2022-2023学年江苏省常州二十四中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省常州二十四中七年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省常州二十四中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题2分，共16分）
1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝a（a+）
2．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A．5x﹣y＝3z B．x2﹣y＝3 C． D．3y+x＝1
3．周末李强和朋友到森林公园游玩，为测量园内湖岸A，B两点之间的距离，如图，李强在湖的一侧选取了一点O，测得OA＝20m，OB＝8m，则A，B间的距离可能是（　　）

A．10m B．22m C．30m D．32m
4．如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（　　）

A．55° B．50° C．40° D．30°
5．如图，△ABC向右平移2cm得到△DEF，如果四边形ABFD的周长是20cm，那么△ABC的周长是（　　）

A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm
6．如果在计算（x+m）（x﹣6）所得的结果中不含x的一次项，则常数m的值为（　　）
A．m＝0 B．m＝6 C．m＝﹣6 D．m＝1
7．如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（　　）

A．3 B． C． D．6
8．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°
二、填空题（每题2分，共20分）
9．习总书记提出“绿水青山，就是金山银山”，人人都有爱护环境的义务．某监测点在某时刻检测到空气中PM2.5的含量为0.000058克/立方米，将0.000058用科学记数法表示为 　 　．
10．计算：（﹣0.125）2023×82022＝　 　．
11．已知x+y＝3，xy＝﹣4，则x2y+xy2的值是 　 　．
12．若关于x的多项式4x2+（m﹣1）x+9是完全平方式，则m的值为 　 　．
13．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是　 　．
14．已知（x﹣y）2＝7，（x+y）2＝25，则xy的值为 　 　．
15．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 　 　．
16．如图所示，△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是∠ACB的平分线，∠ADC＝120°，则∠ABC的度数为　 　．

17．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，得∠A2021，∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022＝　 　度．

18．如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　 　°．

三、计算、因式分解和解方程组（每小题16分，共32分）
19．（16分）计算：
（1）（π﹣3）0+|﹣|+（）3﹣（）﹣2；
（2）（﹣3a3）2•2a3﹣8a12÷2a3；
（3）3a（a+b）+（a﹣2b）（2a﹣3b）；
（4）（3+2x﹣y）（3﹣2x+y）．
20．因式分解：
（1）5mx2﹣20my2；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
21．解下列方程组
（1）；
（2）．
四、解答题（第22、23题各7分，24题8分，25题10分）
22．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．​
（1）将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，补全△A′B′C′；
（2）请在AB边上找一点D，使得线段CD平分△ABC的面积，在图中作出线段CD；
（3）若连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是 　 　；
（4）平移过程中，边AB扫过的面积为 　 　；
（5）能使S△ABC＝S△QBC的格点Q（A点除外），共有 　 　个．

23．如图，已知：∠AGF＝∠ABC，∠GFB+∠EDB＝180°．
（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若BF⊥AC，∠EDB＝150°，求∠AFG的度数．

24．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式；
（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），求mn的值；
（3）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k值．
25．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
​
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若α＝30°，求β的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．



参考答案
一、选择题（每题2分，共16分）
1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝a（a+）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
2．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A．5x﹣y＝3z B．x2﹣y＝3 C． D．3y+x＝1
【分析】根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．
解：A、5x﹣y＝3z，含有三个未知数，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B、x2﹣y＝3，次数不为1，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C、，不是整式方程，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
D、3y+x＝1，是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．
3．周末李强和朋友到森林公园游玩，为测量园内湖岸A，B两点之间的距离，如图，李强在湖的一侧选取了一点O，测得OA＝20m，OB＝8m，则A，B间的距离可能是（　　）

A．10m B．22m C．30m D．32m
【分析】根据三角形的三边关系确定AB的范围，据此即可判断．
解：OA﹣OB＜AB＜OA+OB，
则20﹣8＜AB＜20+8，即12＜AB＜28．
则符合条件的只有B．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．已知两边确定第三边的范围时，第三边的长大于已知两边的差，且小于已知两边的和．
4．如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（　　）

A．55° B．50° C．40° D．30°
【分析】过M作OM∥AB，PN∥AB，根据平行线的性质得到∠1＝∠EMO，∠4＝∠PNF，∠OMN＝∠PNM，由角的和差得到∠EMN﹣∠MNF＝（∠1+∠MNP）﹣（∠MNP+∠4）＝∠1﹣∠4，代入数据即可得到结论．
解：如图2，过M作OM∥AB，PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥PN∥CD，
∴∠1＝∠EMO，∠4＝∠PNF，∠OMN＝∠PNM，
∴∠EMN﹣∠MNF＝（∠1+∠MNP）﹣（∠MNP+∠4）＝∠1﹣∠4，
∴60°﹣70°＝40°﹣∠4，
∴∠4＝50°．
故选：B．

