2022-2023学年湖北省十堰市高一上学期期末考试数学试卷含解析

  十堰市2022~2023学年度上学期期末调研考试题

高一数学

本试卷共4页，22题，均为必考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷､草稿纸上无效.

3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷､草稿纸上无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】由解得，则，

所以．

故选：B．

2. 关于命题“”，下列判断正确的是（    ）

A. 该命题是全称量词命题，且为假命题

B. 该命题是存在量词命题，且为真命题

C.

D.

【答案】C

【解析】

【详解】命题为存在量词命题，由，得，所以为假命题.

命题的否定.

故选：C.

3. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．若角终边上一点的坐标为，则（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】，即，则．

故选：D．

4. 已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，

所以，即，解得，

即该幂函数的解析式为，其定义域为，

为偶函数，且在上为减函数.

故选：C．

5. 若定义在上的函数满足则“为无理数”是“2023”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】当为无理数时，为有理数，则.

当为有理数时，为有理数，则.

所以当时，，

故“为无理数”是“”的充分不必要条件.

故选：A

6. 已知第一象限内的点在一次函数的图象上，则的最小值为（    ）

A. 25 B. 5 C. 4 D.

【答案】B

【详解】由题意知，且，故，

从而，当且仅当时，等号成立.

故选：B

7. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小､密度大､吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数､奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】A

【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过第一步之后为314，

经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即，

则

故选:A.

8. 函数的零点所在区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递减，

所以在上单调递减.

，

当时，，

，

，

因为，所以，

，

所以，所以的零点所在区间为.

故选：C．

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设，，，则（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】ABD

【详解】因为，所以，即.

因为，所以.

故选：ABD.

10. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（    ）

A. 的对称中心为

B. 的对称轴为直线

C.

D. 不等式的解集为

【答案】BD

【解析】

【详解】因为为偶函数，其图象关于轴对称，所以图象的对称轴为直线，故A错误，B正确；

又在上单调递增，所以在上单调递减，所以，故C错误；

由不等式结合的对称性及单调性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集为，故D正确，

故选：BD．

11. 某城市有一个面积为1的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道宽度使矩形草坪为黄金矩形？下列选项不正确的是（    ）

A. 步行道的宽度为m B. 步行道的宽度为m

C. 步行道的宽度为5m D. 草坪不可能为黄金矩形

【答案】ABC

【解析】

【详解】设该广场宽为m，则长为m，

所以，

设步行道的宽度为m，使得草坪为黄金矩形，

由于，

则，

解得：，

故草坪不可能为黄金矩形，D正确，ABC错误.

故选：ABC

12. 高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．如，，，记函数，则（    ）

A.  B. 的值域为

C. 在上有5个零点 D. ，方程有两个实根

【答案】BD

【详解】，选项A错误；

当时，，

当时，，；

当时，，

……以此类推，可得的图象如下图所示，

由图可知，的值域为，选项B正确；

由图可知，在上有6个零点，选项C错误；

，函数与的图象有两个交点，如下图所示，

即方程有两个根，选项D正确．

故选：BD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13. 写出一个与终边相同的角：__________.

【答案】（答案不唯一）

【详解】与终边相同的角的集合为，

取，则，（取值时，即可）.

故答案为：（答案不唯一）.

14. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________．

【答案】

【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，

所以是方程的两根，且，

则，解得，

所以关于的不等式，即，化简得，解得，

则关于的不等式的解集为．

故答案为：．

15. 《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来.轻袖佛华妆，窈窕登高台.诗里的叠扇，就是折扇.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径10，则此时的扇形面积为__________.

【答案】

【详解】因为与所在扇形的圆心角分别为，

所以.

由，得，

所以.

故答案为：

16. 若存在实数，使得函数在区间上单调，且在区间上的取值范围为，则的取值范围为__________.

【答案】

【详解】如图，可知在上单调递增，在上单调递减.

当时，在上单调递增，则

所以关于的方程，即在内有两个不等实根.

令，则，

令，则对称轴为，

，，

结合图象可知.

当时，上递减，则

化简得，

所以，即.

由得

即关于的方程在内有两个不等实根，

即在内有两个不等实根，

所以，即.

综上，的取值范围为.

故答案为：

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 计算：

（1）；

（2）若，求的值.

【答案】（1）   

（2）.

【小问1详解】

原式

.

【小问2详解】

将等式两边同时平方得，

则.

18. 设全集为，集合或.

（1）求图中阴影部分表示的集合；

（2）已知集合，若，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【小问1详解】

因为，

或，则，

所以图中阴影部分表示.

【小问2详解】

，，且，

当时，则，解得，符合题意；

当时，则或解得.

综上，的取值范围为.

19. 已知角满足.

（1）若，求的值；

（2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.

【答案】（1），   

（2）.

【小问1详解】

因为，所以.

由，得，

又因为，所以，

，.

【小问2详解】

因为角的终边与角的终边关于轴对称，

所以，

由，得，

则，

所以.

20. 已知函数的定义域为.

（1）求的最大值；

（2）若，求的最大值.

【答案】（1）4    （2）

【小问1详解】

因为的定义域为，即关于的不等式在上恒成立，

所以，

当时，取得最小值1，则，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最大值为4.

【小问2详解】

方法一：

，

因为，所以当时，有最大值为.

方法二：

由（1）知：且，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最大值为.

21. 某地在曲线C的右上角区域规划一个科技新城，该地外围有两条相互垂直的直线形回道，为交通便利，计划修建一条连接两条国道和曲线C的直线形公路．记两条相互垂直的国道分别为，，计划修建的公路为．如图所示，为C的两个端点，测得点A到，的距离分别为5千米和20千米，点B到，的距离分别为25千米和4千米．以，所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．假设曲线C符合函数（其中m，n为常数）模型．

（1）求m，n的值．

（2）设公路与曲线C只有一个公共点P，点P的横坐标为．

①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域．

②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．

【答案】（1）；   

（2）①，；

当时，公路当的长度最短，最短长度为千米.②

【小问1详解】

解：由题意知，点，点，

将其分别代入，

得，解得.

【小问2详解】

解：①由（1）知，，

则点的坐标为，

设在点处的切线交轴分别于点，

因为，

∴的方程为，

由此得.

故，；

②因，

又因为，当且仅当，即时，等号成立，

所以，当时，等号成立，

所以当时，公路当的长度最短，最短长度为千米.

22. 已知是定义在上的奇函数，其中，且.

（1）求的值；

（2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；

（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求非负实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）在上单调递减，证明见解析   

（3）

【小问1详解】

因为是定义在上的奇函数，所以，解得，

又因为，所以，解得，

所以，，则为奇函数，

所以，.

【小问2详解】

在上单调递减.

证明如下：

设，则，

因为，则，所以，

所以在上单调递减.

【小问3详解】

由（2）可知在上单调递减，所以，

记在区间内的值域为.

当时，在上单调递减，

则，得在区间内的值域为.

因为，所以对任意的，总存在，使得成立.

当时，在上单调递减，

则，得在区间内的值域为，

因为，所以对任意的，总存在，使得成立.

当时，在上单调递减，在上单调递增，

则，得在区间内的值域为，所以无解，

当时，在上单调递减，在上单调递增，

则，得在区间内的值域为，不符合题意.

综上，非负实数的取值范围为.