解密10 不等式（讲义）-高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密10  不等式

考点一  不等式的性质与一元二次不等式

题组一  不等式的性质

☆技巧点拨☆

1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．

2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．

3．解含参数不等式要正确分类讨论．

例题1．对于任意实数、、、，下列四个命题中：①若，，则；②若，则；③若，则；④若，，则.其中真命题的个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对于①，若，，则，①错；

对于②，若，则，②错；

对于③，若，则，由不等式的基本性质可得，③对；

对于④，取，，，，，④错.故选：A.

例题2．下列说法中正确的是（    ）

A．若，则   B．若，则

C．若，则     D．若，则

【答案】A

对于选项A，由，可得，，则，故选项A成立；

对于选项B，取，则，故选项B不正确；

对于选项C，取，若，则，故选项C不正确；

对于选项D，若，则，所以，故选项D不正确.故选：A.

例题3．正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】：因为正数，满足所以

所以

当且仅当，即，时取等号

所以若不等式对任意实数恒成立

则对任意实数恒成立即对任意实数恒成立

因为所以故选：A.

例题4 ．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】∵不等式的解集为R，

当a-2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，故a＝2符合题意；

当a﹣2≠0，即a≠2时，不等式的解集为R，

则，解得，

综合①②可得，实数a的取值范围是．故选：B．

例题5．若对任意的恒成立，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】：因为对任意的恒成立，

所以对任意的恒成立，

因为当，，所以，，

即m的取值范围是故选：A

例题6．已知，函若数在总有且 ，则取值范围是（    ）

A．[6，+∞) B．

C．[12，+∞) D．(6，12]

【答案】B

【分析】在上恒成立即在上恒成立，

故在上恒成立，

当时，，

当时，，故，所以在上恒成立，

令，

 令，则，而在为增函数，

故，所以，故，

所以在的最小值为，故.

因为恒成立，

故对于任意恒成立，

所以即.故选：B.

考点二  基本不等式及应用

☆技巧点拨☆

基本不等式的常用变形

(1)a＋b≥2(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．

(2)a2＋b2≥2ab，ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立．

(3)＋≥2(a，b同号且均不为零)，当且仅当a＝b时，等号成立．

(4)a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2(a<0)，当且仅当a＝－1时，等号成立．

解题技巧：

技巧一：凑项

例1：已知，求函数的最大值。

1. 解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，
2. ，

当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数

例1. 当时，求的最大值。

：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号  当x＝2时，的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

技巧三： 分离

.求的值域。

解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。

解：令，则

因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。

因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。

所以，所求函数的值域为。

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。

已知，且，求的最小值。

正解：，

当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。

技巧七、已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。

同时还应化简中y2前面的系数为 ，  x＝x ＝x·

下面将x，分别看成两个因式：

x·≤＝＝  即x＝·x ≤

例题解析

例题1．已知，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.

故选：A

例题2．给出下面三个推导过程：

①∵a、b为正实数，∴＋＝2；

②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；

③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.

其中正确的推导为（    ）

A．①② B．①③

C．②③ D．①②③

【答案】B【分析】①，根据基本不等式的知识可知①正确.

②，当时，，所以②错误.

③，根据基本不等式的知识可知③正确.所以正确的为①③.故选：B

例题3．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由知，

，

当且仅当时，等号成立，

则使不等式有解，只需满足即可，

解得故选：C

例题4．若，，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由，，且，可得，

当且仅当时，等号成立，对于A中，由，所以A错误；

对于B中，，所以B错误；对于C中，由，可得，所以C错误；

对于D中，，所以，所以，所以D正确.

故选：D.

例题5．设，则的最小值为（    ）

A． B．2 C．4 D．5

【答案】D

【分析】因为，所以，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值.故选：D

例题6．若实数满足，则的最小值为_________.

【答案】

【分析】因为实数满足，

所以，

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为，故答案为：

考点三  基本不等式综合应用

例题1．设，，则的最小值是（    ）

A．4 B． C．2 D．1

【答案】C

【分析】因为，，

，设，，

所以，

当且仅当，即时等号成立．故选：C．

例题2．已知，，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】D

【分析】依题意，，

因为当且仅当时等号成立，又因为，

当且仅当时，即时等号成立，因此，当且仅当时等号成立，故选：D.

例题3．以下给出了4个函数式：①；②；③；④.其中最小值为4 的函数共有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】B

【分析】对于①，因为，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，①符合题意；

对于②，，函数定义域为，而且，如当，，②不符合题意．

对于③，，当且仅当时取等号，所以其最小值为4，③符合题意；

对于④，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，④符合题意.所以一共有个.故选：B

例题4．关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解：不等式的解集是，

即对于，恒成立，即，

当时，，当时，，

因为，所以，综上所述.故选：A.

例题5．已知实数，满足，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】：实数，满足

化为：令，，则解得：，

则：

当且仅当，即时取等号所以的最小值为.故选：A.