解密07 平面向量（讲义）-高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密07  平面向量

考点一  平面向量的概念及线性运算

☆技巧点拨☆

共线向量定理的主要应用：

（1）证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．

【注】对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a与b共线是指a与b所在的直线平行或重合．向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个.

（2）证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．

【注】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，不共线，满足(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y=1.

（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．

例题1．设是两个非零向量，则下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则存在实数λ，使得 D．若存在实数λ，使得，则

【答案】C

【分析】对于A，若，则，

得，∴不垂直，故A错误；

对于B，由A解析可知，故B错误；

对于C，若，则，

得，则，则与反向，因此存在实数λ，使得，故C正确；

对于D，若存在实数λ，使得，则，，若，则，故D错误.故选：C

例题2．过的中线的中点作直线分别交､于､两点，若，则（    ）

A．4 B． C．3 D．1

【答案】A

【分析】解：由为的中点可知，，

，设，

则，

，

，，

，

与不共线，，解得，故选：.

例题3．已知中，，，垂足为，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

如图，过分别作、的平行线交于、交于，则.

，，，

所以，，，

，，故，

所以，四边形为菱形，

因为，则，

.

，与重合，则，

所以，，

故选：A.

例题4．设为所在平面上一点.若实数x、y、z满足，则“”是“点在的边所在直线上”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件.

【答案】C

【分析】为所在平面上一点，且实数x、y、z满足

若“”，则中只能有一个为0，否则若，得，这与矛盾；

假设（不为0），可得，，

向量和共线，点在的边BC所在直线上；

若点在的边所在直线上，假设在AB上，说明向量和共线，

，

“”是“点在的边所在直线上”的充分必要条件.

故选：C.

考点二  平面向量的基本定理及坐标表示

☆技巧点拨☆

1．对平面向量基本定理的理解

（1）平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．

（2）平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．

（3）用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a=λ1e1＋λ2e2的形式，是向量线性运算知识的延伸．

2．应用平面向量基本定理表示向量的实质

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．

3．应用平面向量基本定理的关键点

（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．

（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．

（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．

4．用平面向量基本定理解决问题的一般思路

（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．

（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.

☆技巧点拨☆

平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，属中低档题，且常见题型及求解策略如下：

1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为 ()，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．

2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便．

3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线．

4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.

例题1．已知向量，的夹角为，，，则（    ）

A． B．21 C．3 D．9

【答案】C

【分析】，

故选：C

例题2．设x，，向量，，，且，，（    ）

A． B．3 C．4 D．

【答案】B

【分析】 因为，所以，解得，所以，

因为，所以，解得，所以，

所以，

所以.故选：B

例题3．下列说法中正确的是（    ）

A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

B．向量，，可以作为平面内所有向量的一组基底

C．非零向量和，满足，且两个向量是同向，则

D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°

【答案】D

【分析】，因为与的夹角为锐角，所以，解得：且，故A错误；，所以∥，不能作为平面内所有向量的一组基底，B错误；两个向量的模长可以比较大小，但两个向量是不能比较大小的，故C错误；

不妨令则，所以，则，所以

∴

因为，所以，D选项正确.

故选：D

例题4．设，向量，，且，则（    ）

A．5 B． C． D．6

【答案】B

【分析】：因为向量，，且，

所以，解得，即所以，

所以.故选：B

考点三  平面向量的数量积及向量的应用

☆技巧点拨☆

1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量与函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．

2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．

3．向量的两个作用：

(1)载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；

(2)工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．

4．向量中有关最值问题的求解思路：

一是“形化”，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；

二是“数化”，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题．

例题1．已知点，动点满足，则的取值范围（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，则，，

因，所以，即，因此点在以原点为圆心，2为半径的圆上，

同理可得点也在以原点为圆心，2为半径的圆上.

又因，所以当和重合，且、、三点共线时，取得最值，

因此，.

故选：B.

例题2．在四边形中，点E为AD的中点，点F为BC的中点，且，若>0，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】因为，，

又点E为AD的中点，点F为BC的中点，所以，

又因为，

所以，

且　，

所以，即，故选：A.

例题3．在矩形中，已知，（为正常数），为边的中点，是对角线上的动点（含端点），若的取值范围为，则___________.

【答案】1

【分析】以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则，

，，，

有，由得：，

而的取值范围为，于是得，而 m为正数，解得：，

所以.故答案为：1

例题4．设，，，（），则（）的最小值为___________.

【答案】

【分析】设，，，，

则，，，

因为，所以，

因为，所以､是以为圆心，以为半径的圆上的动点，

设，，则，，

设，，则在以为圆心，以为半径的圆上，

设，则

，

故答案为：.

例题5 ．如图，O为边长为2的正方形的中心，以O为圆心的两段圆弧，与，组成环形道，P，Q是环形道上的两点，，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】由题意可知,

当P，Q同时在或上时，有最大值，

此时

当P，Q同时在线段或上时,在上取点,使得如图，

则，

此时有最小值.

综上的取值范围为

故答案为：

例题6．在中，，P为所在平面内一动点，则的最小值为________．

【答案】

【分析】由题意可建立如图所示的直角坐标系，易知，设，

则，

故．

当且仅当时取得等号，∴所求最小值为，故答案为：.

【注】常见的向量表示形式：

(1)重心．若点G是的重心，则或(其中P为平面内任意一点)．反之，若，则点G是的重心．

(2)垂心．若H是的垂心，则.反之，若

，则点H是的垂心．

(3)内心．若点I是的内心，则.反之，若

，则点I是的内心．

(4)外心．若点O是的外心，则或.反之，若，则点O是的外心.