【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
5．如图，△ABC向右平移2cm得到△DEF，如果四边形ABFD的周长是20cm，那么△ABC的周长是（　　）

A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm
【分析】根据平移的性质得到AD＝CF＝2cm，AC＝DF，根据四边形的周长公式、三角形的周长公式计算即可．
解：由平移的性质可知，AD＝CF＝2cm，AC＝DF，
∵四边形ABFD的周长是20cm，
∴AB+BF+DF+AD＝20cm，
∴AB+BC+CF+AC+AD＝20cm，
∴AB+BC+AC＝16cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝16cm，
故选：B．
【点评】本题考查的是平移的性质，①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
6．如果在计算（x+m）（x﹣6）所得的结果中不含x的一次项，则常数m的值为（　　）
A．m＝0 B．m＝6 C．m＝﹣6 D．m＝1
【分析】根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，然后使一次项的系数为0即可得常数m的值．
解：（x+m）（x﹣6）
＝x2﹣6x+mx﹣6m
＝x2+（m﹣6）x﹣6m，
∵（x+m）（x﹣6）所得的结果中不含x的一次项，
∴m﹣6＝0，
∴m＝6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（　　）

A．3 B． C． D．6
【分析】由△ABC的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．
解：∵S△ABC＝BC•hBC＝AC•hAC＝18，
∴S△ABC＝（BD+CD）•hBC＝（AE+CE）•hAC＝18，
∵AE＝CE＝AC，S△AEB＝AE•hAC，S△BCE＝EC•hAC，
∴S△AEB＝S△CEB＝S△ABC＝×18＝9，
即S△AEF+S△ABF＝9①，
同理：∵BD＝2CD，BD+CD＝BC，
∴BD＝BC，S△ABD＝BD•hBC，
∴S△ABD＝S△ABC＝×18＝12，
即S△BDF+S△ABF＝12②，
①﹣②得：S△BDF﹣SAEF＝（S△BDF+S△ABF）﹣（S△AEF+S△ABF）＝12﹣9＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换．
8．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】延长BC交OD于点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠OBC+∠MCD+∠CDM＝140°，再利用四边形内角和为360°，即可求出∠BOD的度数．
解：延长BC交OD于点M，如图所示.
∵多边形的外角和为360°，
∴∠OBC+∠MCD+∠CDM＝360°﹣220°＝140°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM＝360°，
∴∠BOD＝40°．
故选：A．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角以及角的计算，解题的关键是能够熟练的运用多边形的外角和为360°来解决问题．
二、填空题（每题2分，共20分）
9．习总书记提出“绿水青山，就是金山银山”，人人都有爱护环境的义务．某监测点在某时刻检测到空气中PM2.5的含量为0.000058克/立方米，将0.000058用科学记数法表示为 　5.8×10﹣5　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10﹣n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：0.000058这个数用科学记数法可以表示为：5.8×10﹣5．
故答案为：5.8×10﹣5．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握表示形式为a×10﹣n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
10．计算：（﹣0.125）2023×82022＝　﹣0.125　．
【分析】利用积的乘方的逆运算进行求解即可．
解：（﹣0.125）2022×82022×（﹣0.125）
＝（﹣0.125×8）2022×（﹣0.125）
＝（﹣1）2022×（﹣0.125）
＝﹣0.125．
故答案为：﹣0.125．
【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的运算法则的掌握与灵活运用．
11．已知x+y＝3，xy＝﹣4，则x2y+xy2的值是 　﹣12　．
【分析】将代数式因式分解，然后代入x+y＝3，xy＝﹣1，即可求值．
解：∵x2y+xy2＝xy（x+y），
将x+y＝3，xy＝﹣4代入，
原式＝﹣4×3＝﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．若关于x的多项式4x2+（m﹣1）x+9是完全平方式，则m的值为 　13或﹣11　．
【分析】根据完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，观察其构造得到（m﹣1）x＝±2×3×2x，即可得出m的值；
解：∵关于x的多项式4x2+（m﹣1）x+9是完全平方式，
∴（m﹣1）x＝±2×3×2x，
当（m﹣1）x＝2×3×2x＝12x时，m＝13；
当（m﹣1）x＝﹣2×3×2x＝﹣12x时，m＝﹣11；
综上所述，m的值为13或﹣11，
故答案为：13或﹣11．
【点评】本题主要考查的是完全平方式，观察公式的构成是解题的关键．
13．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是　a＞b＞c　．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
解：a＝8131＝3124，
b＝2741＝3123，
c＝961＝3122，
∵a、b、c的底数相同，
∴a＞b＞c．
故答案为：a＞b＞c．
【点评】本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
14．已知（x﹣y）2＝7，（x+y）2＝25，则xy的值为 　　．
【分析】利用完全平方公式和整体代入的方法解答即可．
解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．
∵（x﹣y）2＝7，（x+y）2＝25，
∴4xy＝25﹣7，
∴xy＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 　　．
【分析】把x﹣1，﹣y看作整体，则，从而得到方程组的解．
解：根据题意得：，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，运用整体思想解二元一次方程组是解题的关键．
16．如图所示，△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是∠ACB的平分线，∠ADC＝120°，则∠ABC的度数为　100°　．

