学生从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一个球，记下颜色．若“两次摸到的球颜色相同”，则回答问题一：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；若“两次摸到的球颜色不同”，则回答问题二：若玩游戏时长不超过一个小时，则在问卷中画“○”，否则画“×”．当全校学生完成问卷调查后，统计画“○”和画“×”的比例，由频率估计概率，即可估计出玩游戏时长超过一个小时的人数．若该校高一一班有45名学生，用X表示回答问题一的人数，则X的数学期望为______；若该校的所有调查问卷中，画“○”和画“×”的比例为7∶2，则可估计该校学生玩游戏时长超过一个小时的人数为______．

【答案】    ①. 25    ②. 450

【解析】

【分析】根据给定的条件，求出回答问题一的概率，再利用二项分布的期望公式计算作答；根据题意，利用条件概率公式的全概率公式计算玩游戏时长超过一个小时的概率作答.

【详解】依题意，每次摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，

两次摸到的球颜色相同的概率，

于是回答问题一的人数，所以X的数学期望为；

用表示“回答问题一”，表示“回答问题二”，表示“在问卷中画×”，

则有，，，因为,

由全概率公式，得，解得，

所以估计该校学生玩游戏时长超过一个小时的人数为.

故答案为：25；450

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x（单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．

（1）求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间中点值代表）．

（2）可认农户家庭年收入近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．

①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）

②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为，求．（结果精确到0.001）

附：①；②若，则，；③．

【答案】（1），   

（2）①317户；②

【解析】

【分析】（1）由平均数和方差的计算公式求解即可；

（2）①根据正态分布的对称性得出，进而得出所求户数；②年收入不超过9.52万元的农户家庭数服从二项分布，根据二项分布的概率公式求解即可.

【小问1详解】

这2000户农户家庭年收入的样本平均数.

这2000户农户家庭年收入的样本方差.

【小问2详解】

①农户家庭年收入近似服从正态分布.

因为，所以.

因为，

所以这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数为317.

②年收入不超过9.52万元的农户家庭数服从二项分布.

所以.

18. 已知展开式的二项式系数和为a，展开式的奇数项的二项式系数和为b，且，则在的展开式中，求解下列问题：

（1）二项式系数最大的项；

（2）系数的绝对值最大的项．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，用n表示出a，b并求出n，再利用二项式系数的性质求解作答.

（2）由（1）的结论，求出二项式展开式的通项，再列出不等式即可求解作答.

【小问1详解】

依题意，，于是，即，解得，

所以的展开式中第4项的二项式系数最大，

即.

【小问2详解】

由（1）知，展开式的通项公式为，

设第项的系数的绝对值最大，因此，

整理得，解得，而，则，即系数的绝对值最大的项是第3项，

所以系数的绝对值最大的项为.

19. 第十四届湿地公约缔约方大会2022年11月5日至13日在湖北武汉举办，承办此次大会，有助于进一步展示中国促进经济社会与环境协调发展的负责任大国形象，是强化“一带一路”国家生态交流与合作、增强中国在广大发展中国家凝聚力的重要契机．国内某企业以此为契机，研发了一款环保产品，为保证成本，每件产品售价不低于43元，经调研，产品售价x（单位：元/件）与月销售量y（单位：万件）等情况如下表所示：

（1）求相关系数r（结果保留两位小数），并说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系，（当，时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性．）（参考数据：）

（2）建立y关于x的经验回归方程，并估计当售价为46元/件时，该产品的月销售量约为多少？

参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．

【答案】（1），可以用线性回归模型拟合y与x的关系   

（2）；86875件

【解析】

【分析】（1）由表中数据计算相关系数，从而作出判断；

（2）由最小二乘法得出y关于x的经验回归方程，进而估计当售价为46元/件时，该产品的月销售量.

【小问1详解】

，

，

，

，

则相关系数.

因为，所以可以用线性回归模型拟合y与x的关系.

【小问2详解】

设y关于x的经验回归方程为.

，.

则y关于x的经验回归方程为，

当时，（万件）.

故当售价为46元/件时，该产品的月销售量约为86875件.

