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    山东省菏泽市2022-2023学年高一数学下学期期中试题(Word版附解析)

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    这是一份山东省菏泽市2022-2023学年高一数学下学期期中试题(Word版附解析),共22页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分等内容,欢迎下载使用。

    2022—2023学年度第二学期期中考试

    高一数学试题(A

    注意事项:

    1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟

    2.答题前,考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.

    3.考生作答时,请将答案答在答题卡上,选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.

    一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

    1. 在复平面内,复数对应的点与对应的点关于虚轴对称,则等于(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】由复数的运算可得,再求解即可.

    【详解】解:由

    又复数对应的点与对应的点关于虚轴对称,

    故选:A.

    【点睛】本题考查了复数的运算,重点考查了复数在复平面对应的点,属基础题.

    2. 在平行四边形ABCD中,,则   

    A. 2 B. 2 C. 4 D. 4

    【答案】B

    【解析】

    【分析】为基底表示,代入向量的数量积公式计算即可.

    【详解】

      如图,

    .

    故选:B

    3. 中,,则的解的个数是(   

    A. 0 B. 2 C. 1 D. 无法确定

    【答案】B

    【解析】

    【分析】作出辅助线,得到,得到解的个数.

    【详解】过点于点

    因为,所以

    所以,这样的可能为锐角,也可能为钝角,如图所示,解的个数为2.

    选:B

    4. 已知正四棱台的上、下底面分别是边长为24的正方形,高为,则该四棱台的表面积为(   

    A.  B. 34 C.  D. 68

    【答案】C

    【解析】

    【分析】求出棱台侧面的高,即可求出该四棱台的表面积

    【详解】由题意,在正四棱台中,上、下底面分别是边长为24的正方形,高为

    作出立体图如下图所示,

     

    过点于点,连接

    由几何知识得,

    中,由勾股定理得,

    设该四棱台的一个侧面面积为

    该四棱台的表面积为:

    故选:C.

    5. 一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度,水流速度,那么当航程最短时船实际航行的速度大小为(   

    A. 5 B. 10 C. 8 D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】由航程最短时,船实际航行的方向与河对岸垂直求解.

    【详解】解:如图所示:

    是河对岸一点,且与河岸垂直,

    那么当这艘船实际沿方向行驶时,航程最短,

    此时,

    所以当航程最短时船实际航行的速度大小为10

    故选:B

    6. 已知正三棱锥中,,则正三棱锥内切球的半径为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】由于三棱锥为正三棱锥,所以,由于可得,则可得,设点的重心,设正三棱锥内切球的半径为,然后利用等体积法求解即可.

    【详解】因为三棱锥为正三棱锥,所以

    因为,所以

    因为,所以

    因为

    所以

    所以,得,得

    所以

    设点的重心,由

    所以,

    设正三棱锥内切球的半径为,设为正三棱锥内切球的球心,

    因为

    所以

    所以

    解得

    故选:C

     

    7. 已知是直径为的圆内接三角形,三角形的一个内角满足,则周长的最大值为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】求出,再由正弦定理得到,进而利用余弦定理和基本不等式求出,得到周长的最大值.

    【详解】因为,所以,不妨设所对的边为

    则由正弦定理得,所以

    由余弦定理得,即

    由基本不等式得,所以,解得

    当且仅当时取等号,故周长的最大值为.

    故选:D

    8. 已知复数,且,在复平面内对应向量为,(O为坐标原点),则的最小值为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据复数设出,表达出,得到表达式,即可求出的最小值.

    【详解】由题意,

    ,且

    所以得

    ,

    ,

    其中,

    , 取最小值为.

    故选:B.

    二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0.

    9. 中,角ABC所对的边分别为abc,则(   

    A. ,则

    B. ,则一定是锐角三角形

    C. ,与向量共线的单位向量为

    D. 若平面向量满足,则的最大值是5

    【答案】AD

    【解析】

    【分析】由正弦定理结合三角形的边角关系可判断A;由余弦定理结合三角形的边角关系可判断B;求出向量共线的单位向量可判断C;由向量的模和平面向量的数量积运算可判断D.

    【详解】对于A,在在中,角ABC所对的边分别为abc

    所以,则,结合正弦定理可得,故A正确;

    对于B,由余弦定理可得,可得角为锐角,但不一定是锐角三角形,故B不正确;

    对于C,由,可得

    所以向量共线的单位向量为,故C不正确;

    对于D,则

    所以

    的最大值是5,故D正确.

    故选:AD.