【分析】设∠A＝∠ACB＝x，则∠B＝180°﹣2x，∠ACD＝∠BCD＝，由三角形外角的性质得出x的值，进而可得出结论．
解：∵△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是∠ACB的平分线，∠ADC＝120°，
∴设∠A＝∠ACB＝x，则∠B＝180°﹣2x，∠ACD＝∠BCD＝，
∵∠ADC是△BCD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠ACB＝180°﹣2x+＝120°，
解得x＝40°．
∴∠ABC＝180°﹣2×40°＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形的外角与内角的关系等知识，比较简单．
17．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，得∠A2021，∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022＝　　度．

【分析】根据角平分线的性质可得∠A1CD＝∠ACD，∠A1BD＝∠ABC，再根据外角的性质可得∠A1＝∠A，找出规律即可求出∠A2022．
解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1CD＝∠ACD，∠A1BD＝∠ABC，
∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD＝∠ACD∠﹣∠ABC＝∠A，
同理可得∠A2＝∠A1＝∠A，
∴∠A2022＝∠A，
∵∠A＝m°，
∴∠A2022＝°，
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线的性质与规律的综合，涉及三角形外角性质，找出∠A1和∠A之间的规律是解题的关键．
18．如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　72　°．

【分析】先根据∠DEF＝72°求出∠EFC的度数，进可得出∠EFB和∠BFH的度数，根据∠H＝90°和三角形的内角和可得∠HMF的度数，再由折叠的性质可得∠GMN．
解：∵AD∥CB，
∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，
即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，
∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．
∵∠H＝∠D＝90°，
∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．
由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，
∴∠GMN＝72°．
故答案为：72．
【点评】本题考查的是平行线的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键．
三、计算、因式分解和解方程组（每小题16分，共32分）
19．（16分）计算：
（1）（π﹣3）0+|﹣|+（）3﹣（）﹣2；
（2）（﹣3a3）2•2a3﹣8a12÷2a3；
（3）3a（a+b）+（a﹣2b）（2a﹣3b）；
（4）（3+2x﹣y）（3﹣2x+y）．
【分析】（1）先算零指数幂，负整数指数幂，乘方运算和去绝对值，再算加减即可；
（2）先算积的乘方，幂的乘方，再算乘除，最后合并同类项；
（3）先展开，再合并同类项；
（4）先用平方差公式，再用完全平方公式．
解：（1）原式＝1+﹣﹣9
＝﹣8；
（2）原式＝9a6•2a3﹣4a9
＝18a9﹣4a9
＝14a9；
（3）原式＝3a2+3ab+2a2﹣3ab﹣4ab+6b2
＝5a2﹣4ab+6b2；
（4）原式＝[3+（2x﹣y）][3﹣（2x﹣y）]
＝9﹣（2x﹣y）2
＝9﹣（4x2﹣4xy+y2）
＝9﹣4x2+4xy﹣y2．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
20．因式分解：
（1）5mx2﹣20my2；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
【分析】（1）先提取公因式，再由平方差公式分解即可；
（2）先利用平方差公式，再运用完全平方公式因式分解即可．
解：（1）5mx2﹣20my2
＝5m（x2﹣4y2）
＝5m（x+2y）（x﹣2y）；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
＝（x2+y2﹣2xy）（x2+y2+2xy）
＝（x﹣y）2（x+y）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
21．解下列方程组
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
解：（1），
把①代入②，得3（2y+3）+2y＝17，
解得：y＝1，
把y＝1代入①，得x＝5，
所以原方程组的解是；
（2）方程组整理得：，
①×2+②，得7x＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入①，得y＝﹣1，
所以原方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入法和加减法解二元一次方程组是关键．
四、解答题（第22、23题各7分，24题8分，25题10分）
22．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．​
（1）将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，补全△A′B′C′；
（2）请在AB边上找一点D，使得线段CD平分△ABC的面积，在图中作出线段CD；
（3）若连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是 　AA′平行且等于BB′　；
（4）平移过程中，边AB扫过的面积为 　16　；
（5）能使S△ABC＝S△QBC的格点Q（A点除外），共有 　2　个．