20. 为贯彻落实全民健身国家战略，增强全民自我健身意识，某社区组织开展“我运动，我健康，我快乐”全民健身月活动，并在月末随机抽取了300名居民并统计其每天的平均锻炼时间，得到的数据如下表，并将日均锻炼时间在内的居民评为“阳光社员”．

（1）请根据上表中的统计数据填写下面2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断是否能认为“该社区居民的日均锻炼时间与性别有关”；

（2）从上述非阳光社员的居民中，按性别利用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15名居民，再从这15名居民中随机抽取4人，调查他们锻炼时间偏少的原因．记所抽取的4人中男性的人数为X，求X的分布列和数学期望；

（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市居民的情况．现在从该市的居民中抽取5名居民，求其中恰有2名居民被评为“阳光社员”的概率；

参考公式：，其中．

参考数据：．

【答案】（1）2×2列联表见解析，能认为“该社区居民的日均锻炼时间与性别有关”；   

（2）分布列见解析，期望为；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）完善2×2列联表，计算的观测值，再与临界值表比对作答.

（2）利用分层抽样求出15人中男性、女性人数，再求出的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列求出期望作答.

（3）求出社区居民为阳光社员的频率，再利用二项分布求出概率作答.

【小问1详解】

依题意，2×2列联表如下：
 

所以,

所以，根据小概率值的独立性检验，可以认为“该社区居民的日均锻炼时间与性别有关”.

【小问2详解】

依题意，所抽取的15名居民中,男性为(名),女性为(名),所有可能取值为0,1,2,3,4，

，，

所以的分布列为：

.

小问3详解】

设所抽取的5名居民中“阳光社员”的人数为，由（1）知，表中社区居民为阳光社员的频率为，将频率视为概率，

因此，则，

所以 5 名居民中恰有 2 名居民被评为 “阳光社员” 的概率为.

21. 为庆祝第113个国际妇女节，某学校组织该校女教职工进行篮球投篮比赛，每名教师连续投篮3次根据教师甲练习时的统计数据，该教师第一次投篮命中的概率为0.6，从第二次投篮开始，若前一次投篮命中，则该次命中的概率为0.8，否则，命中概率为0.6．

（1）求教师甲第二次投篮命中的概率；

（2）求教师甲在3次投篮中，命中的次数X的分布列和数学期望．

【答案】（1）0.72;   

（2）分布列见解析，数学期望为2.064。

【解析】

【分析】（1）把教师甲第二次投篮命中的事件分拆成两个互斥事件的和，再求出每个事件的概率作答.

（2）求出的可能值，各个值对应的概率，列出分布列，再求出期望作答.

【小问1详解】

依题意，教师甲第2次投篮命中的情况包括：

第一次命中且第二次命中，其概率为：；

第一次末中且第二次命中，其概率为：，

所以，教师甲第二次投篮命中的概率为.

【小问2详解】

依题意，教师甲命中的次数的所有可能取值为0,1,2,3，

则，

；

，

，

所以的分布列为：

所以的数学期望.

22. 某精密仪器生产厂家计划对本厂工人进行技能考核，方案如下：每名工人连续生产出10件产品，若经检验后有不低于9件的合格产品，则将该工人技能考核评为合格等次，考核结束；否则，将不合格产品交回该工人，调试后经再次检验，若全部合格，则将该工人技能考核评为合格，考核结束，否则，将该工人技能考核评为不合格，需脱产进行培训．设工人甲生产或调试每件产品合格的概率均为，且生产或调试每件产品是否合格互不影响．

（1）求工人甲只生产10件产品即结束考核的概率；

（2）若X表示工人甲生产和调试的产品件数之和，求随机变量X的数学期望．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意可得，结合二项分步分析运算；

（2）根据期望公式结合与之间的关系分析运算.

【小问1详解】

设甲生产10件产品中合格品的件数为，则，

则，

所以甲只生产10件产品即结束考核的概率.

【小问2详解】

由（1）可知：，，

可得随机变量的期望，

故，

由题意可得：，或，

则

，

故随机变量X的数学期望.