第5讲 函数的单调性-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

第5讲 函数的单调性

【知识通关】

通关一、函数单调性的定义及几何意义

要点诠释

(1)函数单调性的实质是函数值的变化与自变量的变化是否一致，一致则为增函数，不一致则为减函数.

(2)函数单调性“数”的表现是函数值的增大与减小，“形”的表现是函数图像的上升与下降

(3)“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，显然.

(4)一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“”连接.

(5)增(减)函数定义中的三个特征：

①任意性；

②有大小，即或；

③同属于一个单调区间.

通关二、函数的最值

结论一、定义法证明函数单调性

【例1】已知函数对任意实数均有，且当时.试判断的单调性，并说明理由.

【解析】设且，则，故.所以.所以.故在上为增函数.

【变式】已知给定函数对于任意正数都有，且，当 时.试判断在上的单调性，并说明理由.

【解析】对于有，又，所以.设，且，则，所以

. 故 在 上为减函数.

结论二、函数单调性的正向与逆向理解

1. 正向结论:若 在给定区间上是增函数,则当 时, ;

当 时, ;

2. 逆向结论:若 在给定区间上是增函数,则当 时, ;

当 时, .

【例2】已知 在区间 上是增函数, 且 ,则下列表达正 确的是（ ）.

 A.  B.

 C.  D.

【答案】B

【 解析 】可转化为和，因为在区间上是增函数, 所以且,根据同向不等式相加性质得. 故选 B.

【变式】已知是定义在上的增函数,若,则的取值范围是_________.

【答案】

【解析】由已知可得，故的取值范围是 .

结论三、单调性结论

设 那么

在上是增函数; 在 上是减函数.

【例3】 定义在上的函数满足:对任意的, 有 , 则（ ）.

 A. B.

 C.  D.

【答案】D

【解析】 因为对任意的 ,有 , 所以函数 在 上是减函数, 因为 , 所以 . 故选 D.

【变式】已知函数 ,若对任意 , 均满足 ,则实数 的取值范围是__________.

【答案】

【解析】由 可知 在 上为增函数, 所以 在 上恒成立,而 , 所以 , 即 . 故 的取值范围是 .

结论四、单调性性质

若函数在区间上具有单词性,则在区间上具有以下性质:

1. 与为常数 具有相同的单调性.

2. 当非负时, 与 具有相同的单调性.

3. 与在 时具有相同的单调性,在时具有相反的单调性.

4. 当恒不为0时,函数与单调性相反.

【例4】已知函数, 则（ ）.

 A. 是偶函数,且在 上是增函数 B. 是奇函数,且在 上是增函数

 C. 是偶函数,且在 上是减函数 D. 是奇函数,且在 上是减函数

【答案】

【解析】 , 所以 , 即函数 为奇函数,以函数 为增函数, 为减函数,故函数 为增函数. 故选 B.

【变式】若函数 在 上为增函数,则实数的取值范围为__________.

【答案】

【解析】解法一： . 任取, 则

因为 , 所以, 以. 已知函数在 上单调递增, 故, 所以1, 解得.所以 的取值范围是.

解法二 ：, 因为在上单调递减, 在 上单调递增, 所以, 解得.所以的取值范围是 .

结论五、单调性求最值

1. 若函数在闭区间上是增函数,则在上的最小值为, 最大值为；

2. 若函数在闭区间上是减函数,则在上的最小值为,最大值为.

【例5】函数 的值域为（ ）.

 A. B. C.  D.  

【答案】 A

【解析】根据对数函数的定义可知, 恒成立,解得. 因此, 该函数的定义域为 , 原函数 是由对数函数 和组合成的复合函数. 由复合函数的单调性定义 同增异减) 知道,原函数在定义域上是单调递增的. 根 据指数函数的性质可知, , 所以,,所以 . 故选A.

【变式】已知函数, 若 时,的最大值为3 ,则 时,的最小值是__________.

【答案】

【解析】因为在区间上均为单调递增函数, 又 0 , 所以在区间上为单调递增函数. 当时, 的最大值为; 当时,的最小值为 .