第8讲 函数的周期性-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

第8讲 函数的周期性

通关一、周期概念理解

1.定义:设的定义城为,若对,存在一个非零常数,有,则称函数是一个周期函数,称为的一个周期.

2.若是一个周期函数,则,那么,即也是的一个周期,进而可得也是的一个周期.

3.最小正周期:若为的一个周期, 也是的一个周期,则在某些周期函数中,往往存在周期中最小的正数,称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期,比如常值函数就没有最小正周期.

通关二、常见周期性结论

结论一、型

的周期为.也是函数的周期.

【例1】定义在上的函数满足:,当时,;当时,,则（ ）

A．336 B．337 C．338 D．339

【变式】函数的定义域为,且,当时,;当时,,则（ ）

A．671 B．673 C．1343 D．1345

结论二、型

的周期为.

【例2】已知在上是奇函数,且满足,当时, ,则（ ）

A． B． C． D．0

【变式】设函数是定义在上的周期函数,且,若,,则实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

结论三、f(x+a)=f(x±b)型

f(x+a)=f(x-b) ⇔ y=f(x)的周期为T=a+b.

f(x+a)=f(x+b) ⇔ y=f(x)的周期为T=b-a.

【例3】  已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时f(x)=x3-1,当-1≤x≤1时，f(-x)＝-f(x),当x>时，f(x-)=f(x+)，则f(6)=（ ）.

 A. 2 B. 0 C. -1 D. -2

【变式】已知f(x)是定义在R上的函数，满足f(x)+f(-x)=0，f(x-1)=f(x+1)，当x∈(0, 1)时，f(x)=-x2+x，则函数f(x)的最小值为（ ）

 A . B.  C.  D.

结论四、 f(a+x) =−f(x−b)型

若函数y = f(x)定义域为R，且满足条件f(a+x)=-f(x−b)，则y=f(x)是以T=2(a+b)为周期的周期函数。

【例4】设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x+1)=-f(x−1)，若f(−1)>1，f(5)=a2−2a−4，则实数a的取值范围是（ ）.

 A.( -1 , 3)   B.( -∞ ,-1)∪( 3 ，+∞)

 C.( -3，1)  D.( -∞ ,-3)∪( 1 ，+∞)

【变式】 已知定义在R上的奇函数f(x)，对任意x都满足 f(x+2)=f(4−x)，且当x∈［0，3]时，f(x)=log2(x+1)，则f(2019)= ____________

结论五、f(x)+f(x+a)=k型

f(x)+f(x+a)=k(k为常数） ⇒f(x)的周期为T=2a.

【例5】已知函数f（x)是R上的偶函数，且满足f（x+1)+f(x)=3.当x∈[-1, 0]时，f（x)=2+x,则f(-2007.5)的值为（ ）

 A. 0.5 B.1.5 C.-1.5 D.1

【变式】 已知函数f（x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图像关于点（1, 0)对称且f（2)=4,则f(22)= ____________

结论六、=型

f(x+α)= ⇔ y=f(x)的周期为T=2a.

【例6】函数f（x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f（1)=-5,则f(f（5))=（ ）

 A.-5 B. 5 C. D.

【变式】 已知函数y=f(x)满足f(x+1)=和f(2-x)=f(x+1),且当x∈［, 1]时,f(x)=2x+2,则f(2018)=（ ）

 A. 0  B. 2  C. 4 D. 5

结论七、 = 型

= ⇔ y=f(x)的周期为T= 2a.

【例7】设偶函数f（x)对任意x∈R都有f(x) = ,且当x∈[-3,-2]时，f(x)=4x,则f(119.5)=（ ）.

 A.10 B. -10  C.   D.

【变式】 设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=,且当x∈[-3,-2]时，f(x)=2x,则f(113.5)的值是 _______________

结论八、 f(x)·f(x+a)=k型

f(x)·f(x+a)=k(k为常数）⇒ f(x)的周期为T=2a.

【例8】设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13.若f(x)=2,则f(2015)＝（ ）

  A.  B.  C. 13 D.

【变式】已知f(x)是定义在R上的函数，并满足f(x)f(x+2)=-2.当1<x<2时，f(x)=x3+sin,则f(5.5)=（ ）.

 A. B.  C. D.

结论九、 f(x+a) = 型

f(x+a) = ⇔ y=f(x)的周期为T=2a.

【例】9 定义在R上的函数f（x)对任意x∈R,都有f（x＋2)= ，f(2)=,则f(2016)等于（ ）

 A. B. C. D.

【变式】 定义在R上的函数f(x)满足:f(x+2)=，当x∈(0，4)时，f(x)=x2-1,则f(2010)= ____________

结论十、f(x+a) = 型

f(x+a) = ⇔ y=f(x)的周期为T=4a.

【例10】已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f(x+2)=,f(1)=,则f(2015)= ____________

【变式】 已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f（x+2)[1-f(x)]=1+f(x)，f(1)=2018,则f（2017)的值为 ____________

结论十一、两线型

若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与x=b(a≠b)对称，则y=f(x)是以T=2(b-a)为周期的周期函数。

推论：偶函数y=f(x)满足f（a+x)=f(a-x) ⇔ y=f(x)的周期T=2a.

【例11】设函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=0及直线x=1对称，且x∈[0，1]时，f（x)=x2,则f()=（ ）

 A. B. C. D.

【变式】 已知定义域为R的函数y=f(x)在［0, 7]上只有1和6两个零点，且y=f(x+2)与y=f(x+7)都是偶函数，则函数y=f(x)在［0, 2013]上的零点个数为（ ）              

 A.404 B.804 C.806 D.402

结论十二、 一点一线型

若函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称且关于(b,0)中心对称(a≠b),则y=f(x)是以T=4（b-a）为周期的周期函数。

推论：奇函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x) ⇔ y=f(x)的周期T=4a.

【例12】已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2-x)=f(x),若f(1)=3,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=（ ）.

 A.-3 B.0 C.3 D.2018

【变式】 奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1,则f(8)+f(9)=

结论十三、 两点型

 若函数y=f(x)的图像关于点（a,0）与点（b,0）(a≠b)对称，则y=f(x)是以T=2（b-a）为周期的周期函数。

推论：奇函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x) ⇔ y=f(x)的周期T=2a.

【例13】函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（ ）

 A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 B.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数

【变式】 已知函数f（x)是定义在R上的奇函数，且满足f（4-x)=-f(x),当x∈(0, 2)时,f（x)=2x2,则f（2015)=（ ）.

 A.-2 B.2 C.-98 D.98