    10. 是给定的平面,AB是不在内的任意两点,则(   

    A. 内存在直线与直线AB相交 B. 平面与直线AB至多有一个公共点

    C. 内存在直线与直线AB垂直 D. 存在过直线AB的平面与垂直

    【答案】BCD

    【解析】

    【分析】可判断A选项的正误;取与平面相交可判断选项B正误;利用线面垂直的性质可判断C选项的正误;利用面面垂直的判定定理可判断D选项的正误.

    【详解】对于A选项,当直线平面,则平面内的直线与直线平行或异面,故选项A错误;

    对于B选项,如果与平面相交,则平面与直线至多有一个公共点,故选项B正确;

    对于C选项,若,则平面内存在无数条直线与垂直;

    不垂直,设内的射影点为,连接

    存在直线平面,使得,因为,则

    ,则,则平面

    平面,则,故选项C正确;

    对于D选项,由C选项可知,平面,则平面

    平面,故选项D正确.

    故选:BCD.

    11. 中,角ABC所对的边分别为abc,则下列判断正确的是(   

    A. ,则为钝角三角形

    B. ,则为等腰三角形

    C. 的三条高分别为,则为钝角三角形

    D. ,则为直角三角形

    【答案】ACD

    【解析】

    【分析】对于A,由,从而得到,进而得到,即可判断;对于B,由可得,从而可判断;对于C,设的面积为,根据面积公式可得,从而可得,即可判断;对于D,利用正弦定理边化角可得,再结合基本不等式可得,即可判断.

    【详解】对于A,因为

    所以

    所以

    又因为,所以

    所以只有一个小于 0

    所以是钝角三角形,选项A正确;

    对于B,若,则

    所以,所以等腰三角形或直角三角形,选项B错误;

    对于C,设的面积为,由面积公式知

    ,解得

    所以为最大角,

    所以

    所以为钝角,为钝角三角形,选项C正确;

    对于D,由,得

    ,当且仅当时等号成立,

    所以,解得,即

    所以为直角三角形,选项D正确.

    故选:ACD.

    12. 如图,在矩形ABCD中,EF分别为BCAD中点,将沿直线AE翻折成BF不重合,连结H中点,连结CHFH,则在翻折过程中,下列说法中正确的是(   

     

    A. CH的长是定值;

    B. 在翻折过程中,三棱锥的外接球的表面积为

    C. 时,三棱锥的体积为

    D. H到面的最大距离为

    【答案】ACD

    【解析】

    【分析】对于A,取AB的中点G,连接GHGE,可证明四过形ECHG是平行四边形,从而可得,即可判断;对于B,取的中点,连接,可得点为三棱锥的外接球的球心,从而可计算表面积判断;对于C,连接,连接,可证明平面,再利用等体积法判断;对于D,令点到面的距离为,则点H到面的距离为,结合等体积法可知当平面平面时,三棱锥的体积最大,从而可判断.

    【详解】由题意可知,

    对于A,取AB的中点G,连接GHGE

    ,且,又,且

    所以,且四过形ECHG是平行四边形,

    ,而,故A正确;

     

    对于B,取的中点,连接

    所以,即点为三棱锥的外接球的球心,

    所以三棱锥的外接球的表面积为,故B错误;

     

    对于C,连接,连接

    根据正弦定理可得,即

    所以,即

    分别为的中点,

    MDE的中点

    平面

     

    平面

    ,故C正确;

     

    对于D,令点到面距离为

    因为H中点,所以点H到面的距离为.

    因为

    因为三棱锥的底面积是定值,

    所以当平面平面时,三棱锥的体积最大,

    的中点,连接,则平面

    所以

    ,解得

    所以点H到面的最大距离为,故D正确.

    故选:ACD

    三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20.

    13. 如图,是斜二测画法画出的水平放置的的直观图,的中点,且轴,轴,,则的周长___________.

     

    【答案】

    【解析】

    【分析】根据已知,利用斜二测画法平行依旧垂改斜,横等纵半、以及勾股定理计算求解.

    【详解】如图,根据斜二测画法,因为,所以

    轴,轴,的中点,所以

    在直角中,由勾股定理有:,所以

    的周长.

    故答案为:.

     

    14. 中,角所对的边分别为,且面积为,若,则______

    【答案】3

    【解析】

    【分析】根据三角形面积解得,代入解得;然后根据余弦定理求得.

    【详解】解得:

    ,代入得:

    根据余弦定理得:

    解得:

    故答案为:3

    15. 已知,设与方向相同的单位向量为,若上的投影向量为,则的夹角__________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】根据投影向量定义结合向量夹角公式计算求解即可.

    【详解】方向上的投影向量为

    ,

    ,.