【分析】（1）将点A、C分别向左平移2个单位，向上平移4个单位，再与点B′首尾顺次连接即可；
（2）根据三角形中线的性质求解即可；
（3）根据平移变换的性质求解即可；
（4）根据平行四边形的面积公式计算即可；
（5）格点Q位于过点A且平行于BC的直线上，据此求解即可．
解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．

（2）如图所示，线段CD即为所求；
（3）AA′平行且等于BB′，
故答案为：AA′平行且等于BB′；
（4）平移过程中，边AB扫过的面积为4×4＝16，
故答案为：16；
（5）如图所示，使S△ABC＝S△QBC的格点Q共有2个，
故答案为：2．

【点评】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
23．如图，已知：∠AGF＝∠ABC，∠GFB+∠EDB＝180°．
（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若BF⊥AC，∠EDB＝150°，求∠AFG的度数．

【分析】（1）由∠AGF＝∠ABC，可证FG，得到∠GFB＝∠FBD，进一步证明∠FBD+∠EDB＝180°，即可证明BF∥DE；
（2）先根据角之间的关系求出∠GFB＝30°，再根据垂直的定义得到∠AFB＝90°，则∠AFG＝∠AFB﹣∠GFB＝60°．
解：（1）BF∥DE，理由如下：
∵∠AGF＝∠ABC，
∴FG∥BC，
∴∠GFB＝∠FBD，
∵∠GFB+∠EDB＝180°，
∴∠FBD+∠EDB＝180°，
∴BF∥DE；
（2）∵∠GFB+∠EDB＝180°，∠EDB＝150°，
∴∠GFB＝30°，
∵BF⊥AC，即∠AFB＝90°，
∴∠AFG＝∠AFB﹣∠GFB＝60°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
24．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式；
（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），求mn的值；
（3）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k值．
【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解．
解：（1）∵29是“完美数”，
∴29＝52+22；
（2）∵x2﹣4x+5
＝（x2﹣4x+4）+1
＝（x﹣2）2+1，
又∵x2﹣4x+5＝（x﹣m）2+n，
∴m＝2，n＝1，
∴mn＝2×1＝2．
（3）当k＝13时，S是完美数，
理由如下：S＝x2+4y2+4x﹣12y+13
＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9
＝（x+2）2+（2y﹣3）2，
∵x，y是整数，
∴x+2，2y﹣3也是整数，
∴S是一个“完美数”．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
25．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
​
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若α＝30°，求β的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．

【分析】（1）根据角平分线的性质及等量代换证明∠AEM＝∠FME即可．
（2）①根据三角形内角和定理得出∠HEN＝60°，根据角平分线的定义，利用平角的定义求出∠GEB的度数，根据平行线的性质求∠BEG，即可解决问题．
②根据平行线的性质求∠BEG，利用平角的定义表示∠AEG的度数，根据角平分线的定义表示∠HEN即可解决问题．
解：（1）结论：AB∥CD．
理由：如图1中，

∵EM平分∠AEF交CD于点M，
∴∠AEM＝∠MEF，
∵∠FEM＝∠FME．
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB∥CD．
（2）①如图2中，

∵HN⊥EM，
∴∠HNE＝90°，
∵α＝30°，
∴∠EHN＝90°﹣∠HEN＝30°．
∴∠HEN＝60°，
∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF＝∠HEG，
∵∠AEM＝∠EMF，
∴，
∴∠AEG＝120°，则∠GEB＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠EGH＝β＝60°；
②猜想：或，
理由：1）当点G在F的右侧时，如图2，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠EGH＝β，
∴∠AEG＝180°﹣β，
∵∠AEM＝∠EMF，∠HEF＝∠HEG，
∴，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE＝90°，
∴．
（2）当点G在F的左侧时，

∵AB∥CD，
∴∠BEG＝180°﹣∠EGH＝180°﹣β，∠AEG＝∠EGH＝β，
∵∠AEM＝∠EMF，∠HEF＝∠HEG，
∴∠HEN＝∠MEF﹣∠HEF＝，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE＝90°，
∴α＝∠EHN＝90°﹣∠HEN＝90°﹣．
综上所述，或．
【点评】本题是三角形的综合题，考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键．