    故答案为:

    16. 已知向量的夹角为,若对任意,恒有,则函数的最小值为_________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】先根据向量的夹角、模长及恒成立求出,利用距离和的最值求解的最小值.

    【详解】因为,所以

    整理可得

    因为对任意,上式恒成立,所以

    由题意知,所以,所以.

    可以看作点与点的距离之和;

    如图,点关于的对称点为,则

    所以的最小值为.

    故答案为:.

    【点睛】关键点点睛:本题求解的关键有两个:一是恒成立条件的转化,可求;二是利用转化求的最小值,看作点与点的距离和是突破口.

    四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17. 已知复数i是虚数单位).

    1求复数z的模;

    2若复数在复平面上对应的点在第四象限,求实数a的取值范围.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)先化简得到,再根据模长公式即可求解;

    2)先化简得到,再根据题意可得,求解即可.

    【小问1详解】

    因为

    所以

    【小问2详解】

    因为

    所以,解得

    所以实数a取值范围.

    18. 如图,,点COB的中点,OB所在的边逆时针旋转一周.OA逆时针旋转至OD时,旋转角为.

     

    1旋转一周所得旋转体体积V和表面积S

    2时,求点O到平面ABD的距离.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1旋转一周所得旋转体为大圆锥挖去小圆锥,利用圆锥的体积公式和侧面积公式可求旋转体的体积V和表面积S

    2)利用等积法可求O到平面ABD的距离.

    【小问1详解】

    设底面半径为,圆锥BO底面面积为,底面周长

    母线.

    圆锥BO的体积,侧面积.

    圆锥CO的体积

    侧面积.

    旋转一周所得旋转体的体积

    旋转一周所得旋转体表面积.

    【小问2详解】

     

    连接AD,在等腰三角形AOD中,

    ,设点O到平面ABD的距离为h

    ,故

    19. 复数i为虚数单位,.

    1是实数,求的值;

    2若复数对应的向量分别是,向量的夹角为锐角,求的范围.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1,由为实数,可得,再结合余弦倍角公式即可求解;

    2)由题意可得,由向量的夹角为锐角可得,再排除同向时,即可求解.

    【小问1详解】

    因为

    因为为实数,所以

    【小问2详解】

    复数

    因为复数对应的向量分别是

    所以

    同向时,,得

    综上,向量的夹角为锐角时,的范围是.

    20. 已知的内角ABC的对边分别为abc.

    1C

    2,角C的平分线交AB于点D,点E满足,求.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)利用正弦定理与余弦定理,完成角化边,根据角的余弦定理,可得答案;

    2)根据直角三角形的性质,求得,根据余弦定理,求得,根据正弦定理,可得答案.

    【小问1详解】

    依题意,由正弦定理

    由余弦定理,则

    ,因为,所以.

    【小问2详解】

    如图所示,因为,所以

    又因为CD的平分线,所以.

    因为,所以在中,

    ,所以为等边三角形,所以.

    中,由余弦定理可得

    中,由正弦定理可得

    ,得.

    21. 如图,正方形ABCD的边长为6EAB的中点,FBC边上靠近点B的三等分点,AFDE交于点M.

     

    1,求的值;

    2若点PA点逆时针沿正方形的边运动到C点,在这个过程中,是否存在这样的点P,使得?若存在,求出MP的长度,若不存在,请说明理由.

    【答案】1   

    2存在,

    【解析】

    【分析】1)以点A为原点建立平面直角坐标系,根据求得点的坐标,设,再根据平面向量相等的坐标表示即可得解;

    2)分点PAB上和点PBC上两种情况讨论,结合可得求得点的坐标,再根据平面向量的模的坐标表示即可得解.

    【小问1详解】

    如图所示,建立以点A为原点平面直角坐标系,

    因为,则,则,故

    DME三点共线,则设

    ,则

    解得

      【小问2详解】

    由题意得,假设存在点P,使得

    当点PAB上时,设

    ,则,故

    当点PBC上时,设

    ,解得(舍去);

    综上,存在符合题意的点.

    22. 中,角ABC所对的边分别为abc.

    1证明:

    2的取值范围.

    【答案】1证明见解析.   

    2.

    【解析】

    【分析】1)运用余弦定理得,再运用正弦定理边化角化简计算即可.

    2)运用三角形内角范围求得角C的范围,进而求得范围,运用边化角将问题转化为求关于的二次函数在区间上的值域.

    【小问1详解】

    由余弦定理得:,即:

    由正弦定理得:

    整理得:,即:

    ,即:.

    【小问2详解】

    由正弦定理得:

    ,则

    对称轴为

    上单调递增,

    时,;当时,

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